《直线平面简单几何体(B)(第24课)距离(二).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线平面简单几何体(B)(第24课)距离(二).docx（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、精品资源课题： 9 8 距离(二 )教学目的：1. 了解异面直线的公垂线、公垂线段的定义；2. 掌握异面直线的距离的概念，并会解决距离的问题教学重点： 两条异面直线的距离教学难点： 简单与复杂之间的转化，空间与平面之间的转化授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1. 点到平面的距离：已知点 P 是平面外的任意一点， 过点 P 作 PA，垂足为 A ，则PA 唯一，则 PA 是点 P 到平面的距离即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离 （转化为点到点的距离）B外一点 P 与结论：连结平面内一点所得的线段中，垂线段 PA
2、 最短A2. 直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离 , 叫做这条直线到平面的距离 ( 转化为点面距离 )3两个平行平面的公垂线、公垂线段：（ 1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，C叫做两个平面的公垂线（ 2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（ 3）两个平行平面的公垂线段都相等（ 4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长4两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离二、讲解新课：1异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线2公垂线唯一：任意两条
3、异面直线有且只有一条公垂线证明：设 a,b 是两条异面直线在b 上任取一点P ，过 P 引 a / a ，设b, a 确定平面，则 a /在 a 上任取一点Q ，过 Q 引 QM，PABlD欢下载精品资源垂足为 M ，设 a和QM 确定的平面与平面相交于直线c ，c与 b 相交于点 B ，在内作 BA / MQ ，交 a 于点 A ，则 AB, ABb, ABa ，又 a / a ， ABa， AB是 a, b 的公垂线段，如果还有直线 A B 也是 a, b 的公垂线，则 A Bb, A Ba, 于是 A Ba ， A Ba ， A B / AB, A B 和AB共面 ，即 a,b 共面，这
4、与 a, b 是两条异面直线矛盾，所以，两条异面直线的公垂线只有一条3两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；4公垂线段最短： 两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；5两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明 ：两条异面直线的距离AB 即为直线 a 到平面的距离 即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离6. 用向量法求距离的公式：异面直线 a,b 之间的距离：AB na, nb, A a, Bb 。d，其中 n| n |直线 a 与平面之间的距离：AB na,
5、 B。 n 是平面d，其中 A的法向量。| n |两平行平面, 之间的距离：AB n, B。 n 是平面d，其中 A的法向量。| n |点 A 到平面的距离：欢下载精品资源AB nd| n |，其中 B， n 是平面的法向量。点 A 到直线 a 的距离：AB a2d| AB |2，其中 Ba ， a 是直线 a 的方向向量。| a |两平行直线a, b之间的距离：AB a2d| AB |2，其中 Aa, Bb ， a 是 a 的方向向量。| a |三、讲解范例（ 异面直线间距离的求法）例 1 如图已知 a,b 是两条异面直线， 所成的角为，点 E, F 分别在直线 a,b 上，线段 A A 是
6、公垂线段，且A Em, AFn, EFl ，求线段 A A 的长 d 解： EFEAA AAF | EF |2( EA A A AF ) ( EA A A AF )EAEAEAA AEAAFA A EAA A A AA A AFA FE AA FAAA AAEA , AAAF , EA , AF或 () l 22222EA AFm2d 2n22mncos ，EAA AAF所以， dl 2m2n22mncos说明 ：（ 1）由上例： EF 的长是异面直线上任意两点的距离，AA 的长是异面直线的距离；2A E, AF时， AA 的长的运算中取（ ）当欢下载精品资源例 2 已知 P 是 ABC 所在
7、平面外的一点，M , N 分别是 AB 和 PC 的中点，PA BC a ， PB AC ，（ 1）求证： MN 是 AB和 PC 的公垂线；P（ 2）当 PA, BC 成 900 角时，求 AB和 PC 间的距离N解：（ 1）连结 AN , BN ， PA BC , PBAC, PC PC ，PACCBP ， N 是PC 的中点，ANBN ，又 M 是 AB 的中点， MN AB ，同理： MN PC ， MN 是 AB 和 PC 的公垂线CBQMA（ 2）取 AC 的中点 Q ，连结 MQ , NQ ， M , N 分别是 AB 和 PC 的中点， NQ / PA ， MQ / BC ，M
8、QN 是异面直线PA, BC 所成的角，即MQN90 ，且可得： NQ1 PA 1 a ， MQ 1 BC 1 a ，2222 MN2 a ，即 AB和 PC 间的距离为2 a 22例 3如图直二面角MN中， A, B 两点分别在平面,内， AB2a ，AB 与平面,所成的角分别是30 和 45 ，求 A, B 两点在棱 MN 上的射影间的距离解：作 BDMN 于 D ， ACMN 于 C ，连结 DA,CB ，二面角MN是直二面角，平面平面， BDAC，B AD、 BC 分别是 AB 在平面,内的射影，MCDNABAD、ABC 分别是 AB 与平面,所成的角，欢下载精品资源BAD30 ，AB
9、C45 ， AB2a， BDa, BC2a ， DCBC 2BD 2a ，即 A, B 两点在棱 MN 上的射影间的距离为a 四、课堂练习：1 已知正方体 AC1 的棱长为 a ， E 是 CC1 的中点， O 是对角线 BD1 的中点，（ 1）求证： OE 是异面直线CC1 和 BD1 的公垂线；（ 2）求异面直线 CC1 和 BD1的距离解：（ 1）解法一：延长EO 交 A1 A 于 F ，则 F 为 A1A 的中点，EF / AC ， CC1AC ，D 1C1 C1CEF ，连结 D1E, BE ，则 D1EBE ，A1B1OE又 O 是 BD1 的中点， OEBD1 ，DCAB OE
10、是异面直线 CC1 和 BD1 的公垂线1 AC2 a D 1C1（ 2）由（ 1）知， OE22A1B1解法二：建立空间直角坐标系，用坐标运算证明（略）DC引申： 求 BC1与 BD 间的距离AOB解法一：（转化为BC到过 BDBC平行的平面的距离）1且与 1连结 A1 D ，则 A1 D /BC1 ， B1C / 平面 A1 DB ，连 AC1 ，可证得AC1BD ， AC1AD ， AC1 平面 A1 DB ，平面 AC1平面 A1DB ，且两平面的交线为AO1，过 C 作 CE AO1，垂足为 E ，则 CE 即为 B1C 与平面 A1 DB 的距离，也即B1C 与 BD 间的距离，在
11、AOC11，3中，OCA ACE AOCEa121132欢下载精品资源（解法二）：坐标法：以 D 为原点， DA, DC , DD1 所在的直线分别为x 轴， y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则 A(a,0,0), B(a, a,0), C (0, a,0) ， B1 (a,a, a), A1 (a,0, a), D (0,0,0) ，由（解法一）求点C 到平面 A1 DB 的距离 CE ，设 E(x, y, z) ， E 在平面 A1 DB 上， A1 EA1DA1B ，即 ( x a, y, za)(a,0,a)(0, a, a) ，xaa ya，zaaa CEA D ,CEBD ，(
12、x, y2, z)(a,0,a)0，1(x, y2, z)(a, a,0)0解得：2， CE(1 a,1 a,1 a) ， CE3 a 33333解法三：直接求B1C 与 BD 间的距离设 B1C 与 BD 的公垂线为 OO1 ，且 O1B1C, OBD ，设 O (x, y, z) ，设 DOBD ，xa则 (x, y, z)( a, a,0)， ya ， O(a,a,0) ，z0同理 O1 (a, a,a) ， OO1()a, aa,a) ， OO1BD, OO1BC1， OO1BD0,OO1 BC10 ，欢下载精品资源解得：2 ,1， OO1( 1 a, 1 a, 1 a) ， | OO1 |3a 333333五、小结：异面直线的距离的概念；异面直线的距离的求法：找出垂线段并证明，求垂线段的长；距离的求法：（ 1）向量；（ 2）坐标公式；（ 3）解三角形点到面的距离的概念及求法（转化为点点距） ； 直线到与它平行的平面的距离的概念及求法（转化为点面距） ；两个平行平面的距离的概念及求法；异面直线的距离的概念及求法（找出公垂线段或转化为线面距离）六、课后作业 ：七、板书设计（略）八、课后记：欢下载