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1、各类微分方程的解法1.可分离变量的微分方程解法一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得g(y)dy=f(x)dx设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解2.齐次方程解法一般形式:dy/dx=(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=(u),即du/(u)-u=dx/x两端积分,得du/(u)-u=dx/x最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解3.一阶线性微分方程解法一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=CeP(x)dx,再令y=
2、ueP(x)dx代入原方程解得u=Q(x) eP(x)dxdx+C,所以y=eP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx+C即y=CeP(x)dx+eP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解4.可降阶的高阶微分方程解法y(n)=f(x)型的微分方程y(n)=f(x)y(n-1)= f(x)dx+C1y(n-2)= f(x)dx+C1dx+C2依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解y”=f(x,y) 型的微分方程令y=p则y”=p,所以p=f(x,p),再求解得p=(x,C1)即dy/dx=(x,C1),所以y=(x,C1)dx+C2y”=f
3、(y,y) 型的微分方程令y=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=(y,C1)即dy/dx=(y,C1),即dy/(y,C1)=dx,所以dy/(y,C1)=x+C25.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式:y”+py+qy=0,特征方程r2+pr+q=0特征方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py+qy=0的通解两个不相等的实根r1,r2y=C1er1x+C2er2x两个相等的实根r1=r2y=(C1+C2x)er1x一对共轭复根r1=+i,r2=-iy=ex(C1cosx+C2sinx)6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式: y”
4、+py+qy=f(x)先求y”+py+qy=0的通解y0(x),再求y”+py+qy=f(x)的一个特解y*(x)则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py+qy=f(x)的通解求y”+py+qy=f(x)特解的方法: f(x)=Pm(x)ex型令y*=xkQm(x)exk按不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数 f(x)=exP(x)cosx+Pn(x)sinx型令y*=xkexQm(x)cosx+Rm(x)sinxm=max,n,k按+i不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数2练题