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1、第一章解三角形一、选择题1已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得ABC120，则A，C两地的距离为()A10kmB103kmC105kmD107km在ABC中，若b，则ABC是()A等腰三角形C直角三角形acoscosA2B2ccosC2B等边三角形D等腰直角三角形3三角形三边长为a，b，c，且满足关系式(abc)(abc)3ab，则c边的对角等于()A15B45C60D120在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc132，则sinAsinBsinC()A321B231C123D1325如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的
2、三个内角的正弦值，则()A1B1C1和2B2C2都是锐角三角形B1B1C1和2B2C2都是钝角三角形C1B1C1是钝角三角形，2B2C2是锐角三角形D1B1C1是锐角三角形，2B2C2是钝角三角形在ABC中，a23，b22，B45，则A为()A30或150B60C60或120D30在ABC中，关于x的方程(1x2)sinA2xsinB(1x2)sinC0有两个不等的实根，则A为()A锐角B直角C钝角D不存在在ABC中，AB3，BC13，AC4，则边AC上的高为()A322B332C32D33a3b3c33在ABC中，c2，sinAsinB，则ABC一定是()abc4A等边三角形C直角三角形B等
3、腰三角形D等腰三角形或直角三角形10根据下列条件解三角形：B30，a14，b7；B60，a10，b9那么，下面判断正确的是()A只有一解，也只有一解C有两解，只有一解B有两解，也有两解D只有一解，有两解二、填空题在ABC中，a，b分别是A和B所对的边，若a3，b1，B30，则A的值是在ABC中，已知sinBsinCcos2A2，则此三角形是_三角形13已知a，b，c是ABC中A，B，C的对边，S是ABC的面积若a4，b5，S53，求c的长度ABC中，ab10，而cosC是方程2x23x20的一个根，求ABC周长的最小值在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinAsinBsinC
4、25若ABC的面积为339，则ABC的周长为_4在ABC中，A最大，C最小，且A2C，ac2b，求此三角形三边之比为三、解答题在ABC中，已知A30，a，b分别为A，B的对边，且a4此三角形33b，解18如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45，建筑物的高CD为50米求此山对于地平面的倾斜角(第18题)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC(2ac)cosB，()求B的大小；()若b7，ac，求ABC的面积a2-b2sin(A-B)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求
5、证：c2sinC参考答案一、选择题1D解析：AC2AB2BC22ABBCcosABC10220221020cos120700AC1072B解析：由abcABCcoscoscos222及正弦定理，得sinAsinBsinC，由2倍角ABCcoscoscos222的正弦公式得sinsinsin，ABCcosCsinA2cosA1sin(A1)A2A122若2B2C2不是钝角三角形，由sinB2cosB1sin(B1)，得B2B1，22sinCcosCsin(C)CC222ABC2223C解析：由(abc)(abc)3ab，得a2b2c2aba2+b2-c212ab2故C604D解析：由正弦定理可得
6、abcsinAsinBsinC1325D解析：1B1C1的三个内角的余弦值均大于，则A1B1C1是锐角三角形2111(A1B1C1)，与A2B2C2矛盾那么，A2B2C2322所以2B2C2是钝角三角形6C解析：由a，得sinAbasinBsinAsinBb23223，222由正弦定理a，代入不等式中得b2a2c20，而ba，有两解，即A60或A1207A解析：由方程可得(sinAsinC)x22xsinBsinAsinC0方程有两个不等的实根，4sin2B4(sin2Asin2C)0bcsinAsinBsinC再由余弦定理，有2accosAb2c2a200A908B，从而sinA，则AC边上
7、的高BD解析：由余弦定理得cosA1233322解析：由c2a3b3c3(abc)c2a3b3c2(ab)09Aa3b3c3abc(ab)(a2b2abc2)0ab0，a2b2c2ab0(1)由余弦定理(1)式可化为a2b2(a2b22abcosC)ab0，得cosC12，C60由正弦定理c，得sinA，sinB，ab(sin60)23abasin60bsin60sinAsinBsin60ccsinAsinB，c24abc21，abc2将abc2代入(1)式得，a2b22ab0，即(ab)20，abABC是等边三角形，中sinA1，中sinA分析后可知10D解析：由正弦定理得sinAasinB
8、b539有一解，A90；有两解，A可为锐角或钝角二、填空题1160或120计算可得sinA，A60或120解析：由正弦定理ab3sinAsinB212等腰解析：由已知得2sinBsinC1cosA1cos(BC)，即2sinBsinC1(cosBcosCsinBsinC)，cos(BC)1，得BC，此三角形是等腰三角形1321或61absinC，sinC，于是C60或C120解：S1232又c2a2b22abcosC，当C60时，c2a2b2ab，c21；当C120时，c2a2b2ab，c61c的长度为21或61141053解析：由余弦定理可得c2a2b22abcosC，然后运用函数思想加以处
9、理2x23x20，x12，x212又cosC是方程2x23x20的一个根，cosC12由余弦定理可得c2a2b22ab(12)(ab)2ab，则c2100a(10a)(a5)275，当a5时，c最小，且c7553，此时abc55531053，ABC周长的最小值为10531513解析：由正弦定理及sinAsinBsinC256，可得abc256，于是可设a2k，b5k，c6k(k0)，由余弦定理可得4k236k225k2a2b2c25cosB，2ab2(2k)(6k)8sinB1cos2B398由面积公式ABC12acsinB，得(2k)(6k)，123933984k，ABC的周长为2k5k6k
10、13k13(2k)(5k)(6k)本题也可由三角形面积(海伦公式)得339339k2，k1即4413k13k13k13k22223394，由正弦定理得a2cosC，即cosC，由余弦定理cosCabc13k1316654解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用sinAsin2CacsinCsinC2c)a2b2c2(ac)(acb22ab2abac2b，2(ac)cosC)2b(acbac22abac2，2aa2c)2(ac2aac2b2c，整理得2a25ac3c20解得ac或a3c2A2C，ac不成立，a3c+ca+c522432cccc654abc3524故此三角形三边之比为654三、解答
11、题17b43，c8，C90，B60或b43，c4，C30，B120，b43sinB解：由正弦定理知ab4433sinAsinBsin30sinB2B60或B120C90或C30c8或c418分析：设山对于地平面的倾斜角EAD，这样可在ABC中利用正弦定理求出；再在BCD中，利用正弦定理得到关于q的三角函数等式，进而解出q角解：在ABC中，BAC15，AB100米，ACB451530100BC根据正弦定理有，sin30sin15BC100sin15sin30(第18题)根据正弦定理有sin30又在BCD中，CD50，BC100sin15，CBD45，CDB90q，sin30100sin1550s
12、in45sin(90q)解得cosq31，q42.94山对于地平面的倾斜角约为42.9419解：()由已知及正弦定理可得sinBcosC2sinAcosBcosBsinC，2sinAcosBsinBcosCcosBsinCsin(BC)又在三角形ABC中，sin(BC)sinA0，12sinAcosBsinA，即cosB，B23()b27a2c22accosB，7a2c2ac，又(ac)216a2c22ac，ac3，ABC12acsinB，即SABC12333324a2b2bcosAacosBa2b2bcosAacosB20分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理解：由余弦定理a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB得a2b2b2a22bccosA2accosB，2(a2b2)2bccosA2accosB，c2c由正弦定理得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，c2csinAcosBsinBcosAsinCsin(AB)sinC故命题成立