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1、2021年中考数学三轮冲刺旋转问题解答题冲刺练习操作：在ABC中，AC=BC=2，C=90，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点（不包括射线的端点）.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.研究：三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明.三角板绕点P旋转，PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由.若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AMMB13，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关
2、系？并结合如图4加以证明. 已知RtABC中，ACB=90，CA=CB,有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N（）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，求证：MN2=AM2+BN2；思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将ACM沿直线CE对折，得DCM，连DN，只需证DN=BN，MDN=90就可以了请你完成证明过程： （）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式MN2=AM2+BN2；是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 如图，O是等边ABC内一点，OA=3，O
3、B=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60得到线段BO.（1）求点O与O的距离；（2）证明：AOB=150；（3）求四边形AOBO的面积（4）直接写出AOC与AOB的面积和 小明在玩一副三角板时发现：含45角的直角三角板的斜边可与含30角的直角三角板的较长直角边完全重合（如图）.即CDA的顶点A、C分别与BAC的顶点A、C重合,其中AB=.现在，他让CDA固定不动，将BAC通过变换使斜边BC经过CDA的直角顶点D （1）求AD的长度；（2）如图，将BAC绕点C按顺时针方向旋转角度（0180），使BC边经过点D，则= ；（3）如图，将BAC绕点A按逆时针方向旋转，使BC边经过点D求点C走过
4、的路线长；（4）如图，将BAC沿射线AC方向平移m个单位长度，使BC边经过点D，求m的值 如图，已知点P是正方形ABCD内的一点，连结PA，PB，PC（1）如图甲，将PAB绕点B顺时针旋转90到P/CB的位置设AB的长为a，PB的长为b(ba)，求PAB旋转到P/CB的过程中边PA所扫过区域（图甲中阴影部分）的面积；若PA=3，PB=6，APB=135，求PC的长（2）如图乙，若PA2PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上 问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B逆时针旋转60，
5、画出旋转后的图形（如图2）连接PP，可得PPB是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以BPA=150，而BPC=BPA=150进而求出等边ABC的边长为问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长 如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90，得到线段CQ，连接BP，DQ(1)如图1，求证：BCPDCQ；(2)如图，延长BP交直线DQ于点E如图2，求证：BEDQ；如图3，若BCP为等边三角形，判断DEP的形状，并说明理由如图1
6、，ABC中，CA=CB，ACB=，D为ABC内一点，将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上(1)填空：CDE= (用含的代数式表示)；(2)如图2，若=60，请补全图形，再过点C作CFAE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若=90，AC=5，且点G满足AGB=90，BG=6，直接写出点C到AG的距离如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30.(1)操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关
7、系是；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是.(2)猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长.在ABC中，CA=CB，ACB=点P是平面内不与点A，C重合的任意一点连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP(1)观察猜想如图1，当=60时，的值是
8、 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 (2)类比探究如图2，当=90时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由(3)解决问题当=90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值参考答案解：（1）PD=PE；（2）1，,（3）ME=3MD. （1）证明:将沿直线对折，得，连， 则有，又由，得 由,，得又， 有， 在Rt中，由勾股定理，得即 （）关系式仍然成立 证明：将沿直线对折，得，连， 则 有，又由，得 由，得 又，有， 在Rt中，由勾股定理，得即解：（1）等边ABC，AB=CB，ABC=600。
9、线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，BO=BO，OAO=600OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到 连接OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等边三角形OO=OB=4（2）AOO中，三边长为OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一组勾股数，AOO是直角三角形AOB=AOOOOB =900600=150 （3） （4）如图所示，将AOB绕点A逆时针旋转60，使得AB与AC重合，点O旋转至O点AOO是边长为3的等边三角形，COO是边长为3、4、5的直角三角形则 (1)连结PP，证为等腰直角三角形，从而PC9(2)将PAB绕
10、点B顺时针旋转90到PCB的位置，由勾股逆定理证出90，再证BPCAPB180，即点P在对角线AC上解：(1)证明：BCD=90，PCQ=90，BCP=DCQ，在BCP和DCQ中，BCPDCQ(SAS)；(2)如图b，BCPDCQ，CBF=EDF，又BFC=DFE，DEF=BCF=90，BEDQ；BCP为等边三角形，BCP=60，PCD=30，又CP=CD，CPD=CDP=75，又BPC=60，CDQ=60，EPD=180CPDCPB=1807560=45，同理：EDP=45，DEP为等腰直角三角形解：(1)将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CBEACDBCE，DCE=CD=CECDE=故答
11、案为：(2)AE=BE+CF理由如下：如图，将CAD绕点C按逆时针方向旋转角60得到CBEACDBCEAD=BE，CD=CE，DCE=60CDE是等边三角形，且CFDEDF=EF=AE=AD+DF+EFAE=BE+CF(3)如图，当点G在AB上方时，过点C作CEAG于点E，ACB=90，AC=BC=5，CAB=ABC=45，AB=10ACB=90=AGB点C，点G，点B，点A四点共圆AGC=ABC=45，且CEAGAGC=ECG=45CE=GEAB=10，GB=6，AGB=90AG=8AC2=AE2+CE2，(5)2=(8CE)2+CE2，CE=7(不合题意舍去)，CE=1若点G在AB的下方，
12、过点C作CFAG，同理可得：CF=7点C到AG的距离为1或7解：(1)DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，AC=CD，BAC=90B=9030=60，ACD是等边三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DEAC；B=30，C=90，CD=AC=AB，BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，ACD的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1=S2；故答案为：DEAC；S1=S2；(2)如图，DEC是由ABC绕点C旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+BCN=18090=90，ACN=DCM，在AC
13、N和DCM中，ACNDCM(AAS)，AN=DM，BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1=S2；(3)如图，过点D作DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时SDCF1=SBDE；过点D作DF2BD，ABC=60，F1DBE，F2F1D=ABC=60，BF1=DF1，F1BD=ABC=30，F2DB=90， F1DF2=ABC=60，DF1F2是等边三角形，DF1=DF2，BD=CD，ABC=60，点D是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30，CDF1=180BCD=18030=150，CDF2=36015060=
14、150，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2(SAS)，点F2也是所求的点，ABC=60，点D是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD=60=30，又BD=4，BE=4cos30=2=，BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或.解：(1)如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点OPAD=CAB=60，CAP=BAD，CA=BA，PA=DA，CAPBAD(SAS)，PC=BD，ACP=ABD，AOC=BOE，BEO=CAO=60，=1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60，故答案为1，60(2)如图2中，设BD交AC于点O，
15、BD交PC于点EPAD=CAB=45，PAC=DAB，=，DABPAC，PCA=DBA，=，EOC=AOB，CEO=OABB=45，直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45(3)如图31中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于HCE=EA，CF=FB，EFAB，EFC=ABC=45，PAO=45，PAO=OFH，POA=FOH，H=APO，APC=90，EA=EC，PE=EA=EC，EPA=EAP=BAH，H=BAH，BH=BA，ADP=BDC=45，ADB=90，BDAH，DBA=DBC=22.5，ADB=ACB=90，A，D，C，B四点共圆，DAC=DBC=22.5，DCA=ABD=22.5，DAC=DCA=22.5，DA=DC，设AD=a，则DC=AD=a，PD=a，=2如图32中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA=DC，设AD=a，则CD=AD=a，PD=a，PC=aa，=2+