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1、金山中学2020学年第二学期高一年级数学学科期中考试试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分1. 已知是等差数列的前项和，若，则_.2若的圆心角所对的弧长为，则扇形半径长为 3方程的解集是_4. 设，则的值为_5函数的值域为_ 6设函数是R上的奇函数，当时，则当时，的解析式为_.7若等比数列的前项和，则_8. 如图所示，在直角坐标系中，角的顶角是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且.将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆
2、于点.若点的横坐标为，则点的横坐标为_.9已知函数，若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则实数的取值集合是_10.已知数列满足，为数列的前项和，则_11已知数列满足，若对任意都有，则实数的取值范围是 12已知函数的图像与直线的三个交点的横坐标分别为，那么的值是_.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 13. 已知为数列的前项和，且满足，则 （ ）A. B C D14在中，角所对的边分别为，则“”是“”的 ( ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必
3、要条件 15有下列四个命题：只有在区间上，正弦函数才有反函数；与是同一函数；若函数的最小正周期为，则；函数的最小正周期为. 其中正确的命题个数为 （ ）A. B C D16对于实数，表示不超过的最大整数. 已知正数数列满足，其中为数列的前项和，则（ ）A B C D三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分14分)设，求的值.18(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分 已知等比数列满足：公比，且.（1） 求数列的通项公式；（2）设点在函数的图像上，求数列的前项和的最大值，并求出此
4、时的.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.（1） 求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.如图，公路围成的是一块角形耕地，其中顶角满足.在该土地中有一点，经测量它到公路的距离分别为.现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业区（1）用来表示；（2）为尽量减少耕地占用，问等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面
5、积.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数，使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为.（1） 已知，求的值；（2） 令，证明：是等比数列，并求出的通项公式；（3） 数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系，若不存在，说明理由.金山中学2020学年第二学期高一年级数学学科期中考试参考答案（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上
6、相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分1. 已知是等差数列的前项和，若，则_.2若的圆心角所对的弧长为，则扇形半径长为 3方程的解集是_4. 设，则的值为_5函数的值域为_ 6设函数是R上的奇函数，当时，则当时，的解析式为_.7若等比数列的前项和，则_8. 如图所示，在直角坐标系中，角的顶角是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且.将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点.若点的横坐标为，则点的横坐标为_.9已知函数，若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则实数的取值集合是_10.已知数列满足，为数列的前项和，则_11已知数列满足，若对任意都有，则实数的取值范围是 1
7、2已知函数的图像与直线的三个交点的横坐标分别为，那么的值是_.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 13. 已知为数列的前项和，且满足，则 （ C ）A. B C D14在中，角所对的边分别为，则“”是“”的 ( A ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 15有下列四个命题：只有在区间上，正弦函数才有反函数；与是同一函数；若函数的最小正周期为，则；函数的最小正周期为. 其中正确的命题个数为 （ A ）A. B C D16对于实数，表示不超过的最大整数.
8、 已知正数数列满足，其中为数列的前项和，则（ B ）A B C D三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分14分)设，求的值.解：.18(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分 已知等比数列满足：公比，且.（2） 求数列的通项公式；（2）设点在函数的图像上，求数列的前项和的最大值，并求出此时的.解：（1）由又（2）由题意，是等差数列，且.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求的值
9、；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.解：（1）化简得：为偶函数，又，又函数图象的两相邻对称轴间的距离为，因此.（2）由题意得令，即的单调递减区间为.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.如图，公路围成的是一块角形耕地，其中顶角满足.在该土地中有一点，经测量它到公路的距离分别为.现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业区（1）用来表示；（2）为尽量减少耕地占用，问等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.解：（1），.（2）由正弦定理，得当
10、且仅当，即时等号成立. 解得.答：当时，该工业区的面积最小值为.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数，使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为.（4） 已知，求的值；（5） 令，证明：是等比数列，并求出的通项公式；（6） 数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系，若不存在，说明理由.解：（1）.（2）证明：（常数）又是以为首项，为公比的等比数列. 故.（3）不妨设数列中存在不同的三项恰好成等差数列. 即化简得：显然上式左边为偶数，右边为奇数，方程不成立. 故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.