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1、第2课时指数扩充及其运算性质1.经历幂指数由正整数逐步扩充到实数的过程,理解有理数指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义.2.掌握分数指数幂和根式之间的互化.3.掌握幂的运算性质.我们知道考古学家是通过对生物化石的研究判断生物的发展和进化的,那么他们又怎样判断它们所处的年代呢?当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,考古学家获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系P=(12)t5730,这样就能推断它们所处的年代.在科学领域中,常常需要研究这一类问题.问题1:情景中t5730不一定为整数,不
2、为整数它还有意义吗?下面我们就来学习新知识分数指数幂.分数指数幂的定义:给定正实数a,对于任意给定的整数m、n(m、n互素),存在唯一的正实数b,使得bn=am,b叫作a的次幂,记作,它就是分数指数幂.0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.问题2:n次方根的概念:如果xn=a,那么x叫作a的,其中n1,且nN+.(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个,负数的n次方根是一个,因此a的n次方根用符号表示.(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,它们,可用符号表示.负数没有偶次方根.(3)当n为奇数时nan=,当n为偶数时nan=.问题3:(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是:amn=(a
3、0,m,nN+,n1).(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定:a-mn=(a0,m,nN+,n1).问题4:在初中,我们学过正整数指数幂的运算性质,当指数为任意实数时,这些运算性质还适用.实际上,当a0,b0时,对任意实数m、n,我们可以将指数运算的性质归结为三条:(1)aman=;(2)(am)n=;(3)(ab)n=.1.下列运算中,正确的是().A.6(a-b)6=a-bB.8(a2+b2)8=a2+b2C.4a4-4b4=a-bD.10(a+b)10=a+b2.下列根式与分数指数幂的互化,正确的是().A.-x=(-x)12B.x-13=-3xC.(xy)-
4、34=4(yx)3(x,y0)D.6x2=x13(x0,b0)的结果是.已知ab1,nN+,化简n(a-b)n+n(a+b)n.若已知x3+x-3=2,你能求出x+x-1的值吗?1.若4a-2+(a-4)0有意义,则a的取值范围是().A.a2B.a2且a4C.a2D.a42.下列各式中成立的一项是().A.(nm)7=n7m17B.12(-3)4=3-3C.4x3+y3=(x+y)34D.39=333.若5=21a,5=31b,则52a-b=.4.化简:(1)(a23b12)(-3a12b13)(13a16b56).(2)a2a3a2(a0).(2020年陕西卷)设函数f(x)=x,x0,(
5、12)x,x0,则f(f(-4)=.考题变式(我来改编):答案第2课时指数扩充及其运算性质知识体系梳理问题1:mnb=amn0没有意义问题2:n次方根(1)正数负数na(2)互为相反数na(3)a|a|=a,a0,-a,a0问题3:(1)nam(2)1nam问题4:(1)am+n(2)amn(3)anbn基础学习交流1.B在根式运算中,要看清是偶次方根还是奇次方根的运算,它们的运算性质是不一样的.这四个都是偶次方根的运算,当a0时,nan=a,a2+b20,所以只有B项是正确的,其余都不对.2.C对A,-x=-x12,故A错;对B,x-13=1x13=13x,故B错;C是正确的;对D,6x2=
6、3|x|=(-x)13(x0),故D是错的.3.23,62根据根式的性质知,要使(3x-2)12有意义,则3x-20,要使(2-3x)12有意义,则2-3x0,故2-3x=0,此时x=23,y=62.4.解:原式=a85(-12)b-65(-12)a45b35=a-45+45b35-35=a0b0=1.重点难点探究探究一:【解析】(1)a2a=a2a12=a2+12=a52.(2)a33a2=a3a23=a3+23=a113.【小结】牢记分数指数幂的定义和有理数指数幂运算性质是解题的关键.探究二:【解析】(1)原式=a2b(b3a)12(ab3)1412=a1-14+18b-12+34-38=
7、a78b-18=1b8a7b7.(2)原式=a13(a-8b)4b23+2a13b13+a23(1-2b13a13)a13=a13(a13-2b13)(a23+2a13b13+4b23)4b23+2a13b13+a23a13a13-2b13a13=a13a13a13=a.(3)原式=23-610-4(2+1)=23-66-42=23-6(2-2)=11+62=3+2.(4)原式=(a2+b2)a2b2-(a-2+b-2)a2b2a4b4-1+(a2-1)(b2-1)a2b2+1=(a2+b2)a2b2-(a2+b2)a4b4-1+(a2-1)(b2-1)a2b2+1=(a2+b2)(a2b2-
8、1)(a2b2+1)(a2b2-1)+a2b2-a2-b2+1a2b2+1=(a2+b2)+(a2b2-a2-b2+1)a2b2+1=a2b2+1a2b2+1=1.【小结】(1)在幂的运算过程中,要注意乘法公式的运用,常用的乘法公式有完全平方、平方差、立方和与立方差公式.(2)考查根式的运算能力.复合根式要化简,必须将被开方数配成完全平方式,从内层逐步“去掉”根式,如本探究(3),同时还要注意a2=|a|,如果分母中含有根号应化简后再有理化.(3)注意灵活应用分式化简的方法和技巧,例如:把分子、分母分解因式,可约分的先约分;利用分式的基本性质化繁分式为简分式,化异分母为同分母;把适当的几个分式
9、先化简,各个击破;用换元法使分式简化.探究三:【解析】由x+x-1=3,两边平方得:(x+x-1)2=32,x2+2+x-2=9,x2+x-2=7.【小结】在指数幂的求值运算中,要运用整体的思想去分析,把已知和未知联系起来,进而求得未知.思维拓展应用应用一:a-13b163a-1b=(a-1b12)13=a-13b16.应用二:当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a;当n是偶数时,原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a.应用三:x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=(x+x-1)(x+x-1)2-2-1=(x+x-1)(x+x-1)2-3=2,令x
10、+x-1=m,则方程变形为m(m2-3)=2,则有m3-3m-2=m3+1-3(m+1)=(m+1)(m2-m+1)-3(m+1)=(m+1)(m2-m-2)=(m+1)2(m-2),则方程变形为(m+1)2(m-2)=0.即得m=-1或m=2.若m=-1,则x+x-1=-1,此时方程无解,舍去,若m=2,则x+x-1=2,解得x=1,故x+x-1=2.基础智能检测1.Ba-20,a-40,a2且a4,故选B.2.D(nm)7=n7m-7,(-3)4=34,x3+y3(x+y)3.3.43由5=21a,5=31b,得5a=2,5b=3.52a-b=52a5b=(5a)25b=43.4.解:(1)原式=-9a23+12-16b12+13-56=-9ab0=-9a.(2)原式=a2a12a23=a2-12-23=a56=6a5.全新视角拓展4f(-4)=(12)-4=16,f(f(-4)=f(16)=16=4.