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1、2020高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（一）学案 新人教A版必修4学习目标：1了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功 2掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义 3会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直学习重点：向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，学习难点：向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系一知识导学1两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，作a，b，则 称作向量a和向量b的夹角，记作a，b，并规定它的范围是 .在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a，b (2)当 时
2、，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .2平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab_，其中是a与b的夹角(2)规定：零向量与任一向量的数量积为 .(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为，则向量a在b方向的投影是_，向量b在a方向上的投影是_.3数量积的几何意义ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积二探究与发现【探究点一】平面向量数量积的含义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角，0，规定：零
3、向量与任一向量的数量积为0.问题1如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W_.问题2向量的数量积是一个数量，而不再是向量对于两个非零向量a与b.当_时，ab0；当_时，ab0，即ab；当_时，ab0.【探究点二】投影问题1我们把|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影，其中为向量a与b的夹角由数量积的定义ab|a|b|cos 可得：|a|cos ；|b|cos .例如，|a|2，|b|1，a与b的夹角120，则a在b方向上的投影为 ， b在a方向上的投影为 .问题2向量b在a方向上的投影不是向量，而是数量，它的符号取决于夹角的范围.【探
4、究点三】平面向量数量积的性质根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质设a与b都是非零向量，为a与b的夹角(1)当a，b0时，ab ；当a，b时，ab ； 当a，b时，ab ；(2) aa 或|a|； (3)cos ； (4)|ab| |a|b|.【典型例题】例1已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积跟踪训练1已知|a|4，|b|3，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积例2已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.跟踪训练2已知|a|8，|b|6，|ab|10，求向量a与b的夹角
5、.例3已知ab9，a在b方向上的投影为3，b在a方向上的投影为，求a与b的夹角.跟踪训练3已知|a|1，|b|1，a，b的夹角为120，计算向量2ab在向量ab方向上的投影三、巩固训练1已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的投影为()A4 B4 C2 D22若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_.3在ABC中，|13，|5，|12，则的值是_4已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).四、小结：1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆3ab|a|b|cos 中，|b|cos 和|a|cos 分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分