陈伯时运动控制系统 第4章_系统运动的稳定性分析.pdf

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1、第4章 系统运动的稳定性分析第4章 系统运动的稳定性分析 稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必 要条件，它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性， 而与输入作用无关。 稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必 要条件，它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性， 而与输入作用无关。 1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数， 与系统初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参 数，也与系统初始条件及外作用有关； 1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数， 与系统初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参 数，也与系统初始条件及

2、外作用有关； 稳定性判别方法稳定性判别方法 经典控制理论中：经典控制理论中： 线性定常系统的稳定性：线性定常系统的稳定性： 代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）； 奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。 代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）； 奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。 非线性定常系统的稳定性：非线性定常系统的稳定性： 描述函数法描述函数法： 要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能； ： 要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能； 相平面法相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。：仅适合于一阶、二阶非线性系统。 现代控制理论中：现代控制理论中： 一般系统一般系统（包括单变量、线性、定常系

3、统，以及多变量、 非线性、时变系统）的稳定性： （包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、 非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性 理论。理论。 李雅普诺夫稳定性理论。李雅普诺夫稳定性理论。 李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定 性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法： 李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定 性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法： 1.间接法：1.间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳 定性，又称 利用线性系统微分方程的解来判系统的稳 定性，又称李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法； 2.直接法2.直接法：首先利用经验和技巧

4、来构造李雅普诺夫函 数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性， 又称 ：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函 数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性， 又称李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第二法。 李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般 理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线 性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解 决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适 应范围更广。 李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般 理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线 性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解 决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适 应范围

5、更广。 4.1 李雅普诺夫稳定性定义4.1 李雅普诺夫稳定性定义 4.2 李雅普诺夫第一法4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理4.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理 4.4 线性系统稳定性分析4.4 线性系统稳定性分析 4.1 李雅普诺夫稳定性定义4.1 李雅普诺夫稳定性定义 一. BIBO稳定性的概念一. BIBO稳定性的概念 对于一个对于一个初始条件为零初始条件为零的系统，如果在有界的 输入u(t)的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的 ，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界 输出稳定的。并简称为BIBO稳定。 的系统，如果在有界的 输入u(t)的作用下，

6、所产生的输出y(t)也是有界的 ，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界 输出稳定的。并简称为BIBO稳定。 李雅普诺夫稳定性的物理意义是李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界系统响应是否有界。 二平衡状态二平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。 1. 平衡状态的定义1. 平衡状态的定义 设系统状态方程为： 若对所有t，状态x满足，则称该状态x为平衡 状态，记为x 设系统状态方程为： 若对所有t，状态x满足，则称该状态x为平衡 状态，记为xe e。故有下式成立： 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。 。故有下式

7、成立： 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。 () 11 . 4(,=txf x txtx ()(,; 000 ttxtxt e x 四李雅普诺夫稳定性定义四李雅普诺夫稳定性定义 1李雅普诺夫意义下的稳定性1李雅普诺夫意义下的稳定性P169P169 几何意义几何意义 按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰 减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要 不超出S(),则认为是稳定的，这与经典控制理论中线 性定常系统的稳定性定义有差异。 按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰 减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要 不超出S(),则认为是稳定的，这与经典控制理论

8、中线 性定常系统的稳定性定义有差异。 2渐进稳定性（经典理论稳定性）2渐进稳定性（经典理论稳定性） () e t xtxt 00, ; lim x 定义：定义： 如果系统的平衡状态x如果系统的平衡状态xe e不仅有李雅普诺夫意义下的 稳定性，且对于任意小量0，总有 则称平衡状态x 不仅有李雅普诺夫意义下的 稳定性，且对于任意小量0，总有 则称平衡状态xe e是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。 这时，从S()出发的轨迹不仅不会超出S()，且 当t时收敛于xe，可见经典控制理论中的稳定性经典控制理论中的稳定性定 义与渐进稳定性渐进稳定性对应。 几何意义：几何意义： 定义：

9、定义：当初始状态扩展到整个状态空间，当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡 状态x 且平衡 状态xe e均具有渐进稳定性均具有渐进稳定性，称这种平衡状态x，称这种平衡状态xe e是大范 围渐近稳定的。此时，S()。当t 时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于x 是大范 围渐近稳定的。此时，S()。当t 时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于xe e。 3.大范围渐进稳定性3.大范围渐进稳定性 对于严格的线性系统，如果它是渐近稳定的， 必定是大范围渐进稳定的。 对于严格的线性系统，如果它是渐近稳定的， 必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳 定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统

10、来 说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统 渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。 这是因为线性系统的稳 定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来 说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统 渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。 几何意义：几何意义： 定义定义：如果对于某个实数0和任一实数0， 不管 ：如果对于某个实数0和任一实数0， 不管这个实数多么小，在S()内总存在一个状态 x 这个实数多么小，在S()内总存在一个状态 x0 0，使得由这一状态出发的轨迹超出S()，则称 平衡状态x ，使得由这一状态出发的轨迹超出S()，则称 平衡状态xe e是不稳定的。是不稳定的。 4不稳定性4不稳定

11、性 几何意义：几何意义： 对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S()， 但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统 比喻不稳定，轨迹趋于S()以外的平衡点。 当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的 轨迹，理论上趋于无穷远。 对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S()， 但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统 比喻不稳定，轨迹趋于S()以外的平衡点。 当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的 轨迹，理论上趋于无穷远。 从上述四种稳定性定义可见，球域S() 限制着初 始状态x 从上述四种稳定性定义可见，球域S() 限制着初 始状态x0 0的取值，球域S()规定了系统自由运动响应

12、的边界。 简单地说， 的取值，球域S()规定了系统自由运动响应 的边界。 简单地说，1.1.如果有界，则称x如果有界，则称xe e稳定；稳定； 2.2.如果不仅有界，而且当t时收敛于 原点，则称x 如果不仅有界，而且当t时收敛于 原点，则称xe e渐进稳定；渐进稳定； 3.3.如果无界，则称x如果无界，则称xe e不稳定；不稳定； () 00, ;txtx () 00, ;txtx () 00, ;txtx () 00, ;txtx 返回 4.2 李雅普诺夫第一法（间接法）4.2 李雅普诺夫第一法（间接法） 一线性定常系统稳定性判定一线性定常系统稳定性判定 ) 12 . 4( = += Cxy

13、 BuAx x & 基本思路： 1.线性系统通过判断状态方程的解来判断 稳定性； 2.非线性和时变系统要通过平衡点附近的 线性化处理，再根据A阵判断系统的稳定性。 定理4.1定理4.1 线性定常系统 （1）平衡状态xe是 线性定常系统 （1）平衡状态xe是渐进稳定渐进稳定的充分必要条件 是矩阵A的所有特征值均具有负实部； （2）平衡状态xe是 的充分必要条件 是矩阵A的所有特征值均具有负实部； （2）平衡状态xe是不稳定不稳定的充分必要条件是 矩阵A的有些特征值具有正实部； （3）当系统用传递函数描述时，系统 的充分必要条件是 矩阵A的有些特征值具有正实部； （3）当系统用传递函数描述时，系统

14、BIBO稳 定 BIBO稳 定的的充分必要条件充分必要条件为G(s）的极点具有负实部。为G(s）的极点具有负实部。 例4.2.1例4.2.1设系统的状态空间表达式为：设系统的状态空间表达式为： xy uxx 01 1 1 10 01 = + =& 试分析系统平衡状态x试分析系统平衡状态xe e=0的稳定性与系统的BIBO 稳定性。 =0的稳定性与系统的BIBO 稳定性。 解：解：系统的特征方程为系统的特征方程为 ()()011det=+=ssAsI A阵的特征值为A阵的特征值为+1+1，-1-1。故系统。故系统平衡状态平衡状态xe是不稳定的是不稳定的。 系统传递函数 。 系统传递函数 1s 1

15、 1)1)(s(s 1s bA)c(sIG(s) 1 + = + = 传递函数极点位于S左半平面，故系统传递函数极点位于S左半平面，故系统是BIBO稳定的是BIBO稳定的。 BIBO稳定 渐近稳定 结论：结论： 1.1. 线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳 定 的； 2. 线性定常系统是BIBO稳定的，则不能保证系统 一定是渐进稳定的； 3. 如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部 稳定性与外部稳定性是等价。 线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳 定 的； 2. 线性定常系统是BIBO稳定的，则不能保证系统 一定是渐进稳定的； 3. 如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部

16、 稳定性与外部稳定性是等价。 二非线性系统的稳定性判定二非线性系统的稳定性判定 对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件 下用它的线性化模型，用定理4.1的方法来研究。 对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件 下用它的线性化模型，用定理4.1的方法来研究。 对于非线性系统，设对于非线性系统，设x xe e为其平衡点。为其平衡点。),(txfx =& e x T e x f Axxx =,令： xAx = & 则系统线性化模型： 矩阵雅可比（其中：) 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 Jacobian n nnn n n T = x f x f x f x f x f x f

17、x f x f x f x f L LL L L 李雅普诺夫给出以下结论：李雅普诺夫给出以下结论： （1） A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态xe是（1） A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态xe是 渐进稳定渐进稳定的； （2）A的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态xe是 的； （2）A的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态xe是 不稳定不稳定的。 （3）A的特征值至少有一个实部为0，则不能根据A来判 平衡状态xe的稳定性, 的。 （3）A的特征值至少有一个实部为0，则不能根据A来判 平衡状态xe的稳定性,系统处于临界状态，需要由R(x) 决定。 系统处于临界状态，需要由R(x) 决定

18、。 例4.2.2例4.2.2 已知非线性系统的状 态空间表达式，试分析系统平衡 状态的稳定性。 已知非线性系统的状 态空间表达式，试分析系统平衡 状态的稳定性。P173P173 += = 2122 2111 xxxx xxxx & & 解：解：系统有2个平衡状态：x系统有2个平衡状态：xe1 e1=0,0和x =0,0和xe2 e2=1,1 =1,1 = 1 1 12 12 xx xx x f T 在x在xe1 e1=0,0处线性化， =0,0处线性化， = = 10 01 1 T x f A A A1 1阵的特征值为阵的特征值为+1+1，-1-1。故系统在x。故系统在xe1 e1处 处是不稳

19、定的是不稳定的。 在x 。 在xe2 e2=1,1处线性化， =1,1处线性化， = = 01 10 2 T x f A A A2 2阵的特征值为阵的特征值为+j+j，-j-j,其实部为0,不能 根据A来判断稳定性。 ,其实部为0,不能 根据A来判断稳定性。 返回 4.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理4.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函 数V(x)来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。 根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间 推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实 际系统的能量函数表达式并非易事。 是通过构造李雅普诺夫函 数V

20、(x)来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。 根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间 推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实 际系统的能量函数表达式并非易事。 （1）如果一个系统被激励后，其储存的能量随 时间的推移逐渐衰减，只到平衡状态时为最小， 则称这个平衡状态是渐进稳定的。 （2）如果一个系统被激励后，其储存的能量随 时间的推移越来越大，则称这个平衡状态是不 稳定的。 （3）如果一个系统被激励后，其储存的能量随 时间的推移维持不变，则称这个平衡状态是临 界稳定的，在李雅普诺夫意义下也认为是稳定 的。 李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与 及t有关，记为V(x,t)或V(x

21、)。 V(x)是 一标量函数，考虑到能量总大于0，故为正定函数。 能量衰减特性用或表示。李雅普诺夫第 二法利用V和的符号特征，直接对平衡状态稳定 性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称 李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与 及t有关，记为V(x,t)或V(x)。 V(x)是 一标量函数，考虑到能量总大于0，故为正定函数。 能量衰减特性用或表示。李雅普诺夫第 二法利用V和的符号特征，直接对平衡状态稳定 性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称直直 接法接法。 n xxx, 21 L ()txV, & ( )xV & V & V & 直接法解决了一些其它稳定性判据难以 解决的非线性系统

22、的稳定性问题，但遗憾 的是对一般非线性系统仍未找到构造李雅 普诺夫函数V(x)的通用方法。尽管如此目 前它仍然是研究系统(包括时变、非线性) 稳定性的有力工具。 对于线性系统，通常用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。 直接法解决了一些其它稳定性判据难以 解决的非线性系统的稳定性问题，但遗憾 的是对一般非线性系统仍未找到构造李雅 普诺夫函数V(x)的通用方法。尽管如此目 前它仍然是研究系统(包括时变、非线性) 稳定性的有力工具。 对于线性系统，通常用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。 ( )PxxxV T = 一预备知识一预备知识 1二次型函数的定义及其表达式1二次型函数的定义及其表达式 定义： 定

23、义：设为n个变量，定义二次型标量 函数为： 设为n个变量，定义二次型标量 函数为： n xxx, 21 L jiij pp = 其中，则称P为实对称阵。其中，则称P为实对称阵。 ( ) 13 . 4( 2 1 21 22221 11211 21 = nnnnn n n n T x x x ppp ppp ppp xxxPxxxV MMM L L 例如：例如： = 3 2 1 321 112 141 2110 )( x x x xxxxv 显然，二次型v(x)完全由矩阵P确定。因此二次型 和它的矩阵是相互唯一决定的。 显然，二次型v(x)完全由矩阵P确定。因此二次型 和它的矩阵是相互唯一决定的。

24、 22 22 2 11 )( nnx axaxaxV+=L 二次型的标准型 二次型的标准型 只含有平方项的二次型称为二次型的标准型， 如： 只含有平方项的二次型称为二次型的标准型， 如： 2.标量函数V(x)的符号和性质2.标量函数V(x)的符号和性质 设:,且在设:,且在x=0处，V(x)0 x=0处，V(x)0。对于x0的 任何向量。 V(x)0，称V(x)为 。对于x0的 任何向量。 V(x)0，称V(x)为正定的正定的。例如： V(x)0，称V(x)为 。例如： V(x)0 负定 为奇数 为偶数 P i i i 0 0 半正定P ni ni i = = 0 110L 半负定为奇数 为偶

25、数 P ni i i i = = 0 0 0 二李雅普诺夫第二法的判稳主要定理二李雅普诺夫第二法的判稳主要定理 系统 系统渐进稳定渐进稳定的判别定理一的判别定理一 定理4.2 设系统状态方程为:,其状态平衡 点x 定理4.2 设系统状态方程为:,其状态平衡 点xe e=0,满足。如果存在一个具有连续偏导数的标 量函数V(x,t),且满足以下条件 =0,满足。如果存在一个具有连续偏导数的标 量函数V(x,t),且满足以下条件 ),(tf xx =& 0), 0(=tf 1.V(x,t)是正定的； 2. 是负定的； 1.V(x,t)是正定的； 2. 是负定的；),(txV & 系统在原点处的平衡

26、状态是渐进稳定的。 系统在原点处的平衡 状态是渐进稳定的。 ),(. 3txVx，有当 1，2，3 系统在原点处的平衡状态是 大范围渐进稳定的。 系统在原点处的平衡状态是 大范围渐进稳定的。 () += += 2 2 2 1212 2 2 2 1121 )( xxxxx xxxxx & & 例4.3.1例4.3.1 已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性. 已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性. 解解：显然，坐标原点x：显然，坐标原点xe e=0（即x=0（即x1 1=0,x=0,x2 2=0)是系统惟一 的平衡状态。选取正定标量函数为 则沿任意轨迹，V(x)

27、对时间的导数 是负定的。说明V(x)沿任意轨迹是连续减小的， 因此V(x)是一个李雅普诺夫函数。 =0)是系统惟一 的平衡状态。选取正定标量函数为 则沿任意轨迹，V(x)对时间的导数 是负定的。说明V(x)沿任意轨迹是连续减小的， 因此V(x)是一个李雅普诺夫函数。 2 2 2 1 xxV(x)+= ( )() 2 2 2 2 12211 222xxxxxxxV+=+=& & 而且，所以系统 在原点处的平衡状态是 而且，所以系统 在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的大范围渐进稳定的 ),(txVx，有 系统系统渐进稳定渐进稳定的判别定理二的判别定理二 定理4.3 设系统状态方程为:,其状态 平

28、衡点x 定理4.3 设系统状态方程为:,其状态 平衡点xe e=0,满足。如果存在一个具有连续偏 导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件 =0,满足。如果存在一个具有连续偏 导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件 ),(tf xx =& 0), 0(=tf 1.V(x,t)是正定的； 2. 是 1.V(x,t)是正定的； 2. 是半负定半负定的；的；),(txV& ()则为大范围渐进稳定。如果还有 态是渐进稳定的。在系统原点处的平衡状 不恒等于零，则，当 , ),(0. 3 txVx txVx & 定理的运动分析定理的运动分析：以二维空间为例：以二维空间为例 0)(xV & 例4.3.

29、2例4.3.2已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。 已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。 = = 212 21 xxx xx & & 解解：显然，坐标原点x：显然，坐标原点xe e=0（即x=0（即x1 1=0,x=0,x2 2=0)是系统惟一 的平衡状态。 =0)是系统惟一 的平衡状态。 ( ) 02 )(2.2 .2.2 2 2 21221 2211 = += += x xxxxx xxxxxV& & 则： 2 2 2 1 xxV(x)+=选取正定标量函数为 负半定 时， 时， ),( 0),(0, 0 0),(0, 0 21 21 txV txVx

30、x txVxx & & & = = 当 进一步分析的定号性： 如果假设，必然要求，进一步要求 。但从状态方程可知，必满足 表明只可能在原点（x1=0,x2=0）处恒等于零。 ( )02 2 2 =xxV & 0 2 x 0 2 x & 212 xxx=&0 1 =x ()txV, & ),(txV & 渐 进 稳 定 而且，当，所以系统在 原点处的平衡状态是 而且，当，所以系统在 原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的大范围渐进稳定的 ),(txVx，有 = = 212 21 xxx xx & & 若在该例中 2)( 2 1 2 2 2 1 2 21 xxxx+=V(x)选取正定标量函数为选取正定

31、标量函数为 ( ) )()(2().3( ).2().3( 2 2 2 12121221 221121 xxxxxxxxx xxxxxxxV +=+= +=& & 则： 负定负定 而且，当，所以系统在 原点处的平衡状态是 而且，当，所以系统在 原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的大范围渐进稳定的 ),(txVx，有 由以上分析看出，选取不同的V(x)，可能使问题 分析采用不同的判别定理。 由以上分析看出，选取不同的V(x)，可能使问题 分析采用不同的判别定理。 系统系统李氏稳定李氏稳定的判别定理的判别定理 定理4.4 设系统状态方程为:,其状态平 衡点x 定理4.4 设系统状态方程为:,其状态平

32、 衡点xe e=0,满足。如果存在一个具有连续偏导 数的标量函数V(x,t),且满足以下条件 =0,满足。如果存在一个具有连续偏导 数的标量函数V(x,t),且满足以下条件 ),(tf xx =& 0), 0(=tf 则系统在原点处的平 衡状态是李雅普诺夫李雅普诺夫意义 下 意义 下稳定稳定的，但不是渐进稳 定的。这时系统可保持在 一个稳定的等幅振荡状态 上。 的，但不是渐进稳 定的。这时系统可保持在 一个稳定的等幅振荡状态 上。 1.V(x,t)是正定的； 2. 是半负定的，且。),(txV & 0),(0 txVx时， 例4.3.3已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。

33、例4.3.3已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。 = = 12 21 xx axx & & 解：显然，坐标原点xe=0（即x1=0,x2=0)是系统惟一 的平衡状态。 0+=aa 2 2 2 1 xxV(x) 选取正定标量函数为 ( )02222 21212211 =+=xaxxaxxaxxxxV& & 则： 由上式可见，则由上式可见，则系统在原点处的平衡 状态是李雅普诺夫李雅普诺夫意义下意义下稳定稳定的，但不是渐进稳定的。的，但不是渐进稳定的。 0),(txV & 系统系统不稳定不稳定的判别定理的判别定理 定理4.5 设系统状态方程为:,其状态平 衡点x 定理4.5 设系

34、统状态方程为:,其状态平 衡点xe e=0,满足。如果存在一个具有连续偏导 数的标量函数V(x,t),且满足以下条件 =0,满足。如果存在一个具有连续偏导 数的标量函数V(x,t),且满足以下条件 ),(tf xx =& 0), 0(=tf 1.V(x,t)是正定的； 2. 是正定的； 1.V(x,t)是正定的； 2. 是正定的； ),(txV & 则系统在原点处的 平衡状态是不稳定的。 则系统在原点处的 平衡状态是不稳定的。 例4.3.4例4.3.4已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。 已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。 += = 212 21 xx

35、x xx & & 解解：显然，坐标原点x：显然，坐标原点xe e=0（即x=0（即x1 1=0,x=0,x2 2=0)是系统惟一 的平衡状态。 =0)是系统惟一 的平衡状态。 2 2 2 1 xxV(x)+=选取正定标量函数为选取正定标量函数为 ( ) 002 )(2.2 .2.2 2 2 2 21221 2211 = += += xx xxxxx xxxxxV& & 则： 系统不稳定系统不稳定 四四 不稳定不稳定 定理的形式简单而有规律，在定理的应用中，要注意以下 几点： 定理的形式简单而有规律，在定理的应用中，要注意以下 几点： (1)构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法 的关键，李

36、氏函数具有几个突出性质： (1)构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法 的关键，李氏函数具有几个突出性质： 1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。 2)李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻 域是如此。 3)对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的 。 1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。 2)李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻 域是如此。 3)对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的 。 (2)(2)如果在包含状态空间原点在内的邻域内，可以 找到一个李雅普诺夫函数，那么，就可以用它来判断原点 的稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从邻 域外的一个状态出发的轨迹都趋

37、于无穷大，这是因为 如果在包含状态空间原点在内的邻域内，可以 找到一个李雅普诺夫函数，那么，就可以用它来判断原点 的稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从邻 域外的一个状态出发的轨迹都趋于无穷大，这是因为李雅李雅 普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的充分充分条件条件。 返回 4.4 线性系统稳定性分析4.4 线性系统稳定性分析 一线性定常系统渐进稳定的判别及V(x)的求法。一线性定常系统渐进稳定的判别及V(x)的求法。 1 渐进稳定的判别方法1 渐进稳定的判别方法 定理5.6定理5.6 设线性定常连续系统为：，则平衡状态x设线性定常连续系统为：，则平衡状态xe

38、 e=0 为 =0 为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的一个的充要条件是：对任意给定的一个正 定实对称矩阵Q 正 定实对称矩阵Q，必存在一个必存在一个惟一惟一正定的实对称矩阵P正定的实对称矩阵P， 且满足李雅普诺夫方程 ， 且满足李雅普诺夫方程 Axx =& ) 14 . 4(=+QPAPA T 并且 是系统的李雅普诺夫函数。 并且 是系统的李雅普诺夫函数。 )24 . 4()(=PxxxV T () ()xQxxQxxPAPAx PAxxPxAxxPxPxxxV TTTT T T TT )()( )( =+= +=+=& & 定理说明：定理说明： 1. 如果任取的一个正定

39、实对称矩阵Q1. 如果任取的一个正定实对称矩阵Q，则满足矩阵 的实对称矩阵P是惟一的，若P正定，则系统在平衡 状态x 则满足矩阵 的实对称矩阵P是惟一的，若P正定，则系统在平衡 状态xe e=0为=0为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。P的正定性是一个 充分必要条件。 2. 为计算简便，在选取正定实对称矩阵Q时选单位 阵I，于是方程简化为： 的。P的正定性是一个 充分必要条件。 2. 为计算简便，在选取正定实对称矩阵Q时选单位 阵I，于是方程简化为： ) 14 . 4(=+QPAPA T IPAPA T =+ 2. V(x)的求法2. V(x)的求法 )34 . 4(=+IPAPAT )44 .

40、 4()(=xxxV T & 例4.4.1例4.4.1 设线性定常系统为:, 试判别该系统的稳定性(其平衡状态为x 设线性定常系统为:, 试判别该系统的稳定性(其平衡状态为xe e=0)。=0)。 xx = 11 10 & 解：解：为了便于对比，先用李氏第一法判断。为了便于对比，先用李氏第一法判断。 + +=+= + = 2 7 2 1 2 7 2 1 2 11 1 2 jjAI 系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的 设李雅普诺夫函数为：设李雅普诺夫函数为：PxxxV T =)( IPAPAT=+令： = 32 21 pp pp PP T 则有：则有： = + 10 01 11 10 11 10 32 21 32 21 pp pp pp pp 展开有展开有： = = = 122 0 12 32 321 2 pp ppp p = 1 2 1 2 1 2 3 P 正定正定 系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的 本章小结本章小结