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1、排列、组合、二项式定理之三一一综合篇排列、组合、二项式定理既是近代组合数学、概率统计的基础，又是每年高考必考内容之一.每年高考的排列组合试题大多以应用题形式出现，且具有容知识性与趣味性、能力型与应用性于一体，小、巧、活、新的特点.本部分内容公式不多却运用广泛，题型多变且解 法灵活，是考察抽象思维能力、 逻辑推理能力、数学应用意识和实践能力的较好素材.因此，在学习过程中应熟练掌握和运用化归与转化、分类讨论等数学思想，掌握常见题型的常用解法，以提高综合解决问题的能力.对排列组合的综合问题，常用方法是“先选之，再排之”.在分清分类与分步的标准与方式的基础上，遵循两个原则：按元素的性质分类和按事情发生
2、的过程分步.在具体应用中，要注意“类”与“类”间的独立性与并列性，“步”与“步”间的连续性.这要求我们要有周密的逻辑思维能力和准确的计数能力，以及灵活、正确运用基础知识的能力例1、一种玩掷骰子放球的游戏，规则是：若掷出 1点，甲盒中放一球；若掷出 2点 或3点，乙盒中放一球；若掷出 4点或5点或6点，丙盒中放一球.设掷 n次后，甲、乙、 丙各盒内的球数分别为 x , y , z .若n =3,且x , y , z成等差数列，则不同的掷法有 种； 若n =6,且x , y , z成等比数列，则不同的掷法有 种.解：n=3,即掷了三次，此时甲、乙、丙三个盒子中总共有三个球，由于三个盒中的 球数成等
3、差数列，故有且只有以下三种情形：x=0, y=l, z =2,此即表示掷三次，1次出现2点或3点，2次出现4点或5点或6点，有C；种掷法；x=y = z = 1,此即表示掷三次，1次出现1点，1次出现2点或3点，1次出现4点或5点或6点，有 A3种掷法;x=2, y=1, z=0,此即表示掷三次，2次出现1点，1次出现2点或3点，有C；种掷法。故符合条件的掷法共有 c；+a3 + c3=12 种.n=6,即掷了六次，此时甲、乙、丙三个盒子中总共有6个球，由于三个盒中的球数成等比数列，故只有 x = y=z=2一种情形，共有掷法（与顺序有关）C2c2c2=90种.例2、三个学校分别有1名、2名、
4、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，则同校 的任何两名学生都不能相邻的排法有 种.解：由题意可分两类：先在6个位置上排第一个学校的三名学生，两两不相邻（如图），| | | |3名学生每两名隔一个空位有2种排法，剩下的三个空位中再选 2个排第二个学校的2名同学，最后一名同学自动确定位子，此时有2A3c2A2 =72种排法；第一个学校的 3名同学中有两名中间隔两个位子的有两种排法，剩下的3个位子中，挨着的两个不能同时选（如图），I ” I I一L-Lu H H ZU所以从另外两个中选，最后一名同学自动确定位 子，此时有2A；C； A2 =48种排法.故满足题设条件的排法共有 120种排法.例3、
5、在某次商品的有奖销售活动中，有 n （ n 4）个人获三等奖。三等奖的奖品共有 四种，每个获奖者随意从四种奖品中挑选了一种，结果有一种奖品无人挑选的选法有 种.解：有一种奖品无人挑选，即有 3种奖品均有人选，可作如下思考：仅有1种奖品被选，即n个人都选同一种奖品，显然有 C；=4种不同的结果；有2种奖品被选，即n个人都选这二种奖品。从 4种奖品中选择2种奖品的方法共有C：种，针对此2种奖品，n个人的不同选择结果有 2n种，但必须去掉仅有 1种奖品的2种情况，所以有2种奖品被选的不同选择结果有 c2（2n _2） =6x2n_12种；有3种奖品被选，即n个人都选这三种奖品. 从4种奖品中选择3种
6、奖品的方法共有 C；种，针对此3种奖品，n个人的不同选择结果有 3n种，但必须去掉仅有1种奖品的2种 情况和仅有两种奖品的c2（2n _2）种情况，所以有 3种奖品被选的不同选择结果有C：3n c3（2n 2）-3 =4M3n -12x2n + 12 种.例4、7个人站成一排，其中 A、B不能相邻，G D必须排在一起，且 C要求在A的右 侧，则共有站法 种.解：把C、D捆绑起来看作一个元素，元素A只能排在从左至右的前 5个位置，故对 A的位置分类：A在左起第一个位置时.有 a4 A4A = 192种；A在左起第二个位置时，有A；A4 A3 A2 =144种；A在左起第三个彳置时，有 A；A3A
7、12C2A2A3=66种；A在左起第四个位置时，有A2c2A2 A3 + A2A3=60种；A在左起第一个位置时，有A2 A3 A3=36种所以共有站法 498种.例5、某伞厂生产的品牌 “太阳伞”伞蓬由太阳光的七种颜色组成, 七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域 内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有（）种A . 40320 B . 5040 C . 20160 D . 2520解：如图，设八个区域分别对应1、2、3、4、5、6、7、8八个号码，则用七种颜色对1、2、3、4、6、7、8七个区域涂色（其中 5号与1号同色），有7!种方法.又由于 1号与5号、2号与6号、
8、3号与7号、4号与8号是对称的，通过旋转后，5、6、7、8、1、2、3、4与1、2、3、4、5、6、7、8是重合的，因此每种染色方法重复了两次.因此这种图案的7伞至多有一=2520种.故选（D） 2例6、5个人有相应的5个指纹档案，每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹，并 有检测指示灯和检测时的手指按扭.5个人中某人把手指按在键扭上，若是他的档案，则指示灯出现绿色，否则出现红色 .现在这5人把手指按在5个指纹档案的按扭上去检测，规定 一个人只能在一个档案上去检测，且两个人不能在同一档案上去检测，此时指示灯全部出现红色的情况共有 种.解：此题相当于“ 5个编号为1、2、3、4、5的球放入编号为
9、1、2、3、4、5的盒中， 要求每个盒中只放一球，且号码均不相同，求放法总数”的问题 设这种情况有n个号码时的方法数为an,第一步是安排第1号球，共有n 1种方法.此 时不妨设1号球安排在了第i（i/1）号位置，再安排第i号球的位置，有两种情况：第i号 球在1号位置，此时剩余的 n -2个球要放在n -2个盒中的要求依然是号码均不相同，故 有an n种方法；第i号球不安排在1号位置，此时如同n 1个球放入n 1个盒中且号码 均不相同，故方法数有 anA,所以an =(n1)(anN+ani).当n=2时，a2=1;当n=3时， a3 =2 ;当 n =4 时，a4 =9 ;当 n =5 时，a
10、5 =44 .例 7、已知 fn(x) =(1 +2x)(1 +22 x)(1 +23 x)(1+2nx)-lH fn (x)的展开式中 x 项的系数为an ,求an的表达式；设fn(x)的展开式中x2项的系数为bn,求证：bn噂 =bn +2*a n ；是否存在常数a、b ,使bn =8(2n，1)(2na+b)对一切n 2 ( nW N)恒成立？如果存 3_在，,求出a、b的值；如果不存在，说明理由.解：由多项式乘法运算法则，得 an =2 +22 +23邛+2n =2n*_2 ；因为an、 bn分别是fn (x)的展开式中x项、x2项的系数，可设fn (x) =1 +anx +bnx2
11、+，贝U f n4(x) = fn (x)(1 +2n41 x) =(1 +anx +bnx2 +)(1 +2n*x)= 1+(an +2n*)x+(bn +2n * *an)x2 +.，又 fn4(x) =1+an 由x+bn 书x2 +，n 1_bn 1 bn 2*a n假设存在a、b ,使得bn =8(2n,1)(2na+b)对一切n之2 ( nW N )恒成立，则 382一3b2 =一 (2 -1)(2 a +b),即 4a +b =- b238B两队互相比赛中被淘汰的，从而 C队有6人被淘汰，所以整个比赛至少要胜24场.另一方面，当A依次胜B, G,E2,C2,，B6,G, 然后 C
12、依次胜Ai,B8,A2,区,A, A ，A,则C队恰好胜11场.故整个比赛进行了 24场.例9、自然数按下表的规律排列：则上起第2008行，左起第2009列的数为 .解：观察可知此表的排列特点：第一列的每一个数都是平方数，且L- J UU 1 f恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第一个数为n2;第一行第n个数J J /2为(n _1)2 +1 ；第n行中从第一个数至第 n个数依次递减；第n列中从第 一 卡玲161514A 由一个数至第n个数依次递增1.故上起第2008行、左起第2009列的数，应2534=23 -22-2是第 2009 列的第 2008 个数,即为(2009 _1)2 +1+
13、2008 =2008x2009 .例10、若等差数列an的首项为a1 =c51m2m -A21mim (mW N),公差是(3_2y，)n展开 一2x 5式中的常数项，其中 n为7715除以19的余数，则an=.5 m_ 11 2m 111373斛：由题忌，W= m 一，又m W N ,，m =2,a1 =Cc- A =100,113m 上2m275J 5又 1T _15=(19M4+1)77 -15 =C：7 +C；7(19M4) +川 +C；(19 M4)77 -15127776=(19 4)Cn C77(19 4) HI 077(19 4)76 -1 - 5，117715除以19的余数为
14、5,即n =5,又 Tr + =C；(1产(一2 潺)r =0；(5产丫(-1)r,令 5r-15 = 0 = r=3,5 2x 5J5 2. 一 _ 3 _ 5- 5 6 - 3 d=C5(2) (-1) 一，an =a1+(n-1)d =104-4n-试题集粹：1、有两个同心圆，在外圆上有相异的6个点，内圆上有相异的 3个点，由这9个点所确定的直线最少可有()条A . 15 B -21 C . 36 D . 32、如图，在5X5的正方形表格中尚有 21个空格，若在每一个空格 中填入一个正整数，使得每一行、每一列及两条对角线上的数都分别成等 比数列，则字母a所代表的正整数是,()A . 4
15、B , 8 C . 16 D . 643、设是等差数列，从a1，a2, a3,，a20 中任取3个不同的数，使这 3个 数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有()个A . 90 B . 120 C . 180 D . 2004、2xj的展开式中系数大于一1的项共有(5A . 5 B.4 C . 3 D . 2(-1)1CW5、函数f (x)=一二一2 Ax七2的最大值是()6(1 C3 C4 Cx)A . 20 B . 10 C - 20 D . - 106、（xy _xy +1）n的展开式经合并同类项后至少有2008项，则正整数n的最小值为（）A . 43 B . 44 C .2 005
16、 D . 20067、某仪表显示屏上一排有七个小孔，每个小孔可显示0或1。若每次显示其中三个孔，但相邻两孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示不同信号的种数有 种（用数字作答）.8、若在（x+1）4（ax1）2的展开式中x2的系数为20,则a=.9、在有52名同学的班级中选举班委会干部，则添加条件 ,才可使完成事件的不同方法数为c52c2.a4 .10、在二项式（axmWxn严中，a , bWN , 2m+n=0,且它的展开式中最大系数是常数项，则a的取值范围是.b11、已知an =6n+8n,则a84被49除的余数为 .12、在杨辉三角中，第 行会出现三个相邻的数，它们的比是 3： 4： 5.
17、13、在如图的倒三角形数表中，n 1 w又。1，、x1 =;y1=.1 2 5 13 与13 5n 修3 Xt Vr14、学校在星期日开设 A=语，数，外，理，实验, B=音，体，美，演讲共九种课 外兴趣活动，由于时间和场地限制， 语文和演讲两种活动的时间重叠，物理和实验两种由同一个老师在实验室连上一节大课.某学生想从A中选两种，B中选一种，则不同的选择方法共有 种.15、某池塘有A、B C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有 3个成年人和2个儿童分乘这些船只，为安全起见，儿童必须由成年人陪同方能乘船，他们 分乘这此船只的方法共有 种.16 、二条直线 y =2x , y=
18、-72x和 x=m将椭圆面x2 +4y2 W4分成若干块，现用 6种不同的颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色， 共有720种不同的涂法，则实数m的取值范围是.17、3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务， 若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有 不同的安排方法；若男女各包2辆车，有不同的安排方法.18、把八件不同的纪念品平均赠给甲、乙二人，其中 a、b不赠给同一人，c、d也不 赠给同一人，则不同的赠送方法有 种（用数字作答）.参考答案：1、B;2、B;3、C;4、B;5、C;6、B;7、80;8、4 或1 ;9、选出6人，其中班长1人，副班长2人，学习、体育、文
19、艺委员各一人。（答案不唯一）；10、8旦9; 11、2; 12、62; 13、x1=55、y1=144; 14、14; 15、27;5 b 416、一.2，、2 . 一17、 432、 216; 18、 25.m|-2mW-或 m=0 或一 Mm 2；3368 C Q1一又 b3 =(22 1)(23a 邓)，即 8a+b=-b338由 f2(x) =(1 +2x)(1+22x)=1+6x+8x2,得 a2=6,b2 =8 ,从而b3=b2+23 a2=56,代入、，得a+b=3,解得尸二1 ，猜想：bn =8(2n-L-1)(2n -1) (n之2),用数学归 8a +b =7b = -13
20、纳法证明(略).例8、A、B、C三队进行围棋擂台赛，每队 9人，规则如下：每场由两队各出1人参加比赛，胜者守擂，负者被淘汰，并由另一队派一人攻擂。首先由A、B两队各派1人开始比赛，并依次进行下去.若有某队9人已全部被淘汰，则剩下的两队继续比赛，直到又有一队全部被淘汰为止.最后一场比赛的胜者所在的队为冠军。冠军队最少胜多少场？若比赛结束时，冠军队胜了 11场，那么整个比赛最少进行了多少场？解：考虑到冠军队最后获胜时，另外两队的18人已全部被淘汰，由于 C队后派人上场比赛，因而C队获冠军时可以少胜一场.为了使 C队胜场最少，需要 A、B两队尽快地互 相淘汰.因为A、B两队互相淘汰时，每相邻两人之间必有1名C队成员，而C队最多被淘汰8人，所以A、B两队互相淘汰的人数至少 9人，即C队至少胜9场.另一方面，当A依次胜B, C,E2,G,，B8,C8,区，接下去C9胜A1,为，A9,则C队恰好胜9场.若冠军队胜了 11场，则A、B两队的18中，有11人负于冠军队，而另外 7人是A、