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1、第8讲曲线与方程阶梯训练能力提升限时规范训练A级 基础演练（时间：30分钟 满分：55分）一、选择题（每小题5分，共20分）1.动点 Rx, y）满足 5M x1 2+y-2 2 =|3x+4y 11|,则点 P 的轨迹是 （）.A椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线解析 设定点 F（1,2）,定直线 l : 3x+4y11 = 0,则| PF = x1 2+ y- 2，点P到直线l的距离d=腔.2-111 .5由已知得曹=1,但注意到点F（1,2）恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线.选 D.答案 D2. （2013 榆林模拟）若点P到直线x=-1的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点P的轨迹(
2、)A圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析 依题意，点P到直线x= 2的距离等于它到点（2,0）的距离，故点P的轨迹是抛物 线.答案 D3. （2013 临川模拟）设圆（x+ 1）2+y2=25的圆心为C, A（1,0）是圆内一定点，Q为圆周上任 一点.线段AQ的垂直平分线与 CQ勺连线交于点 M则M的轨迹方程为()4x2 4y2A. 2T 25 = 14x2 4y2B. 2?+25 = 1224x4yC.2? 2?=14x2 4y2D五十五=14则 b2= a2 c2=红, 4解析 M为AQ垂直平分线上一点，则| AM = | MQ=| MC+| MQ= | CQ=5,故M的轨迹为椭圆，22，椭
3、圆的标准方程为45+41=1答案 D4. （2013 烟台月考）已知点P是直线2xy + 3=0上的一个动点，定点M（-1,2） , Q是线段 PM长线上的一点，且| PM = | MQ,则Q点的轨迹方程是（）.A 2x + y+1 = 0B. 2x-y-5= 0C 2x-y-1 = 0D. 2x-y + 5= 0解析 由题意知，M为PQ中点，设qx, y）,则P为（一2 x, 4y）,代入2x y+3=0, 得 2xy + 5=0.答案 D、填空题（每小题5分，共10分）5. （2013 泰州月考）在 ABC中，A为动点，B、C为定点,满足条件sin C sin1B= 2sin A,则动点A
4、的轨迹方程是解析由正弦定理，得| AB |AC 1BC = X 一一2R 2R 22R 1.|AB|AC=2| BC,且为双曲线右支.16x2 答案方2尸=1(x0且 yw0)6. 如图，点F（ a, 0）（ a0），点P在y轴上运动，M在x轴上运动,N为动点，且PM/I- PF= 0, PMPNJ= 0,则点 N的轨迹方程为解析 由题意，知PML PF且P为线段MN的中点，连接 FN, 延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接 QM QN则四边形FNQM?菱形，且点 Q恒在直线l： x=a上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为2准线的抛物线，其方程为：y2= 4ax.答案 y2= 4ax三、
5、解答题（共25分）7. （12分）已知长为1 + 42的线段AB的两个端点 A B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上2一点，且AP= 22-PB求点P的轨迹 C的万程.解 设 A(xo,0), B(0 , y。)，Rx, y), AP=又A% (xxo,y),电(-x, yo-y),所以X Xo=22,、一看X, y = /(yoy)得xo=%+ 乎 X，yo=(i+淄)y.+ (1 +/)y2=(i +V2)2,因为 | AB| = 1 + 2,即 x2+ y0= (1 + 42) 2,所以H+x22化简得2+y2=l.x22.点p的轨迹方程为2+y2=i.28. (13分)设椭圆方程为X2
6、+11,过点M0,1)的直线l交椭圆于A, B两点，0为坐标原点，点P满足Op= 2(OAOb,点N的坐标为2 ；,当直线l绕点M旋转时，求:(1)动点P的轨迹方程；(2)| Np的最大值，最小值.解(1)直线l过定点M(0,1),当其斜率存在时设为k,则l的方程为y=kx+1.设 A(x1, y1), B(x2, y2),由题意知,A、B的坐标满足方程组=kx+1,2X2+11.消去y得(4 + k2)x2+2kx-3=0.则 a =4k2+12(4 + k2)0.X1 + X2 =2k4 + k2X1X2 =-34+k2一 k4+k21,.42 kx1+1 + kx2+l =4Tk2；Rx
7、, y)是AB的中点,1X= 2 X1+X2 则由1y=2 y1+y2消去 k 得 4x2+y2-y= 0.当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故 P点的轨迹方程为4x2 + y2 y= 0.(2)由(1)知 4x2+y_1j=1, . . Bwxw：而| NR2=*y-2)=21 2 1 16xX2广当x= 1时，| NP取得最大值卫, 66当x=4时，|NP取得最小值：.B级 能力突破（时间：30分钟 满分：45分）、选择题（每小题5分，共10分）、3 一1. （2012 全国）正方形ABCD勺边长为1,点E在边AB上，点F在边BC上，AE= BF= 7.动 点P从E出
8、发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹， 反弹时反射角等于入射角.当 点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）.A. 16B. 14C. 12 D. 10解析 当E、F分别为AR BC中点时，显然碰撞的结果为 4,当E、F分别为AB的三等 分点时，可得结果为 6（如图1所示）.可以猜想本题碰撞的结果应为 2X7= 14（如图2 所示）.故选B.困1却答案 B2. （2013 沈阳二模）在平行四边形 ABCDK / BAD= 60 , AD= 2AB若P是平面 ABCDJ 一点，且满足：xAB+ yADPA= 0（x, yCR）.则当点P在以A为圆心，*| BD为半径的 3圆上时，
9、实数x, y应满足关系式为（）.A. 4x2+y2+2xy=1B. 4x2+ y2- 2xy= 1C. x2+4y22xy=1D. x2+ 4y2+ 2xy= 1解析 如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD= 2.据题意，得 AB= 1, /ABD= 90 , BD=m.，R D 的坐标分别为（1,0）、 （1 ,小），AB= （1,0） , AD= （1 ,。3） .设点 P 的坐标为（m n）, 即AP=（3 n）,贝U由 xAB+ yAD+PA= 0,得：AP= xAB+ yAD）, 了 x + y, n= 3y.据题意，n2+n2=1, . . x2+4y2+2xy= 1. 答案
10、D二、填空题（每小题5分，共10分）3.如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为1,点M在AB上，且1A阵-AE点P在平面ABCDE,且动点P到直线AQ的距离的平 3方与P到点M的距离的平方差为1,在平面直角坐标系 xAy中,动点P的轨迹方程是MB 工解析过P作PQLAD于Q再过Q作QHLAD于H,连接PH PM可证PHLAQ,设 P(x,y),由 |PH2|PM2= 1,得 x2+1 x3）+y2 L1，化简得y2=|x-1. y 39A,答案y2=2x-9G224. （2013 南京模拟）P是椭圆、+看=1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，Oq= PF+危，则动点Q的
11、轨迹方程是解析 由Oq= PF+Pfc,又PF+PF2=PM= 2 PO= 2Op 设 q一 1一 1x yy),则OP= - 2OQ 2(x, y)= 一万，y.又p在椭圆上，则有 x即p点坐标为一2即亲十卡=1.答案S 4b2=1三、解答题（共25分）5. (12分)(2013 郑州模拟22）在平面直角坐标系xOy中,椭圆1）为其一个焦点.（1）求椭圆E的方程;x y，E：/r1（a。，b0）经过点且点F(0 ,（2）设随圆E与y轴的两个交点为 A, A 不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动，直线PA, PA分别与椭圆E交于4RM点M N,证明：直线 MN!过一个定点，且 FMN勺周长为
12、定值.a = /3, b=2,解（i）根据题意可得|2a2+b2 1 b2 a2= i,22椭圆E的方程为3+，= 1.(2)由(1)知 Ai(0,2) , A(0, 2)P(X04)为直线 y= 4 上一点(xowo), Mxi, yi), N(X2,2y2),直线PA方程为y=-x+2,Xo6直线PA方程为y=x-2,Xo点 Mxi, yi), A (0,2)的坐X2 y2 3+7=1标满足方程组2y = -x + 21 J VcXor 6xo Xi=T-2,3 + Xo可得22xo6yi= -2.3+ Xo点N(X2 , y2)A2（o , 2）的坐标满足方程y=-x-2,Xoy2=i8
13、xo2.27+Xo22Xo + 5427 + xo由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y = 4上运动时，直线MN过的定点必在 y轴上，当xo=i时，直线MN勺方程为y+i=-4x+| ；,令x=。，得. 一一，、，.， .、一 、” 、，. 一.，.，、yi i y=i可猜测定点的坐标为 （o,i），并记这个定点为B.则直线 BM的斜率kBM=7一Xi22xo 6- T i23+ Xo9 xoy2 i-=,直线BN的斜率kBN=6xo6xoX23 + xo22xo+ 542 i227 + Xo9 Xoi8xo27 + x26xo，= kBW= kBN,即 MB, N三点共线，故直线 MNf过
14、一个定点 R。，i）, 又F（。，一 i） , B（o,i）是椭圆E的焦点， . FMN长为 | FM + I MB+ | BN +| NF = 4b=8,为定值.b=(i,o)，且(a+V3b)，(aV3b) .6. （i3分）（2oi3 玉林模拟）已知向量a=（x，43y）,（i）求点Qx, y）的轨迹C的方程;(2)设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点 M N,又点A(o , i),当|AM=|AN 时，求实数m的取值范围.解 (i)由题意得a+/3b= (x+/3,My),agb= (x V3,V3y), (a+/3b)1(a-/3b),(a+/3b) - (a-V3b) = o,即(x+淄)(x-力)+小y 淄y=0.22化简得w+y2= 1,，Q点的轨迹C的方程为w+y2=l. 33y= kx+ rq(2)由%22得(3k2+1)x2+6mkx+ 3(n2-1) = 0,ry=1由于直线与椭圆有两个不同的交点，A 0,即 n2m,解得0m0,解得m1, 32故所求的m的取值范围是 2，2 j(ii)当 k=0 时，|AM = |AN,Api MN m3k2+1,解得一1m1.综上，当kwo时，m的取值范围是2 : 2当k = 0时，m的取值范围是(一1,1).特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.