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1、北京市第十二中学2020学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题1.下列说法正确的是( )A. 我校爱好足球的同学组成一个集合B. 是不大于3的自然数组成的集合C. 集合和表示同一个集合D. 由1，0，组成的集合有5个元素【答案】C【解析】【分析】根据集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性对选项逐一判断可得正确选项.【详解】对于选项A:不满足集合中的元素的确定性，所以A错误；对于选项B:不大于3的自然数组成的集合是,所以B错误；对于选项C:由于集合中的元素具有无序性,所以集合和表示同一个集合，所以C正确；对于选项D：因为，集合中的元素具有互异性，所以由1，0，组成的集合有4个元素
2、, 所以D错误；故选：C.【点睛】本题考查了集合中的元素的特征：确定性,无序性,互异性，属于基础题.2.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求解不等式得集合B，再根据集合的交集的定义求.【详解】由得，所以，又，所以，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.3.命题“，使得”的否定形式是( )A. ，都有B. ，使得C. ，使得D. ，都有【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得选项.【详解】因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“，使得”的否定为: “，都有”，故选：D.【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系,属于基础题
3、.4.下列集合中表示同一集合的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】因为有序数对与不相同，所以A错误；由于集合中的元素具有无序性，所以集合与集合是同一集合，故B正确；因为集合M表示的是当时，所得的有序实数对所构成的集合，而集合N是当时所得的y值所构成的集合，所以C错误；因为，所以D错误，【详解】对于A选项：有序数对与不相同，所以集合与集合不是同一集合，故A错误；对于C选项：由于，所以集合M表示是当时，所得的有序实数对所构成的集合， 而由得集合N是当时所得的y值所构成的集合，所以集合与集合不是同一集合，故C错误；对于D选项，所以集合与集合不是同一集合，故D错误；对于B
4、选项：由于集合中的元素具有无序性，所以集合与集合是同一集合，故B正确；故选：B.【点睛】本题考查集合所表示的元素的意义，在判断时需分清集合中表示的是点集还是数集，理解元素的具体含义是什么，属于基础题.5.下列五个写法：；.其中正确写法的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据集合与集合之间的包含关系的定义、空集是任何集合的子集、集合的元素具有无序性对写法逐一判断得选项.【详解】对于表示的是集合与集合之间的关系，不能用元素属于集合的符号“”表示，故写法错误；对于表示的是集合与集合之间的关系，并且空集是任何集合的子集，故写法正确；对于集合中的元素具有无序性，所以写
5、法正确；对于空集不含有任何元素，所以不正确；对于空集不含有任何元素，所以正确；所以共3个写法正确，故选：C.【点睛】本题考查集合间的包含关系、空集的含义和集合中的元素无序性，属于基础题.6.下列结论正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断C,D选项，也可以用举反例的方法判断A，B选项，得出正确的选项.【详解】对于A:若,则A不成立,对于B:例如时满足,但是,则B不成立,对于C:若,则,则C不成立,对于D:根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以一个负数，不等号改变方向，即可判断成立,故选D.【点睛】本题考查不等式的性质，属于
6、基础题.7.已知，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由不等式的性质，推导出2a-b的取值范围详解：-1a3，-22a6，又2b4，-4-b-2，-6=-2-42a-b6-2=4，即-62a-b4，2a-b的取值范围是-6，4；故选：A点睛：本题考查了不等式的性质的应用问题，解题时应牢记不等式的性质，并会熟练地应用也可以利用线性规划求解8.集合的元素个数是( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】根据题中给出的条件,分别从最小的自然数0开始给代值,求出相应的的值,直到得出的为止,求出的个数.【详解】因为,所以：当时,;当时,;当时,;当时,
7、;当时,;当时,;当时,且，所以.综上,元素个数是2个.故选A.【点睛】本题考查了集合中元素的个数,关键根据用赋值法分析和解决问题,属于基础题.9.已知命题“，使得”，若命题是假命题，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知得命题是假命题，则将问题转化为命题“，使得”成立, 此时利用一元二次方程根的判别式可求得实数的取值范围.【详解】若命题是假命题，,则“不存在，使得”成立,即“，使得”成立,所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：B.【点睛】本题主要考查命题的否定和不等式恒成立问题，对于一元二次不等式的恒成立问题，多从根的判别式着手可以得到解决，属于中
8、档题.10.已知，则取最大值时的值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知令，得出此二次函数的对称轴，且二次函数的图象开口向下，所以当时，函数取得最大值.【详解】令，则，对称轴，所以当时，取得最大值，故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值问题，对于二次函数的最值注意验证自变题是否能取到二次函数的对称轴，属于基础题.11.几何原本中几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，过点作交圆周于，连接.作交于.则下列不等式可以表示的是(
9、)A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CDDE即可得到答案.【详解】连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故选：A. 【点睛】本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题.12.对于集合、，定义，设，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由已知条件求得集合M、N，再根据定义求出集合和集合，再求这两个集合的并集可得，得解.【详解】因为,所以，又因为当时，所以， ,所以故选A【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时注意理解
10、集合和集合的含义，属于基础题.二、填空题13.如图，若集合，则图中阴影部分表示的集合为_(用列举法表示).【答案】【解析】【分析】根据韦恩图得图象阴影部分对应的集合为，先求出，再求，可得解.【详解】图象阴影部分对应的集合为，因为，故，故填：【点睛】本题主要考查根据韦恩图进行集合的交、补运算，属于基础题.14.不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】对分式不等式移项，通分，再转化为一元二次不等式，可得解.【详解】由得，即等价于，解得，所以不等式的解集是，故填：.【点睛】本题考查分式不等式的解法，注意在未判断分母的符号时，不可直接去分母，可以移项、通分等步骤对分式不等式化简，属于基础题.15.已
11、知集合=，则集合的关系为_【答案】【解析】，为偶数，为奇数，为奇数，故答案为.16.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_.【答案】1【解析】【分析】根据集合中的元素的互异性和集合相等的条件得出关于a,b的方程组，求解后再代入，可求值得解.【详解】根据集合中的元素互不相同知且，所以，因为，则，解得 ， 所以，所以，故填：1.【点睛】本题考查集合的元素的互异性和集合相等的条件，属于基础题.17.设，若，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，因为满足，所以，且，则，当且仅当且，即时取得最小值.【点睛】本题主要考查了利用基
12、本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.18.若对，使得成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由已知分别求出和，要使不等式成立，则需，可求出实数的取值范围.【详解】因为，所以，又，所以，若对， ，使得成立，则需，即，解得，故填：.【点睛】本题考查对于“任意”和“存在”中的不等式的恒成立问题，属于中档题.此问题关键分清“任意”和“存在”的条件,分别利用不等式两边的最大值或最小值建立的不等式.常见的有以下的四种情况：（1）；（2）；（3）；（4）.三、解答题19.已
13、知全集，其中，.(1)求和；(2)写出集合所有子集.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由集合的交集、并集和补集的定义可求出和；（2）根据集合的子集的定义得出集合B的子集，注意不要漏掉空集.【详解】（1）由已知得，所以，（2）集合的所有子集为：.故得解.【点睛】本题考查集合的交、并、补的运算和求出某集合的所有子集，注意在写子集时，不要漏掉空集.20.已知集合，,若，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】先求出集合A，由得，再对集合B是空集和集合B不是空集两种情况讨论，当时，当时，需和，从而求得的范围.【详解】由得，解得，所以，因为，所以，当时，；当时，即时，要使，则需，.综上：.
14、故得解.【点睛】本题考查集合的并集运算和集合间的包含关系，注意根据集合的包含关系求解参数的范围时，需考虑子集为空集和不为空集两种情况，属于基础题.21.党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000
15、元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？【答案】当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元【解析】【分析】设沼气池的底面长为米，沼气池的总造价为元，依题意有，利用基本不等式即可求解【详解】设沼气池的底面长为米，沼气池的总造价为元，因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米，因为底面长为米，所以底面的宽为，依题意有，因为，由基本不等式和不等式的性质可得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值在实际问
16、题中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出具体函数解析式22.已知关于的不等式，解集为.(1)若或，求的值.(2)解关于的不等式，.【答案】（1）.（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【解析】【分析】（1）将已知不等式分解因式，由不等式的解集为或，得且该不等式对应方程的两个实数根为和，所以，可求a的值；（2）根据已知条件根据a的正负和两根的大小方面进行讨论，共分五种情况讨论a的范围：时、时、时、时、时分别根据一元二次不等式的解法求出对应不等式的解集即可.【详解】（1）关于x的不等式可变形为 且该不等式的解集为或，所以
17、又因为不等式对应方程的两个实数根为和；，解得；（2）时，不等式可化为，它的解集为；时，不等式可化为，其对应的方程的两个实数根为和，当时，即，不等式的解集为；当时，原不等式化为，不等式的解集为；在时，不等式的解集为；在时，原不等式化为，不等式的解集为；综上，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.故得解.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想及一元二次方程的根与系数的关系，属于难题.分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一（四种思想：数形结合、函数与方程、分类讨论和转化与化归），尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准分类讨论时的参数的分界点，充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答.