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1、羈聿蒇薅肀芄莃薄螀肇艿蚃袂节薈蚂羄肅蒄蚁肇芁莀蚁袆肄莆蚀罿荿节虿肁膂薀蚈螁莇蒆蚇袃膀莂螆羅莆芈螅肇膈薇螅螇羁薃螄罿膇葿螃肂聿莅螂螁芅芁螁袄肈薀螀羆芃蒆衿肈肆莂衿螈节芈袈袀肄蚆袇肃芀薂袆膅膃蒈袅袅莈莄蒂羇膁芀蒁聿莆蕿薀蝿腿蒅蕿袁莅莁薈羃膈芇薇膆羀蚅薆袅芆薁薆羈聿蒇薅肀芄莃薄螀肇艿蚃袂节薈蚂羄肅蒄蚁肇芁莀蚁袆肄莆蚀罿荿节虿肁膂薀蚈螁莇蒆蚇袃膀莂螆羅莆芈螅肇膈薇螅螇羁薃螄罿膇葿螃肂聿莅螂螁芅芁螁袄肈薀螀羆芃蒆衿肈肆莂衿螈节芈袈袀肄蚆袇肃芀薂袆膅膃蒈袅袅莈莄蒂羇膁芀蒁聿莆蕿薀蝿腿蒅蕿袁莅莁薈羃膈芇薇膆羀蚅薆袅芆薁薆羈聿蒇薅肀芄莃薄螀肇艿蚃袂节薈蚂羄肅蒄蚁肇芁莀蚁袆肄莆蚀罿荿节虿肁膂薀蚈螁莇蒆蚇袃膀莂螆
2、羅莆芈螅肇膈薇螅螇羁薃螄罿膇葿螃肂聿莅螂螁芅芁螁袄肈薀螀羆芃蒆衿肈肆莂衿螈节芈袈袀肄蚆袇肃芀薂袆膅膃蒈袅袅莈莄蒂羇膁芀蒁聿莆蕿薀蝿腿蒅蕿袁莅莁薈羃膈芇薇膆羀蚅薆袅芆薁薆羈聿蒇薅肀芄莃薄螀肇艿蚃袂节薈蚂羄肅蒄蚁肇芁莀蚁袆肄莆蚀罿荿节虿肁膂薀蚈螁莇蒆蚇袃膀莂螆羅莆芈螅肇膈薇螅螇羁薃螄罿膇葿螃肂聿莅螂螁芅芁螁袄肈薀螀羆芃蒆衿肈肆莂衿螈节芈袈袀肄蚆袇肃芀薂袆膅膃蒈袅袅莈莄蒂羇膁芀蒁聿莆蕿薀蝿腿蒅蕿袁莅莁 课程设计课程名称 数字信号处理 系 别： 计算机科学系 专业班级： 通信一班 题 目： DFT在信号频谱分析中的应用 目 录1、设计题目32、设计目的33、设计原理34、实现方法35、设计内容及结果6
3、6、改进建议127、思考题及解答158、设计体会159、参考文献16.设计题目 DFT在信号频谱分析中的应用.设计目的 掌握离散傅里叶变换的有关性质，利用Matlab实现DFT变换。了解DFT应用，用DFT对序列进行频谱分析，了解DFT算法存在的问题及改进方法。学习并掌握FFT的应用。.设计原理所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。 工程实际中，经常遇到的连续信号Xa(t),其频谱函数Xa(jW)也是连续函数。数字计算机难于处
4、理，因而我们采用DFT来对连续时间信号的傅里叶变换进行逼近，进而分析连续时间信号的频谱。.实现方法 离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一样的。快速傅里叶变换（FFT）并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法，并且主要是基于这样的思路而发展起来的：（1）把长度为N的序列的DFT逐次分解成长度较短的序列的DFT来计算。（2）利用WN(nk)的周期性和对称性，在DFT运算中适当的分类，以提高运算速度。（对称性，;周期性，r为任意整数） 离散傅里叶变换的推导：离散傅里叶级数定义
5、为 （1-1）将上式两端乘以并对n在0N-1求和可得 因为 所以 这样用k代替m得（1-2）令则（1-2）成为DFS （1-3）（1-1）成为IDFS （1-4）式（1-3）、（1-4）式构成周期序列傅里叶级数变换关系。其中都是周期为N的周期序列，DFS表示离散傅里叶级数正变换，IDFS表示离散傅里叶级数反变换。习惯上，对于长为N的周期序列，把0nN-1区间称为主值区，把称为的主值序列，同样也称为的主值序列。由于，对于周期序列仅有N个独立样值，对于任何一个周期进行研究就可以得到它的全部信息。在主值区研究与是等价的，因此在主值区计算DFS和DFT是相等的，所以DFT计算公式形式与DFS基本相同。
6、其关系为 所以离散傅里叶正变换 0kN-1离散傅里叶变换（DFT）定义：设有限长序列x (n) 长为N（0nN-1），其离散傅里叶变换是一个长为N的频率有限长序列（0kN-1），其正变换为 0kN-1 （）离散傅里叶变换的实质是：把有限长序列当做周期序列的主值序列进行DFS变换，x(n)、X(k)的长度均为N，都是N个独立值，因此二者具有的信息量是相等的。已知x(n)可以唯一确定X(k),已知X(k)可以唯一确定x(n)。虽然离散傅里叶变换是两个有限长序列之间的变化，但它们是利用DFS关系推导出来的，因而隐含着周期性。构造离散傅里叶变换的Matlab实现程序如下： functionXk=dft
7、(xn,N) n=0:1:N-1; k=n; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n*k; WNnk=WN.nk; Xk=xn*WNnk快速傅里叶变换（FFT）并不是与DFT不同的另外一种变换，而是为了减少DFT计算次数的一种快速有效的算法 共轭对称性：设有限长序列的长度为N，以N为周期的周期延拓列为 周期序列的共轭对称分量和共轭反对称分量分别为 (1-5) (1-6)同样可以证明，它们满足 （1-7） （1-8） 则有限长序列的圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量分别定义为： （1-9） （1-10）由于满足 故 （1-11）显然，长度为N的有限长序列可以分解为圆周共轭对称分量和圆周
8、共轭反对称分量之和，和的长度皆为N。利用有限长序列与周期序列的共轭对称分量和反对称分量的关系式（1-9）和式（1-10），以及式（1-11）可以推导出DFT的一系列的对称性质（1） DFT 式中表示的共轭复序列。证明：DFT 又因为 所以DFT（2） 复序列实部的DFT等于DFT的圆周共轭对称部分，即 DFT证明：DFTDFT=DFT+DFT=利用DFT的对称性可求得的DFT:设 则DFT因为 所以DFTDFT=.设计内容及结果1. 用MATLAB语言编写计算序列x(n)的N点DFT的m函数文件dft.m。并与MATLAB中的内部函数文件fft.m作比较。 解： x (n) 的N点DFT的m函
9、数文件dft.m functionXk=dft(xn,N) n=0:1:N-1; k=n; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n*k; WNnk=WN.nk; Xk=xn*WNnkMatlab中的内部函数文件fft.m文件function varargout = fft(varargin)if nargout = 0 builtin(fft, varargin:);else varargout1:nargout = builtin(fft, varargin:);end运算量估计：对于N=点序列进行时间抽选奇偶分解FFT计算，需分M级，每级计算N/2个蝶。每一级需N/2次复乘、N次复
10、加，因此总共需要进行：复乘： 复加：直接计算N点的DFT，需要次复乘、N(N-1)次复加。N值越大，时间抽选奇偶分解FFT算法越优越。例如当N=2048点时，时间抽选奇偶分解FFT算法比直接计算DFT速度快300多倍可以用一下Matlab程序比较DFT和FFT的运算时间N=2048;M=11;x=1:M,zeros(1,N-M);t=cputime;y1=fft(x,N);Time_fft=cputime-tt1=cputime;y2=dft(x,N);Time_dft=cputime-t1t2=cputime;运行结果：Time_fft = 0.0469Time_dft = 15.2031由
11、此可见FFT算法比直接计算DFT速度快得多2. 对离散确定信号 作如下谱分析：截取使成为有限长序列N()，(长度N自己选)写程序计算出的N点DFT ,画出时域序列图xnn和相应的幅频图。解：1）求x(n)的前10点数据对应的X(ejw)、X(k)。MATLAB程序如下：N=10;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,.k);title(时域序列图xn);xlabel(n);axis(0,10,-2.5,2.5);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*ex
12、p(-j*n*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw);title(幅频特性曲线X(ejw);xlabel(w);axis(0,1,0,10);subplot(3,1,3)k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1;stem(w1/pi,abs(Xk),.k);title(频域序列图Xk);xlabel(频率（单位：pi）);axis(0,1,0,10);x(n)的前10点数据对应的x(n)、X(ejw)、X(k)如图1-1所示。 图1-1 x(n)的前10点数据对应的x(n)、X(ejw)、X(k)由图可见，由于截断函数的频谱混叠作用，X(k)不能正确分辨w1
13、=0.48、w2=0.52这两个频率分量。2）将x(n)补零至100点，求N=100点的X(ejw)、X(k)。MATLAB主要程序如下：N=10;n=0:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);N1=100;n1=0:N1-1;x1=xn(1:10) zeros(1,90);subplot(3,1,1)stem(n1,x1,.k);title(时域序列图x1);xlabel(n);axis(0,100,-2.5,2.5);w=2*pi*(0:2047)/2048;X1=x1*exp(-j*n1*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(
14、X1);title(幅频特性曲线X(ejw);xlabel(w);axis(0,1,0,10);subplot(3,1,3)Xk=dft(x1,N1);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50),.k);title(频域序列图Xk);xlabel(频率（单位：pi）);axis(0,1,0,10);x(n)补零至100点对应的x(n)、X(ejw)、X(k)如图1-2所示。图1-2 x(n)补零至100点对应的x(n)、X(ejw)、X(k)x(n)补零至100点对应的x(n)、X(ejw)、X(k)如图1-2所示。由图可见，x(n)补
15、零至100点，只是改变X(k)的密度，截断函数的频谱混叠作用没有改变，这时的物理分辨率使X(k)仍不能正确分辨w1=0.48、w2=0.52这两个频率分量。这说明，补零仅仅是提高了计算分辨率，得到的是高密度频谱，而得不到高分辨率谱。3）求x(n)的前100点数据，求N=100点的X(ejw)、X(k)。MATLAB主要程序如下：N=100;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,.k);title(时域序列图xn);xlabel(n);axis(0,100,-2.5,2.5)
16、;w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw);title(幅频特性曲线X(ejw);xlabel(w);axis(0,1,0,50);subplot(3,1,3);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50),.k);title(频域序列图Xk);xlabel(频率（单位：pi）);axis(0,1,0,50);100点x(n)对应的x(n)、X(ejw)、X(k)如图1-3所示图1-3 100点x(n)对应的x(n)、X(ejw)、X
17、(k)由图可见，截断函数的加宽且为周期序列的整数倍，改变了频谱混叠作用，提高了物理分辨率，使X(k)能正确分辨w1=0.48、w2=0.52这两个频率分量。这说明通过增加数据的记录长度Tp来提高物理分辨率可以得到分辨率谱。.改进及建议由图1-1、图1-2、图1-3可以看出。当取0=n=9时，从相应的图中几乎无法看出有关信号频谱的信号；将x(n)补90个零点后作N=100点的DFT，从相应的X（k）图中可以看出，这时的谱线相当密，故称为高密度谱线图，但是从中很难看出信号的频谱部分；对x(n)加长取样数据，得到长度为N=100的序列，此时相应的X(k)图中可以清晰地看到信号的频谱成分，这称为高分辨
18、频谱。为了得到更高的分辨率，增加N点的取值进行改进取x(n)的前128点数据，求N=128点的X(ejw)、X(k)。MATLAB主要程序如下：N=128;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,.k);title(时域序列图xn);xlabel(n);axis(0,100,-2.5,2.5);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw);title(幅频特性曲线X(ejw)
19、;xlabel(w);axis(0,1,0,70);subplot(3,1,3);k1=0:1:63;w1=2*pi/128*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:64),.k);title(频域序列图Xk);xlabel(频率（单位：pi）);axis(0,1,0,70);128点x(n)对应的x(n)、X(ejw)、X(k)如图1-4所示 图1-4 128点x(n)对应的x(n)、X(ejw)、X(k) 128点x(n)的数据对应的x(n)、X(ejw)、X(k)如图1-4所示。由图可见，截断函数虽然进一步加宽，但不是周期序列的整数倍，所以尽管X(k)能正确分辨w1=0.48、
20、w2=0.52这两个频率分量，但还呈现频谱泄露。分辨率提高了，但仍出现了频谱泄露现象，故要求N取值为周期序列的整数倍。取x(n)的前150点数据，求N=150点的X(ejw)、X(k)。N=150;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,.k);title(时域序列图xn);xlabel(n);axis(0,100,-2.5,2.5);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(X
21、w);title(幅频特性曲线X(ejw);xlabel(w);axis(0,1,0,80);subplot(3,1,3);k1=0:1:74;w1=2*pi/150*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:75),.k);title(频域序列图Xk);xlabel(频率（单位：pi）);axis(0,1,0,80);15点x(n)对应的x(n)、X(ejw)、X(k)如图1-5所示 图1-5 150点x(n)对应的x(n)、X(ejw)、X(k) 150点x(n)的数据对应的x(n)、X(ejw)、X(k)如图1-4所示。由图可见，截断函数进一步加宽，X(k)也正确清晰分辨w1=0
22、.48、w2=0.52这两个频率分量，达到了很好的效果。.思考题及解答(1)对比设计内容2中(1)(2) (3)的图，说明补零DFT的作用。 由图（1-1）、（1-2）、（1-3）可知DFT是有限长序列的频谱等间隔采样所得到的样本值，这就相当于透过一个栅栏去观察原来信号的频谱，因此必然有一些地方被栅栏所遮挡，这些被遮挡的部分就是未被采样到的部分，这种现象称为栅栏效应。如下图由于栅栏效应总是存在的，因而可能会使信号频率中某些较大的频率分量由于被“遮挡”二无法得到反映。此时，通常在有限长序列的尾部增补若干个零值，介意改变原序列的长度。这样加长的序列作DFT时，由于点数增加就相当于调整了原来栅栏的间
23、隙即间隔频率，可以使得原来的不到反映的那些较大的频率分量落在采样点上而得到反映。但要注意，由于栅栏效应，使得被分析的频谱变得较为稀疏，为此，在采样样本序列x(n)后补零，在数据长度不变的情况下，可以改变频谱的频率取样密度，得到高密度频谱。(2)解释设计内容3中图和图有什么区别？补零DFT能否提高信号的频谱分辨率，说明提高频谱密度、频谱分辨率的措施各是什么？ 图（1-2）在图（1-1）的基础上提高了频谱密度和计算分辨率，但是频谱的包络没有发生变化所以图和图没有区别。 补零作用不能提高信号的频谱分辨率，因在x(n)后面补零并没有增加新的信息量，改善的仅是栅栏效应，所以补零是不能提高频率分辨率的，即
24、得不到高分辨率谱。这说明，补零仅仅是提高了计算分辨率，得到的是高密度频谱，而要得到高分辨率谱，则要通过增加数据的记录长度来提高物理分辨率。.设计体会及心得 计算机是进行数字信号处理的主要工具，计算机只能处理有限长序列，这就决定了有限长序列处理在数字信号处理中的重要地位。离散傅里叶变换建立了有限长序列与其近似频谱之间的联系，在理论上具有重要意义。离散傅里叶变换DFT在数字通信、语音处理、图像处理、谱估计、仿真、系统分析、雷达、光学影像、地震等各个领域得到广泛应用，但是这都是以卷积和相关运算，对连续信号和序列进行谱分析为基础的。 通过该课程设计，我们受益匪浅，对DFT在进行频谱的分析上有了根深刻的
25、理解和掌握。DFT实现了频域采样，同时DFT存在快速算法FFT，所以在实际应用中，可以利用计算机，用DFT来逼近连续时间信号的傅里叶变换，进而分析连续时间信号频谱。同时知道了补零点的作用，其仅仅是提高了计算分辨率，得到的是高密度频谱，并不能得到高分辨率谱，要提高频率分辨率，则要通过增加数据记录长度来提高物理分辨率。 在编程实现中，遇到了一些问题，为此我们翻阅一些了参考书，并通过讨论一一解决。期间我们不仅学到了许多课本上的知识，还有课本以外的内容，学到了许多课本上所没提到的东西，这些东西都让我们耳目一新，开阔了视野，拓宽了知识面。从以前仅仅掌握离散傅里叶变换的概念，到现在渐渐领悟到离散傅里叶变换
26、的一些实际应用，更明白它在实际设计中的作用，从理论到实践的逐步过渡，增了动手能力。知道了到团队精神的重要性，大家互相讨论，分工合作，享受了合作的乐趣。.参考文献1余成波，陶红艳.数字信号处理及MATLAB实现（第二版）.北京：清华大学出版社.2008.1.p98-123.2王艳芬，王刚.数字信号处理原理及实现.北京：清华大学出版社.2008.3.p96-105.3从玉良，王宏志.数字信号处理原理及其MATLAB实现（第2版）.北京：电子工业出版社.2009.7.p63-100. 莄衿羃膂莃羁袆蒁莂蚁肁莇莁螃袄芃莀袅聿腿葿薅袂肅蒈蚇肈莃蒈螀袁荿蒇羂肆芅蒆蚂罿膁蒅螄膄肇蒄袆羇莆蒃薆膃节薂蚈羅膈薂螀
27、膁肄薁袃羄蒂薀蚂螇莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆薆虿袃莅蚆螁聿芁蚅袄袁膇蚄薃肇肃蚃螆袀蒂蚂袈膅莇蚁羀羈芃蚀蚀膃腿芇螂羆肅莆袅膂莄莅薄羅芀莄蚆膀膆莄衿羃膂莃羁袆蒁莂蚁肁莇莁螃袄芃莀袅聿腿葿薅袂肅蒈蚇肈莃蒈螀袁荿蒇羂肆芅蒆蚂罿膁蒅螄膄肇蒄袆羇莆蒃薆膃节薂蚈羅膈薂螀膁肄薁袃羄蒂薀蚂螇莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆薆虿袃莅蚆螁聿芁蚅袄袁膇蚄薃肇肃蚃螆袀蒂蚂袈膅莇蚁羀羈芃蚀蚀膃腿芇螂羆肅莆袅膂莄莅薄羅芀莄蚆膀膆莄衿羃膂莃羁袆蒁莂蚁肁莇莁螃袄芃莀袅聿腿葿薅袂肅蒈蚇肈莃蒈螀袁荿蒇羂肆芅蒆蚂罿膁蒅螄膄肇蒄袆羇莆蒃薆膃节薂蚈羅膈薂螀膁肄薁袃羄蒂薀蚂螇莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆薆虿袃莅蚆螁聿芁蚅袄袁膇蚄薃肇肃蚃螆袀蒂蚂袈膅莇蚁羀羈芃蚀蚀膃腿芇螂羆肅莆袅膂莄莅薄羅芀莄蚆膀膆莄衿羃膂莃羁袆蒁莂蚁肁莇莁螃袄芃莀袅聿腿葿薅袂肅蒈蚇肈莃蒈螀袁荿蒇羂肆芅蒆蚂罿膁蒅螄膄肇蒄袆羇莆蒃薆膃节薂蚈羅膈薂螀膁肄薁袃羄蒂薀蚂螇莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆薆虿袃莅蚆螁聿芁蚅袄袁膇蚄薃肇肃蚃螆袀蒂蚂袈膅莇蚁羀羈芃蚀蚀膃腿芇螂羆17