第十五章 整式的乘除与因式分解 全章学案.doc

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1、15.1.1同底数幂的乘法自主学习熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程。 能熟练地进行同底数幂的乘法运算; 会逆用公式amanamn。学习目标重难点：1.熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程 2. 能熟练地进行同底数幂的乘法运算学习过程：一 141142 二1. 同底数幂的乘法概念：探究：根据乘方的意义填空,看看计算结果有什么规律。(1) 22222（ ），aaa( ) m个(2) 2322( )( )2( )，(3) 5352( )( )5( )， (4) a3a4( )( )a( )。(5) an中a叫 ，n叫做 ，它表示 。2同底数幂的乘法法则如果把a3a4中指数

2、3和4分别换成字母m和n(m、n为正整数)同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘, 不变, 相加.(1) 公式：aman (m、n为正整数)(2) 推广：amanap (m、n、p为正整数)例1计算：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 。例2，计算：例3：光的速度为3千米/秒，太阳光照射到地球上约需5秒，问：地球离太阳多远？若飞机时速856千米/秒，飞行这么远的距离需多长的时间？ 练习： y2nyn+1 15.1.2幂的乘方自主学习熟记幂的乘方的运算法则，知道幂的乘方性质是根据乘方的童义和同底数幂的乘法性质推导出来的。了解幂的乘方的运算性质，能运用“幂的乘方”法则进行运算学习目标 重难点：1

3、.熟记幂的乘方的运算法则2. 了解幂的乘方的运算性质学习过程：一 142143二 1如果个正方体的棱长为16厘米，即42厘米，那么它的体积是多少? 2计算：(1)a4a4a4； (2)x3x3x3x3。3x3表示什么意义 . 4如果把x换成a4，那么(a4)3表示什么意义 . 5能把a2a2a2a2a2+2+2+2=a8写成比较简单的形式? 由此你会计算(a4)5吗? 6根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空。 (1) (23)223232( )； (2) (32)3( )( )( )3( )； (3) (a3)5a3( )( )( )( )a( )。 7用同样的方法计算：(a3)4；(a11)9

4、；(b3)n(n为正整数)。 (现察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?)怎样说明你的猜想是正确的? 8这就是幂的乘方法则: 幂的乘方，底数 ，指数 。即(am)n (m、n是正整数)。例题：(1) (103)5； （2）(a4)3 (3)(an)2 (4)-(x5)2练习：（1）（107）3 （2）（a4）8 （3）（-x）63 （4）-（x2）m （5）（x3）4（x2）5 15.1.3积的乘方自主学习能说出积的乘方性质并会用式子表示;使学生理解并掌握积的乘方的法则, 能灵活地运用积的乘方的法则进行计算。学习目标重难点

5、：1. 能说出积的乘方性质并会用式子表示2. 使学生理解并掌握积的乘方的法则学习过程：一 143144二 1. 复习(1)a2a3a5，也就是说：( )。 即amanamn(m、n为正整数)。 (让学生明白所用到的运算法则及运算律。) (2)(a3)7a( )，也就是说：( )。 即(am)namn(m、n为正整数。)(让学生明白同底数幂的乘法与幂的乘方法则的区别。)2计算。 2232 (23)2。 从而得到：(23)2223236。 进而猜想：(ab)2与a2b2是否相等? 3问题。 现有4张边长为m的正方形硬纸片，你能否拼成一个正方形?若能，请你表示它的面积，看你能用几种不同的方法表示新的

6、正方形的面积?4探索，概括。于是我们得到了积的乘方法则：字母表示：(ab)n (n是正整数)。 文字表示：积的乘方，等于各因数乘方的。5思考: 三个或三个以上因式的积的乘方，是不是也具有这一性质?(1)(abc)n(ab)ncn 。即(abc)n (n为正整数)。例题： (1)(3a)2 (2)(-4a)3 (3)(-xy)4 (4)-(2ab2)3练习：(1)(ab)4 (2)(-2xy)3 (3)(-3102)3 (4)-(-2ab2)3 15.1.4整式的乘法自主学习通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则。单项式相乘的几何意义。会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算

7、中的问题学习目标重难点：1. 掌握单项式相乘的法则2. 会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算中的问题学习过程：一 144145二 1. 复习:(1)我们已经学习了幂的运算性质，判断下列计算是否正确，如有错误加以改正。 (1)a3a5a10 (2)aa2a5a7； (3)(a3)2a9； (4)(3ab2)2a46a2b4。(2)计算： (1)10102104 ； (2) (ab)(ab)3(ab)4 ；(3)(2x2y3)2 。2单项式与单项式相乘，怎样计算呢?我们采看这样一个问题。一个长方体底面积是4xy，高是3x，那么这个长方体的体积是多少? 学生探讨4xy3x如何

8、计算?因为：3x3x，4xy4xy， 因此4xy3x。 总结法则：单项式和单项式相乘，把它们的与分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个。例题：(要注意解题的步骤和格式。)（1）(5a2b)(-3a) （2）(-2x)3(-5x2y) （3）3x(4x2y)2y练习： 1（1）3x25x3 （2）4y(-2xy2) (3)(3x2y)3 (4)(-2a)3(-3a)3 (5) 4mn33mn2 (6) 3a2c(2ab2)22下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？（1）3a32a3 =6a6 (2)2x23x2=6x4(3)3x24x2=12x2 (4)5y33y5

9、=15y15 15.1.5单项式与多项式相乘一、学习目标：1、探索单项式与多项式相乘的法则。2、会运用单项式与多项式相乘的法则进行计算。二、温故知新： 1、单项式与单项式相乘的法则是什么？ 2、什么是多项式？什么叫多项式的项？ 3、小明读哈利波特与火焰杯这本书，第一天读了2x页，第二天读了y页，第三天读的页数是前两天读的总页数的a倍，小明第三天读的总页数是多少？（用代数式表示）三、自主学习 合作探究 探究：如图所示长方形： m a b c你能求出上面长方形的面积吗？ 方法一：长方形总长为_,则面积=_。 方法二：图形的面积=_,图形的面积=_, 图形的面积=_,图形、的总面积=_。方法一与方法

10、二的总面积有什么关系？观察下式： m（a+b+c）=ma+mb+mc思考：这个式子有什么特征？你能说出单项式与多项式相乘的法则吗？单项式与多项式相乘，就是用_去乘多项式的_,再把所得的_相加。新知应用：例：计算： =（乘法分配律） =_=_（单项式乘法） =_反思：1、单项式与多项式相乘的问题转化为_与_相乘的问题。 2、单项式与多项式相乘的结果为_,积的项数与原多项式项数_. 3、在单项式乘法运算中要注意系数的_。四、双基检测1、判断正误： （ ） （ ）（ ）2、计算： 3a（5a-2b） （x-3y）(-6x)3、先化简再求值： x（x+1）+2x(x+1)-3x(2x-5) 其中x=2

11、。五、学习反思:请你对照学习目标。谈一下这节课的收获及困惑15.1.6多项式与多项式相乘一、学习目标：1、理解多项式乘以多项式的法则 2、会运用法则转化计算。 重点：法则运用。难点：法则的归纳与运用 二、课前准备：1、x2（x1）= ；2、3x（2x5）= ；3、x（x2）3（x2）= = ；4、（mn）a= ； 5、（mn）b= ；三、自主学习：1、问题：一个矩形的长为（mn）米，宽为（ab）米，则它的面积为 米2。（mn）（ab）mambna+nbnb2、结合图形，发现（mn）（ab）= 3、讨论如何计算：（mn）（ab）=？试一试 (a+3)(a+4) (3x+1)(x-2)多项式乘以多

12、项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 分别乘以另一个多项式的 ，再把 。注意：每一项必须连同前面的符号相乘。四、牛刀小试： (2x-5y)(3x-y) n(n+2)(2n-1) (2x-1)(4x+2xy+y) x(x+2)-(x-1)2 (x+2)2 (x+y)(x2-xy+y2) （a+b）（c+d）= ； （m+n）（x+y）= ；（m+n）（ab）= ； （x1）（y2）= ； n(n+1)(n+2) (x+4)2- (8x-16) (x+1)(2x-3)(3m+n)(m-6n+1) （2xy）（2xy） （x1）（x+1）（x21）五、巩固练习：（1）、（x5）（x7）

13、（2）、（x3y）（x7y）； （3）、（x5）（x6）； （4）、（3x4）（3x4）（5）、（3x1）（2x1）； （6）、（2x1）（2x3）；（7）、（yx）（xy） （8）、（2a3b）（2a3b）；（9）、（x1）（x22x3） （10）、3x2（x1）（x22x3） 六尝试小结七布置作业15.2.1平方差公式自主学习熟记平方差公式的结构特征，知道平方差公式是多项式乘法的特殊情形;会正确熟练地运用平方差公式进行乘法运算，进行包括平方差公式在内的混合运算，会用平方差公式计算两个特殊三项式的乘积.学习目标 重难点：1. 熟记平方差公式的结构特征2. 会正确熟练地运用平方差公式进行乘法运

14、算学习过程：一 151153二 1多项式乘以多项式的法则：_。2利用多项式与多项式的乘法法则说出(xa)(xb)的结果。3计算：(1)(x3)(x3)； (2)(a2b)(a2b)；(3)(4mn)(4mn)； (4)(54y)(54y)。、引导观察。（1）请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的乘法式子，两个因式有什么特点?积有什么特点?（2）这四个题目都类似与(ab)(ab)的形式， 现在我们来计算 (ab)(ab)字母表示： （）你能用语言叙述这个公式吗?平方差公式：两个数的 与这两个数的 的 ,等于这两个数的 例题：1(1)(3x+y)(3xy) (2)(2a+1)(2a1) (3)(2

15、xy)( 2xy) 2(1)20197 (2) (x+3) (x3)(x1)(x+5)练习：运用平方差公式计算：（1）（a+3b）（a3b） （2）(3+2a) (3+2a) （3）5149 （4）(3x+4)(3x4)(2x+3)(3x2) 15.2.2完全平方公式自主学习能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示;能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。学习目标重难点：1. 能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示 2. 能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法学习过程：一 153155二 1. 复习:平方差公式(ab

16、)(ab)= .2计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2=(p+1) (p+1)= ; (2)(m+2)2= ; (3)(p1)2=(p1) (p1)= ; (4) (m2)2= ;上面各式的左边和右边各有什么特点? 3计算 (ab)2和(ab)2 可以得出完全平方公式：（）字母表示：(ab)2；(ab)2（）文字表示：两数和（或差）的平方，等于它们的加（或减）的倍比较(ab)2=a22abb2及(ab)2=a22abb2这两个公式，它们有什么不同?有什么联系?思考：(ab)2与(ab)2相等吗？(ab)2 (ba)2相等吗？(ab)2与a2b2相等吗？例题：1运用完全平方公式计

17、算：（1）(a+2)2 (2)(2x3)2运用完全平方公式计算：(1)1042 (2)982练习：运用完全平方公式计算：(1)(x+6)2 (2) (y5)2 (3) (2x+5)2 (4) ()2 15.3.1 同底数幂的除法一、学习目标：1、理解同底数幂的除法法则的推导过程，能运用法则进行计算。2、掌握“不等于0的数的零次幂”的意义。二、重难点：能运用同底数幂的除法法则进行计算。三、温故知新：1、同底数幂相乘的法则是什么？ =_( ) 填空：（1）（ ）= （2）( )=2、某地有10万人口，计划今年生产收入完成十亿元。 问题：（1）、怎样用幂的形式表示：10万、十亿？ （2）、欲求人均收

18、入如何列式？该式结构有何特点？如何计算？四、自主探究探究一：1、（ ）=，=（ ）.2、根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律？（1）=，（2）10=10，（3）= (a0)上面的式子有何特点？3、一般地， 有：_符号表示：_语言叙述：_讨论：为什么这里规定a0 ? 五、新知应用：例1：计算：（1） （2） (3) (ab)(ab)例2、计算： （1）（x+y）(x+y) (2) a (3) 例题反思：探究二：分别根据除法的意义填空，你能得出什么结论？（1） = ( ), (2 ) = ( ), (3 ) = ( ) (a.结论：六、双基检测1、计算：（1） （2） (3) (4) 2、下

19、面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）= （2）=6 （3）= (4 ) = (5) =3、已知 =1, 则 = _.拓展提高：若 =3, =2, 求 、 的值。七、学习反思:请你对照学习目标。谈一下这节课的收获及困惑15.3.2 整式的除法学习目标：1.单项式除以单项式的运算法则及其应用.2.多项式除以单项式的运算法则及其应用.重点难点：重点：单项式除以单项式的运算法则及其应用；多项式除以单项式的运算法则及其应用.难点：探索多项式与单项式相除的运算法则的过程.导学过程：阅读教材161页至163页内容，尝试完成以下问题。预习导航：活动一：【情境引入】问题 木星的质量约是吨，地球的质量

20、约是吨，你知道木星的质量约是地球质量的多少倍吗？要解决这个问题，就要计算，怎样计算它呢？说说你的计算根据是什么？活动二：【探索新知】思考 （1）你能利用上面的方法计算下列各式吗？ （2）你能根据上面的计算过程说说单项式除以单项式的运算法则吗？ ， .活动三：【应用新知】（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） 把图中左边括号里的每一个式子分别除以，然后把商式写在右边括号里.活动四：【再探新知】（1） （2）（3） （4）说说你是怎样计算的？ .还有什么发现吗？归纳： ， .活动五：【解决问题】例3 计算：（1）（2）（3） （4）（5） （6）活动六：【自我检测】1. 计算：（1） （

21、2）（3）（4）2. 已知，求的值.【尝试小结】15.3.2 整式的除法单项式除以单项式一、学习目标：理解整式除法的算理，掌握单项式除以单项式的法则，熟练进行有关计算。二、重难点：掌握单项式除以单项式的法则，熟练进行有关计算。三、温故知新：“嫦娥一号”成功奔月，实现了中国人登月的千年梦想。月球是距离地球最近的天体，它与地球的平均距离约为3.8千米。如果宇宙飞船以11.2米/秒的速度飞行，到达月球大约需要多少时间？ 你是怎样计算的？四、自主探究：探究：1、由上述计算，你能找到计算：（3）（2）的方法吗？ 试一下：（3）（2）=_ 2、再试：（1） （6）（3）=_ （2） （14）（4）=_ 3

22、、思考：单项式除以单项式的法则，在小组内内讨论，写于下面：单项式除以单项式， _._ 4、想一想：单项式除以单项式的程序是怎样的？五、新知应用： 例：计算：（1）287 （2） 515六、双基检测： 1、小医生诊所：下列计算错在哪里？应怎样改正？（1）（12）（6）=2（2）（）（2）=22、计算：（1） （10）（5） （2）（12）（2）（3） （4）3（6）（2）（5） （6）（3）七、拓展提高： 若= 4，则m=_,n=_。八、学习反思： 请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。15.3.2整式的除法（2）-多项式除以单项式一、学习目标：1、掌握多项式除以单项式的法则，并能熟练地进

23、行多项式除以单项式的计算。2、渗透转化思想，培养学生的抽象、概括能力，以及运算能力二、温故知新：1、单项式除以单项式法则是什么?单项式乘以多项式法则是什么?2、计算： m(a+b)=_ m(a+b+c)=_ 三、自主探究探究： 请同学们解决下面的问题：(1);(2);(3);通过计算、讨论、归纳，得出多项式除单项式的法则多项式除单项式的法则:_用式子表示运算法则：思考：1、如果式子中的“”换成“”，计算仍成立吗?2、你能不能用以前所学的运算知识来证明多项式除单项式的运算法则?新知运用：例：计算: 四、双基检测2、计算： 3、已知一个长方形的周长为35ab-14a,现在的把它的周长缩小7a倍,问

24、变化后的周长是多少?五、学习反思:请你对照学习目标。谈一下这节课的收获及困惑15.4.1因式分解提公因式法一、学习目标：1、经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2、了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系 3、会用提公因式法分解因式。二、温故知新：1、单项式与多项式相乘，就是用 去乘 的 ，再把所得的积相加。如：= 2、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 去乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加。如：= 3、整式乘法的平方差公式：= 4、整式乘法的完全平方公式：= ，= 三、自主探究探究一：因式分解的定义（1）计算下列各式：(x+1)（x-1）=_ _；(y3)2_ _；x(x+1)_

25、 _；m(abc)_ _（2）根据上面的算式填空：( )( )； y26y9( )2；x2+x( )( )； mambmc( )( )；思考：1、上面（1）与（2）中各式有什么区别与联系？2、（1）中由整式乘积的形式得到多项式的运算是_.（2）中由多项式得到整式乘积形式。把一个 化成几个 的 的形式，这种变形叫做把这个多项式_,也叫做把这个多项式_。3、因式分解与整式的乘法有什么关系？新知运用：例1下列各式从左到右的变形，哪是因式分解?（1）4a(a2b)4a28ab；（2）6ax3ax23ax(2x)；（3）a24(a2)(a2)；（4）x23x2x(x3)2（5）36 （6）反思：1、分解

26、因式的对象是_,结果是_的形式。2、分解后每个因式的次数要 （填“高”或“低”）于原来多项式的次数。探究二：因式分解的方法：1、公因式的概念 一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为a，b，c，宽都是m，用两个不同的代数式表示这块场地的面积. _, _填空：多项式有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式。 有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式。 有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式。 多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式。2提公因式法分解因式如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以 ，从而将多项式化成两个 的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。新知运用:例2把分解因式。分析：如何确定公因式（1）系数：若各项系数是整系数，取系数的 ；（2）字母因数：一是取 的字母因式（也可是多项式因式）；二是取各相同字母因式的指数取次数 的例3把2a（b+c）-3(b+c)分解因式。反思：如何检查因式分解是否正确？四、双基检测1、下列各式中，从等式左边到右边的变形，属因式分解的是 （填序号） 2、若分解因式，则m的值为 3、把下列各式分解因式 2a（y-z）-