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1、个人资料整理，仅供个人学习使用高中数学竞赛几何不等式练习题1在 ABC 中， M 为 BC 边的中点，B=2 C， C 的平分线交AM 于 D.证明： MDC45.2设 NS 是圆 O 的直径，弦AB NS 于 M ，P 为弧上异与 N 的任一点， PS 交 AB 于R， PM 的延长线交圆O 于 Q，求证： RSMQ. 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。3在 ABC 中，设 A ， B， C 的平分线交外接圆于P、 Q、 R.证明： AP+BQ+CR BC+CA+AB.4过 ABC 内一点 O 引三边的平行线，DE BC,FG CA,HI AB, 点 D、E、F、G、I 都在ABC 的边上，表示六边
2、形DGHEFI 的面积，表示 ABC 的面积 .聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。求证：.5求证： ABC 的内心 I 到各顶点的距离之和不小于重心G 到各边距离之和的2 倍 .6凸四边形ABCD 具有性质：（ 1） AB=AD+BC ，（ 2）在其内部有点P，P 点到 CD 的距离为 h，并使 AP=h+AD,BP=h+BC，求证：.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。7设 H 为锐角 ABC 的垂心， A1 ，B1 ，C1 ，分别为 AH ， BH ，CH 与 ABC 外接圆的交点 .求证：.其中等号当且仅当 ABC 为正三角形时成立 .8一凸四边形内接于半径为1 的圆 .证明：四边形周长与其对角线之和的差
3、值u,满足 0uAC ，直线 EF 交BC 于 P，过点 D 且平行于EF 的直线分别交 AC 、 AB 于 Q、 R.N 是 BC 上的一点，且NQP+ NRP 180，求证： BNCN. 酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。参考答案【同步达纲练习】 1设 B 的平分线交 AC 于 E，易证 EM BC 作 EF AB 于 F，则有 EF=EM ，AEEF=EM ， 从 而 EMA EAM,即 90- AMB EAM. 又2 MDC=2（ MAC+ ACD）=2 MAC+ ACM= MAC+ AMB， 90 AMD+ MAC=2 MDC ， MDC45.2连结 NQ 交 AB 于 C，连结 SC、 S
4、Q.易知 C、Q、S、M 四点共圆， 且 CS 是该圆的直径， 于是 CSMQ. 再证 Rt SMC Rt SMR ，从而CS=RS，故有RSMQ.3设的内心为I，由IA+IBAB,IB+ICBC,即2（AP-IP+BQ-IQ+CR-IR）AB+BC+CA（ 1）连 AR ， AIR= IAR ，IR=AR， 又AR=BR，同 理1 / 4个人资料整理，仅供个人学习使用（ 2）由（ 1）、（ 2）即得 AP+BQ+CRAB+BC+CA.4如图 8.设三边长分别为a、b、c，IF=x ，EH=y ，DG=z ，则依题意有，（易知 OE=CF ）同理，所以，由柯西不等式，从而于是5设 G 到各边距
5、离为由（r为内切圆半径） ，得又（艾尔多斯莫德尔不等式）.故即AI+BI+CI 2(r1+r2+r3) 6分别以 A 、B 、P 为圆心， AD 、BC、h 为半径作圆，三圆两两外切， EF 为 A 、 B 外公切线， P 与 EF 相切时 h 最大，此时设 AD=r,BC=R, P 半径为m ， 则化 简 得，即由知命题成2 / 4个人资料整理，仅供个人学习使用立.7由外接圆心O 向 BC 作垂线OD 于 D ，则 AH=2OD ，DOC= A ，故HA=2OD=2RcosA. 同理 HB=2RcosB,HC=2RcosC, 由 BC 是的垂直平分线，得同理.于是原不 等 式 等 价 于而 2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)故8如图，引进有关边长 、 对 角 线 、 角 的 记 号 ， 则a+de,d+cf,c+be,b+af, 四 式 相 加 得a+b+c+de+f, 即u=(a+b+c+d)-(e+f)0. 又四边形至少有一角，不妨设，则且， 同 样 可 设， 由 圆 的 半 径 为1及 正 弦 定 理 得.于是uCN.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔。4 / 4