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1、题 号一二三四总分 分 数评卷人得分评卷人一、填空题（每空2分，共30 分） 1. 拓扑学的中心任务是_ 2. 设，则_3. 设为拓扑空间的子集，则的闭包是包含的_闭集，的内部是包含于的_开集. 4. 设R是实数空间，是有理数集，则_，_，_.5. 实数空间R的一个可数基为_6. 称拓扑空间是可分空间，若_ 7. 写出平庸空间的所有闭集_8. 设为拓扑空间的子集，当且仅当_9. 设是个拓扑空间的积空间，是的积拓扑，是空间的拓扑，则积拓扑的一个子基_10. 设为离散空间的子集，则_，_，_得分评卷人二、判断题（每小题3分，共15分） 1. Cantor集是实数空间R中的一个开集. （ ）2. 从
2、拓扑空间到的恒同映射必是连续映射. （ ）3. 拓扑空间中任意两个无交的开子集必定是隔离的. （ ）4. 集合的一个拓扑不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑. （ ） 5. 拓扑空间中任意一族连通子集的并仍是的一个连通子集. （ ）得分评卷人三、举例说明题（共10分） 1请举例说明连通空间不一定是局部连通空间. 2请举出一个不是Lindelff空间的例子，并说明原因. 得分评卷人四、证明题（共45分） 1. （9分）设是一个离散的度量空间. 证明： (1) 的每一个子集都是开集. (2) 如果也是一个度量空间，则任何映射都是连续的. (3) 作为拓扑空间时，是一个离散空间. 2. （9分）设是一个拓扑空间，其中是任何一个不属于的元素，令，. 证明：是一个拓扑空间，并指出的邻域系. 3. （9分） 证明非空集合的子集族为的某一个拓扑的基当且仅当满足条件 （1）（2）若,则为中某些元素之并（即存在使得）.4. （9分）证明局部连通空间的每一个连通分支都是既开又闭的子集. 5. （9分）设是一个包含着不可数多个点的有限补空间，证明：不满足第一可数性公理. _点集拓扑学试卷 第4页 共4页