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1、【解析】2. (2012A 25BYC- -2524D252013年新课标数学40个考点总动员 考点14解三角形（学生版）【高考再现】热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长1. （2012年高考（重庆文）设 ABC的内角 A B、C 的对边分别为 a、b、c,且，八一 1b=2,cosC = ，则 sin B = 4晅4a-1, = 2,cosC =-,由余弦定理得 4二” =招 +* 2出 cos (7= 1+4 2x1 x 2父二 4,贝lj 亡=2,即 3 = C，故4年高考（天津理）在 MBC中，内角A, B , C所对的边分别是 a,b,c ,已知8b=5c, C
2、=2B,则 cosC =(用心爱心专心201答案】A【解析】:电=5九由正5支定理得又：023,二8an55sin25f所以Bsin 5=10sinBcosB,曷知.437sin 5 # 0, -. cos B= , cosCf=cos 2B=2 cos -1 =.253. （2012年高考（陕西理）在 MBC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a b之 一 2:由余弦 定理得，cosC = a一b工 2ab + b2 = 2c2,则cosC的最小值为A.-3 r 2B C. 1 D.22,2a b4ab1 ,，之一当且仅当a= b时取=”，选2C.4. （2012年高考（湖北文）设A
3、ABC的内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数，且A B C,3b = 20acosA,则 sin A:sin B :sin C 为()A. 4 ： 3 ： 2B. 5 ： 6 ： 7C. 5 ： 4 ： 3D. 6 ： 5 ： 4t答案】Dt解析】因为凡为连续的三个正整数.且可得S所以a =（? + Z5 = c +1 ;又因为已知36 = 204cosj,所以cos A -,，.由余弦2必定理可得c =+-,则由可得 =，联立 2 加20。 2bc，得71 1女-60=0,解得.4成八一蓝（舍去），贝 = 6,占=5.故由 正弦定理可得，sin j4: si
4、n 5 : sinC = a : ：c = 6: 5:4.故应选 D,5. （2012年高考（陕西文）在三角形 ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B= ,c=2 V3 ,贝U b=【答案】2【解析】：由余弦定理得，b2 = a2 + c2- 2accosB= 4,所以b = 2.6. （2012 年高考（福建文）在 AABC中，已知 ZBAC =60：/ABC =45BC = J3,则AC =.【解析】由正弦定理得AC = 3 - AC = ：2sin 45 sin 607. （2012 年广东文）在 AABC 中，若 /A=60 NB=45; BC=3j2,贝 U
5、 AC=（）、.3A. 4,3B, 2,3C.3D.21答案】B【解析】由正弦定理，可得上三上，所以心芈工岑口也sin 4 5 an 60g 28. （2012年高考（重庆理）设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,且“3-5 .cosA = 一 ,cos B = ,b=35Uc = 513-14【答案】c-53 r 5. 4 . r 12【解析】由 cosA=-，cosB= sin A ,sinB=-513513由正弦定理asin A3b /口 bsin A 5得 a= -5sin B sin B 121314 c =513由余弦定理 a2 =c2 b2 -2bccosA= 25
6、c2 -90c 56=0 ：19 . ( 2012 年局考(北东理)在 ABC 中，若 a = 2 , b + c = 7 , cosB = ,则4b =答案4【解析】在&利得用余弦定理n1 4+d + 6)仁_8) 4+7(。功Cos B -=2ac 4 4cAc化简得8c- 7i + 4 - 0j与题目条件S +二=7联立j 可解得厘-2,b - 4,- 3?答案为4 .10. （2012年高考（湖南文）在4ABC中,AC= ,BC=2,B =60 ,则BC边上的高等于（）3:3B. ,、3.6 D ,3.39t答案】B【解析】设的二口在Aabc中,由余弦定理知AC2 = AB7 + RD
7、 - 2AB BC cos B,Bp7 = ca+4-2x2xcxco560 ca-2(7-3= 0,即(c-3)(c+l)=0.又匚 0, y = 3一设BC边上的高等于肌由三角形面积公式= - ABBCn B = 肌知2.1iN F2x 3x 2xsin60 = x2x,解得h .22211. （2012年高考（北京文）在4ABC中，若a =3, b = J3, /A=W，则/C的大小为b2 c2 - a2【解析】cosA = b一c二2bcc = 273,而一csin C sin Aji，故 sin C = 1= C = 2ABC的内角A , B , C所对的边分别为 a, b , c
8、.若12. (2012年高考(湖北理)设(a +b c)(a +b +c) =ab,则角 C =1答案】yt解析】：由(】十3 -OS +3-e)n / -b 2由(1)倚sin A =,由面积可得 -c2 = -ab根据余型定理可得cos C = /+*, = c3 2ab 23a,b,c ,且有13. . ( 2012年高考(安徽文)设AABC的内角A,B,C所对的边为2 si nB coA= sAn cCs Aos CSi(I)求角A的大小；(II) 若b=2, c = 1, D为BC的中点，求AD的长.【解析】C I )5+ (7 =开-瓦4f云(0,开)sin(X+C) = sin5
9、 02 sin B cos A 二 sin -4cosC + cosj4smC = 5m(j+ C)= 51n B=cos A = A - -23(II) a2 = +/ - 2bc c* A C 事=# n= a +c2 = 5 =2在RtLABD中，的二ABBL =a,b,c. 已知14 . ( 2012年高考(江西文)4ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求 cosA;(2)若a=3/ABC的面积为2&，求b,c.3(cosBcosC +sin Bsin C) -1 =6cos B cosC3cos B cosC -3sin Bsin
10、 C = -1【解析】(1) 33cos(B+C) = -1则 c0sA，一 、1(2)bc=6，则根据余弦定理cos( n A)=.3b2 c2 -912.222 b c -a cos A =2bc1,22=一则 b +c =13 , 3b = 3|a = 3两式联立可得 或$.B , C的对a=2 b=215. (2012年高考(课标文)已知a, b, c分别为 AABC三个内角 A边，c = . 3asinC -csin A.(I)求 A;(n)若a=2, AABC的面积为 布，求b,c.【解析】(I )由c1二J5ifinC-c5m上及国玄定理得Jisin j4sin C- sin -
11、4sm (7 = si n C7由于 sin C w。，所以 51rL(4)=-j62又0式火父开，故卫=2.3(11) 的面积S抡辿金二75,故抡二4,2而 a2 =/2+c2 - 2ic cosj4 故亡3+/=&解得3 = t =2.法二:解：已知:c - 3a sin C-c cos A 、由正范定理得:sin C = J5 sin 4 sin C sin C cos A因 sin C h 0 ,所以:1 = sin cos A ,由公式：a sin 十+3cosx - 4a1 +/ sin x + pSmL-kl . vj是A的内角.所以工-至=工.所以：月二至0,故解得g =1.(
12、2)由 cos j4 = -, an A =44得 ccs 2A = 2 cos2 j4- 1 = j sin -4 = 2 sin j4 cos A = 44所以85（2工+ ；）=cos 2-4 cos- sin 2-4sin 17. （2012年高考（江苏）在 MBC中,已知AB -3+逝T 二 T TAC =3BA *BC .(1)求证：tan B =3tan A;(2)若 cosC = Y5 ,求 a 的值.5解析(1) v ABAC = 3BABC3 二| 万 配cos 工=3 两 而 |,cosB,即|就|,854=3,|而|CO5B由正弦定理：,得. *C =严,.1- sin
13、 5cos4 - 3sin 4cos5 sin B sin AX - 0 0 cosB 0 , /-同 二3 乳即 tanE= 3tan月.cos A(2)1/ 003= t QCl 0j ten工=1.月=2.418.（2012年高考（大纲文）AABC中，内角A.B.C成等差数列，其对边a,b,c满足2b2=3ac,求A.K解析】由以3 c成等差数列可得= 而月+ B+C=h,故 3B = =8 = 2 且 二竺金33而由弱、3於与正弦定理可得2 sin2 B - 3Kli刃KnC = 2x sin3 y = 3sm(-苟 sin A所以可得32j?t2 jj2 x - = 3(sin-co
14、s A cos sin A) sinA=y/3cos Asm j4+sin25= 1 =J3 , 0 . 1- cqs 2A t1sm 2 H 1 = sin(2j4 )=,2262i -.2刀 TV _ A 开 7 7T 土% . 7T 7T I* * 7T 5 开由 0 力 2j4 j 故 2上一或 2上一一36666 666于是可得到上二汇或月= 2. 6219. (2012年高考(辽.宁理)在AABC中，角A B、C的对边分别为a, b, c.角A, B, C成等差数列.(I)求cosB的值;(n)边a, b, c成等比数列，求sin Asin C的值.【解析1JTT1(1)由已知 2
15、3=力+。4+5+0=开,一 B=cos B=-32(2)解法一：rc, 由正弦定理得sin工助口 C-sin2 B=-A解法二:=ac, l=cosB =、行“二Lw,由此得a2 4d -ac=aj 得 a=c 22ac2ac所以 j4=B=C=三，sin sin C=- 34【方法总结】(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.(3)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.热点二、利用正余弦定理判断三角形形状1.
16、 (2012年高考(上海理)在&ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C,则AABC的形状是( )A.锐角三角形.B.直角三角形.C.钝角三角形.D.不能确定.t答案】C1解析】由条件结合正弦定理，得M十相c/,再由余弦定理，得=所以C是钝角【方法总结】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方，法：1 .利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2 .利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+ B+ C=兀这个结论.热
17、点三、利用正余弦定理求三角形面积1. (2012年高考(山东文)(本小题 满分12分)在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B(tan A+tanC) =tan Atan C .(I)求证：a,b,c成等比数列；(n )若 a =1,c =2 ,求 ABC 的面积 S【解析】:(l)由已知得:sin5(sin4cosC+ cos A sin (7) -siti 工 si口 C,siuBsinf 力+ C) = smH&inC,贝 ll sin1 B= sin 工丸口再由正弦定理可得:b:=留,所以也。成等比数列.(II)q = 14 = 2 ,则 b dj
18、ff - 2, cqsBn-=:，2ac 4sinC* - Jl - cos2 C =,4，g7的面积S函sinB = Llx2A立=立. 22442 . (2012年高考(江西理)在4ABC中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知，A = 一,bsin( C) -csin( B) = a.444(1)求证：B C = 一2(2)若a=E，求4ABC的面积.【解析】 证明油占q110+0）-7q11（石+ 3）=玄及正弦定理得： 44力开sin E 乳口（ 一 + Q -sinC sm（ + 3） = sin 上，44即 sin 5(sin C+sin Q-sin C( sin 5+s
19、in B) = 22222整理得二 sin B cos C - cos B siti (7 = 1, 所以丸口必一=1,又0 BrC /2 . 7T 1dc sin *42. sin - sin = 42 sin cos 一=sin 匚一2 88 S 824 2 3 . （ 2012年高考（浙江理）在 ABC中，内角 A B C的对边分别为a, b, c.已知cosA= 2 ,sin B= ,5 cosC.(I )求tan C的值；(n)若a=T2，求AABC勺面积.【解析】(I ) . cos A=- 0, sin A= Ji -cos2 A =, 33又 5 cosc=sin B=sin(
20、 A+C)=sin AcosC+sin CcosA=cos C+ 2 sin C整理得:tan C= 75 .(n)由图辅助三角形知:sin C=J5.又由正弦定理知：一a一, sin A sin C故c = 3. (1) 22 o29对角 A运用余弦th理：cos A=一 .(2)2bc 3.一 一3 .解(1)(2)得：b=T3 or b=(3(舍去).5 ；：ABC勺面积为：S= .2【方法总结】1.利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化二2除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有S= W p占 b c = a * -r（j?是周长的一半，即二 坐了为内切圆半径）；$=
21、器（斤为外接圆半径）.【考点剖析】一.明确要求1 .考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.2 .考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.3 .考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.二.命题方向L利用正、余弦定理求三角形中的边，角及其面积问题是高考考查的热点.2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.三.规律总结基础梳理一、一a b c一 ，一、.1.正弦定理：siTAT STBr STCT 2R其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以 变形为:(1) a ： b ： c= sin A： sin B： sinC;(2) a=2RS
22、in A, b = 2Rsin B, c= 2Rsin C;(3)sinA=示 sinB= 2R, sin C=Tc,等形式，以解决不同的三角形问题.2R2.余弦定理：a1 2 = b2 + c2 2bccos A,b2= a2+c2 2accos B, c2= a2+ b2 2abcos C. 余弦定理可以变形为:cos A=b2+ c2 a22bca2+c2b2a2 + b2c2cos B, cos C=;2ac2ab是三角形内切圆的半径），并可由此计算 R, r.关系式a bsin Aa= bs in AbsinAv a ba ba B? ab? sin Asin B 两类问题在解三痈形
23、时,正整定理可解决两类问题:（1）已知两南及任一边，求其它边虱 角j Q）已知两边及一边的对篇，求其它边或用.情况心上空结果可能帝i解、两 解I莓解，虞注建区今-余轮戋理可解决两美问题Q已知两边及央南求第三 辿天亮他两角人0）已担邑虬述叠度一 两种途.径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.【基础练习】.1 .（人教A版教材习题改编）在4ABC中，A= 60,B= 75,a=10,则c等于（）A. 5小 B . 10小 C. 10 D , 5msin A cos B2 .（经典习题）在 ABC,若一0一 = F，则B
24、的值为（）.A. 30B . 45C . 60D , 903 .（经典习题）在乩M中，3=脑二蹴，/3, b=1, c=2,则 A等于(A . 30B . 45C . 60D .756 .（教材习题改编）在ABC43,若a=18, b = 24, A= 45 ,则此三角形有（A.无解B .两解C. 一解D .解的个数不确定【名校模拟】一.基础扎实1. （2012 长沙模拟）在加C中，乩揖C的对边分别为小 5, g已知月二子甘=#，5=1，则二等于（ 0A. 1 B* 22. (2012福州质检）在ABC43,角A,B, C所对的边分别为a, b, c.若a=1, c=4取,B= 45 ,则si
25、n C等于（A.3. (2011金华二模）在 ABC,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若角A、B C依次4444 ；4141 B. 5 C. 25 D. 丁成等差数列，且 a=1, b=100, R = 30 ,则此三角形A.一定是锐角二角形 B.-定是直角二角形C. 一定是钝角三角形 D.可能是直角三角形,也可能是锐角三角形3. （2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理）在 ABC中，角A, B,C的对边分别为2 A B7a,b,c ,已知4sin2cos2c =,且c=，则4 ABC的面积的最大值为.224.（浙江省2012届浙南、浙北部分学校高三第二学期3月联考试题现在三角形 A
26、BC中，若/ C= 3/B,则c的取值范围是.b5.（浙江省2012届理科数学高考领先卷一名校精粹重组试卷现在AABC中，已知内角A =一,边3BC = 2石，则 MBC的面积S的最大值为 .d陈城区普通高中示范校高三综合练习（二（文）己知函数/=（sin兀+cos#） + 2J5cos兀，兀丘R（1 ）求函数力的最小正周期及其单调递减区间；C II ）在锐角加C中，鼻乳二分别为角H 8、C所对的边，又 2、/二1十#，b汴之,求助C的周长.7.（2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理）（本小题满分12分）已知A、R C是4ABC的三个内角，且满足 2sinB = sinA + sinC,
27、设B的最大值为Bo.（I）求B0的大小；（n）当B =3?0时，求cosA-cosC的值.48. （2012洛阳示范高中联考高三理 ）在4ABC中，角 A、日 C所对的边分别为 a、b、c, q= （2a, 1）, p=（2b c, cosC ）且p / q .求：（I）求sin A的值；（II ）求三角函数式 2cos2c +1的取值范围.1 tan C9.（浙江省杭州学军中学 2012届高三第二次月考理）在 A ABC中，已知角 A R C所对边2分别为a、b、c,且满足b=acn（1）求证：0 记角 乐XG).(I)当在工，二时，求？(斤)的取值范围；C 3(II)若与二工，求工的值.654.已知A ABC中，内角A日C所对边的长分别是 a、b、c,且点(口sinA，csinC)在直 线 xy=(a b) sinB 上(I)求角C的大小；2 cosz2si3至=在三(II)若 2乙鼠22 ,且aB,求Q的值.111abc 1_ 3. $ abc= 2absin C= 2bcsin A= 2acsin B= _4R = 2(a+ b + c) r(R是二角形外接圆半径,