《高中培优讲义定积分及其简单应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中培优讲义定积分及其简单应用.docx（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第十三讲定积分及其简单应用教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2、了解微积分基本定理的含义.一、知识回顾课前热身知识点1、定积分(1)定积分的相关概念在baf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式(2)定积分的几何意义当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分baf(x)dx的几何意义是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)1.42dx等于()x解析：选D42dxlnx|42ln4ln2ln2.x一般情况下，定积分
2、baf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线xa，xb之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数(3)定积分的基本性质aababccbkf(x)dxkbf(x)dx.af1(x)f2(x)dxbf1(x)dxaf2(x)dx.baf(x)dxaf(x)dxbf(x)dx.(4)定积分baf(x)g(x)dx(f(x)g(x)的几何意义是什么？提示：由直线xa，xb和曲线yf(x)，yg(x)所围成的曲边梯形的面积知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x
3、)，那ba么baf(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式为了方便，常把F(b)F(a)记成F(x)|a，即baf(x)dxF(x)|bF(b)F(a)基础练习1A2ln2B2ln2Cln2Dln212一质点运动时速度和时间的关系为V(t)t2t2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为()6366解析：选AS21(t2t2)dt3t32t22t21.解析：20x2dxx3|20.答案：11x2dx.答案：17141311A.B.C.D.111763直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积为_1883334101x2dx_.解析：由定
4、积分的几何意义可知，101x2dx表示单位圆x2y21在第一象限内部分的面积，所以11044二、例题辨析推陈出新例1、利用微积分基本定理求下列定积分：00(1)21(x22x1)dx；(2)(sinxcosx)dx；(3)2x(x1)dx；(4)21e2xxdx；(5)21p20xsin2dx.2(x22x1)dx2x2dx22xdx21dxx3|2x2|2x|219.(3)20x(x1)dx02(x2x)dx20x2dx20xdxx3|02x2|2032302220.(4)21e2xxdx21e2xdx21dxe2x|12lnx|21e4e2ln2ln1e4e2ln2.解答(1)111131
5、11300000(2)(sinxcosx)dxsinxdxcosxdx(cosx)|sinx|2.1111143231111111x2222211cosxdxp21dx1p2cosxdx1xsinx.(5)p20sin2x2dxp200220222p2012p201242401sin2xdx.变式练习1求下列定积分：(1)20|x1|dx；(2)p2x2|102x|121.1x，x0，1)01解：(1)|x1|故20|x1|dx1(1x)dx2(x1)dxx1，x1，2x2x211220(cosxsinx)dx(2)p201sin2xdxp20|sinxcosx|dxp4p2p(sinxcos
6、x)dx形为个圆，其面积为.10x22xdx.2x22xdx.解析：因为f(x)x02sin4tdt2cos4t|x02cos4x2cossinxcosx12sinx4121，当且仅当sinx41时，等号成立答案：214pp42(sinxcosx)(cosxsinx)21(12)222.0p4例2、10x22xdx_.解答10x22xdx表示yx22x与x0，x1及y0所围成的图形的面积由yx22x得(x1)2y21(y0)，又0x1，yx22x与x0，x1及y0所围成的图1444在本例中，改变积分上限，求20x22xdx的值解：20x22xdx表示圆(x1)2y21在第一象限内部分的面积，即
7、半圆的面积，所以02变式练习x2(2013福建模拟)已知函数f(x)0(costsint)dt(x0)，则f(x)的最大值为_4三、归纳总结方法在握归纳1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小归纳2、求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿莱布尼
8、兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值归纳3、利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差(4)计算定积分，写出答案四、拓展延伸能力升华利用定积分求平面图形的面积A.B4C.D64(xx2)dxxx22x|4.答案C2f(x)dx1xdx2(x2)dxx2|12x|2.变式练习3(2013郑州模拟)如图，曲线yx2和直线x0，x1，y所围成的图形(阴影部分)3324y1，解析：选D由x或x(舍)，所以阴影部分面积yx2例1、(2012山东高考)由曲线yx，直线yx
9、2及y轴所围成的图形的面积为()101633解答由yx及yx2可得，x4，即两曲线交于点(4,2)由定积分的几何意义可知，由yx及yx2及y轴所围成的封闭图形面积为23116032203若将“yx2”改为“yx2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？解：如图所示，由yx及yx2可得x1.由定积分的几何意义可知，由yx，yx2及23x27x轴所围成的封闭图形的面积为0013021614的面积为()2111A.B.C.D.411221x2dx1x21dx1x1x33x34x.S1204144312011111422定积分在物理中的应用例2、列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.
10、4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？解答a0.4m/s2，v072km/h20m/s.设ts后的速度为v，则v200.4t.令v0，即200.4t0解析：选B力F(x)做功为2010dx42(3x4)dx10x|202x24x24202646.得t50(s)设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则s50vdt50(200.4t)dt(20t0.2t2)|5020500.2502500(m)，即列车应在进站前50s和进站前500m处开始制动10(0x2)变式练习4一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动3x4(x2)了4米，力F(x)做功为
11、()A44JB46JC48JD50J3例3、(2012上海高考)已知函数yf(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B2，5，C(1,0)函1数yxf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_解析由题意可得10x，0x1，f(x)10x2，0x1，所以yxf(x)10x10x，12x1，221010x，10.若曲线yx与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.axdxa2.又2x2x，即x2|aa2，即2a32a2.所以a4.答案：4323解析：由题意0330399五、课后作业巩固提高1.e1xdx(1lnx)2D.2Alnxln2xB.1C.lnxln2xe3.解析：选
12、Ce1x12312e1lnxdx2122(2012湖北高考)已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()5B.4C.32D.A.2解析：选B由题中图象易知f(x)x21，则所求面积为201(x21)dx23x10.2x343x2，x0，1，3设f(x)2x，x(1，2，2则0f(x)dx()4B.4A.355C.6D不存在解析：选C如图2f(x)dx1x2dx2(2x)dxx310013213601|12x1x2|2142225.3mB.803mC.40A.160解析：选Av4010t20，t2，20(4010t2)dt40t3t3|24021081603(m)5(20
13、13青岛模拟)由直线x，x，y0与曲线ycosx所围成的封闭图形的面积为()2B1C.3A.1t4以初速度40m/s竖直向上抛一物体，秒时刻的速度v4010t2，则此物体达到最高时的高度为(203mD.3m1003332D.3)解析：选D结合函数图象可得所求的面积是定积分p3-p3cosxdx333.sinxp3-p3227在等比数列an中，首项a1，a441(12x)dx，则该数列的前5项之和S5等于_3(135)23解析：a414(12x)dx(xx2)|1418，因为数列an是等比数列，故18q，解得q3，所以S53242.答案：8(2013孝感模拟)已知a0，2，则当a0(cosxsi
14、nx)dx取最大值时，a_.解析：a0(cosxsinx)dx(sinxcosx)|a0sinacosa12sina41，a0，2，当a时，2sina41取最大值答案：06设asinxdx，则曲线yf(x)xaxax2在点(1，f(1)处的切线的斜率为_00解析：asinxdx(cosx)|2，yx2x2x2.y2xx2xln22.曲线在点(1，f(1)处的切线的斜率ky|x142ln2.答案：42ln22231324233449计算下列定积分：0sin2xdx；(2)32x12dx；(3)(1)p2x12e2xdx.0解：(1)sin2xdx11cos2x1dx2x4sin2x44sin0.
15、p20p202p2014(2)32x2dx311x22xlnx|396ln3(24ln2)1x2x222ln3ln2ln.993222e.(3)120e2xdx1e2x2120112210如图所示，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值解：抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标为x10，x21，所以，抛物线与x轴所围图形的面积yxx，S10(xx2)dx23x3|10.又x211ykx，62由此可得，抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标为x30，x41k，所以，10k(xx2kx)dx1k213|1k(1k)3.又知S，所以(1k)3，S22x3x0111662314
16、于是k11.32211如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线yx2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线yx2及直线x2围成图形的面积为S2，若S1S2，求点P的坐标解：设直线OP的方程为ykx，点P的坐标为(x，y)，xx则0(kxx2)dx2(x2kx)dx，即2kx23x3|1x1kx|，11032xx3221解得k，即直线OP的方程为yx，所以点P的坐标为3，9.3312求曲线yx，y2x，yx所围成图形的面积解：由得交点A(1,1)；由得交点B(3，1)y3x，1181解得2kx23x332k3x32kx2，4441613yx，y2x，1y2x，|12x1x2|321413.1xxdx32xxdx2x21x2113故所求面积S0313360313636