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1、【走向高考】2013年高考数学总复习9-7双曲线课后作业北师大版、选择题1.双曲线方程为X2 2y2 = 1,则它的右焦点坐标为（）B.D. （3, 0）2解析将方程化为标准方程x2-y1= 1221 36，c =1+2=2,，c=彳，故选 c.2. （2011 安徽理，2）双曲线2x2y2=8的实轴长是（）A. 2B. 2 2C. 4D. 4 2答案C解析本题主要考查双曲线的标准方程与性质.由 2X2-y2=8 可得5=1, 4 8则 a2= 4, a=2,2a=4,故选 C. 223.（文）过双曲线x2y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ=7, F2是双曲线的右焦点，则PFQ
2、的周长是（）A. 28B. 14- 8 2C. 14+ 8 2D. 8 2答案C解析|PF| + | PQ + | QF= |PF| |PF|+|QF |QF|+2|PQ=14+ 8 2. 22（理）（2012 皖南八校高三摸底联考）双曲线与一y2=1（a0, b0）中，F为右焦点，A为左顶点,a b点B（0, b）且ABL BF则此双曲线的离心率为（）B. 13A. 2C.3+12D.答案D解析-. ABLBF，b2 = ac,即 c2a2 = ac,故 e2e1 = 0,且 el,所以 e=：224. （2011 湖南理，5）设双曲线x2y=1（a0）的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为
3、（）a 9A. 4B. 3C. 2D. 1答案C解析本小题考查内容为双曲线的渐近线.双曲线的渐近线方程为y= %,比较y= |x,，a= 2.5.（文）设Fi、F2分别是双曲线x2y=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且PF-PE= 0, 9B. 2 10D. 2 5则|PF+ PF|等于（）A. 10C. 5答案B解析由题意知：F1（诉，0）, F2（, 0）, 2c=2版，2a= 2. . PF PF= 0, ，|PF|2+| PE|2=| F1E|2=4c2= 40.（PF+ PF）2=|PF| 2+|PF|2+2PF PF=40.| PF+ PF| =210.（理）（2010 全国卷I
4、文）已知Fi、E为双曲线Cx2y2=1的左、右焦点，点P在C上，/F1PE= 60。，贝U|PF| |PF|=（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案B解析该题考查双曲线的定义和余弦定理，考查计算能力.在FiPF中，由余弦定理cos60 ;已需r2|PF| -|PE| 2 一|FiE|2 + 2| PF| |PF| 2|PF| . |PF,2,224a4c2b+1 =+12|PF| PF|PF| |PF|-21=| PF| | PF| +1=2?故| PF| |PF| =4.6. （2011 新课标理，7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交 于A B两点，|AB为C
5、的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A. 2B. .3C. 2D. 3答案B解析设双曲线的标准方程为点一b2=1（a0, b0）,由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴22c2b4b202T 厂/ .y=w，故2b2_2b21AB =三，依题意丁4ab22=2 a22c a=e21 = 2,e= 3.垂直,因此直线l的方程为l ： x=c或x=-c,代入沁=得y2=b2二、填空题7. （2011 上海理，3）设m常数，若点F（0,5）是双曲线y2=1的一个焦点，则mr m 9答案16解析本题考查双曲线白标准方程以及a、b、c基本量的关系和运算.根据标准方程可知，a2=m b2=9,而c= 5,1 .
6、c2=a2+b2,52=m9. . .m= 16.2 28.（文）（2010 江西理）点Ax。，y。）在双曲线4 32= 1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0,贝 U X0=.答案2x2 y222解析由732=1 知 a =4, b=32, c2=a2+b2= 36,c=6.，右焦点为（6,0）,则由题意得m y4-32= 1x。一62+y0=2xo,-2 ,解信X0=5或x0=2.点A在双曲线的右支上，Xo2,，Xo=2.（理）双曲线x2y2=1（a比0）的左、右焦点分别为Fi、F2,线段F1F2被点（A，0）分成3:2两段, a b2则此双曲线的离心率为 L答案挈.一 bb解析. .
7、（2+c）：（ c-2） = 3:2.三、解答题9.已知点A（/，0）和点口/，0）,动点C到A B两点的距离之差的绝对值为2,点C的 轨迹与直线y= x 2交于口 E两点，求线段DE勺长.分析求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长.2x解析设点Qx,y）,则|CA|CB=2,根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线-2 a2CC、3=1.（ a0, b0）由 2a=2,2c=| AB =26，得 a2x2-y = 1o由彳 2，消去y并整理得x + 4x 6=0.y=x2因为A0,所以直线与双曲线有两个交点.设 口必，y1）, E（x2,里）,则 x1 + x2=4, x1x2=
8、 6,故| DE= . x1 x2 2+ y1-y2 2= 2 , -l x1 +x 24x1x2= 45.点评（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.（2） 当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.（3）如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情 况.= 1, b2=2,2故点C的轨迹方程是x2-y2 = 1,用心爱心专心13能力提升、选择题1. （2011 山东理，8）已知双曲线2x2 a2y一一， b2=1（a0, b0）的两条渐近线均和圆C: x2+y26x+ 5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（22哈-5=122A.沁
9、=122c.22D(3=1答案A解析双曲线/一茬=1的渐近线方程为y= bx,圆C的标准方程为（x3）2x y2.（文）设F1、F2分别是双曲线b2=1的左、右焦点，若双曲线上存在点A,使/F1AE=90。，且|AF| =3|AE| ,则双曲线的离心率为（）A JB通a. 2b. 2C.芋D. 5答案B解析+y2=4, 圆心为C（3,0）.又渐近线方程与圆C相切，即直线bx- ay= 0与圆C相切,-于 2=2,5b2=4a2.a +b22又丁沁=1的右焦点F4将由，0）为圆心q3,0）, .a2+b2=9.由得a2 = 5, b2=4. 双曲线的标准方程为卷一y2 = 1.5 4 .| AF
10、| |AF| =2a, | AF| =3|AE| , .|AFi = 3a, |AE|=a,且|FiF2|=2c. RtAAFF 中(3 a)2+ a2= (2 c)2_ 2- 2，5a =2c ,e=a= V.（理）设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂 直，那么此双曲线的离心率为（B. 3A. 2C.3+12D.#+ 1-2-答案D解析如图，设双曲线方程为x2 5=1, a b，F点坐标为（、a2+b2, 0）, B点坐标为（0, b）,渐近线方程为，kBF b f=-1 ab b即拜b2 . a=Ta2 + b = b2,即 ac= c2-a2,
11、c c二 i-1 = 0, a a即 e2e1 = 0,1+ 5-1- .5 .e=-2-或 e=-2（舍去）e=11 t5,故选 D.3. (2011 全国大纲卷理,二、填空题=1的左、右焦点，点A在双15)已知R、E分别为双曲线C:不 力9 2 7曲线C上，点M的坐标为(2,0)AMJ /F1AE的平分线，则| AF| =答案6解析本小题考查的内容是双曲线的定义与三角形角平分线定理的应用.如图，Fi( -6,0) , F2(6,0),由三角形角平分线定理知,|AF| |FiM|AE| | MF又| AF| |AF| =2a= 6,，|AF!|=6.4 .在AB外,BC= 2AB/ABe12
12、0。，则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率是分析先根据余弦定理用AB BC表示AC再根据双曲线的定义和离心率的概念求解.2+ 7答案3解析 设 AB= 2c( c0),则 BC= 4c ,根据余弦定理 AC =y 2c 2+ 4c 2 2X2cX4cXcos120 =2/7c,根据双曲线定义，2a=AC-BC= 2y7c4c,故 c2c该双曲线的离心率3=2a2c12+ 72；,7c4c 7 23三、解答题5 .已知双曲线的渐近线方程为2x3y = 0.(1)若双曲线经过R#, 2),求双曲线方程；(2)若双曲线的焦距是2次，求双曲线方程；(3)若双曲线顶点间的距离是6,求双曲线方程.解析
13、由双曲线的渐近线方程为y=2x,可设双曲线方程为X 39(1) .双曲线过点R乖,2),6 2 2194=入，入=3,故所求双曲线方程为3y2-3x2= 1.(2)若入 0,则 a2 = 9入，b2=4入,c2=a2+ b2=13入,由题设 2c= 2、/13,，入=1,所求双曲线方程为弓一y2=1.9 4若入 , y1), Rx2, v2在双曲线上，且线段AB勺中点为(x。，y。)，=4入，b2=9入，c2=a2+ b2=13入，由 2c= 2炉， 入=-1.所求双曲线方程为y23= 1.4 9综上可知所求双曲线方程为x-y-=1或13= 1.9 44 92x2 y2若入0,则a2 = 9入
14、，由题设2a=6, .入=1,所求双曲线方程为g4= 1.若入0, b0)的一条渐近线与抛物线y=x2 + 1只有一个公共点，求双曲 a b线的离心率.,消去y得x2 x .，x2y2乩 八, b 、T”y=1x,解析不妨设双曲线-2y2=1的一条渐近线为y= -x,由方程组彳aa baQ + 1b-x+1=0, a若直线l的斜率不存在，显然不符合题意.设经过点P的直线l的方程为y1 = k(x 1),即 y= kx+1k.kx+1-k,由 1 2y2得(2 -k2)x22k(1k)x (1 k)2 2 = 0(2 x-= 1,k2w0).x1+x2 k k x0 r-2 .22-kk k由题
15、意，得 2)/ =1,解得k=2.2当k= 2时，方程成为2x4x+3=0.A =16 24= -80)与直线l : x+ y=1相交于两个不同的点A B a(1)求双曲线C的离心率e的取值范围； 5(2)设直线l与y轴的交点为P,若PA= 12PB求a的值.2解析(1)将 y = x + 1 代入双曲线与一y2 = 1 中得(1 a2) x2 + 2a2x 2a2 = 0a1 a2w o 由题设条件知，%+ 8a2卜？q ,解得 0a , 2M aw 1,又双曲线的离心率e；a = JO2+1,. 0a-2且 ew 2.(2)设A(xi, v), Ri, y2), R0,1). 5-PA=行
16、PB55，(x1, y1-1)=12(x2，y2-1). .x1=12x2,xi、x2是方程的两根，且1a2w0,一 2一 2.17 _2a5 2_ 2a一谈=i?，12x2=i?，、， 口2a2 289消去 x2得，-1-a2= eo5,. a0,，a=.132222E,设P是它们_x yx y(理)已知椭圆a2+b2=1(aib0)与双曲线原一b2=1(a20,加0)有公共焦点R、的一个交点.(1)试用bi, b2表示FiPE的面积；(2)当bi + b2=mn0)是常数时，求FiPF的面积的最大值.解析(i)如图所示，令/FiPE=e.因 | FiF2| =2c,则 a2bi= a2+b
17、2=c2.即 ai a2= b2+b2由椭圆、双曲线定义，得| PF|+|PF| =2ai, |PF| | PF| =2%(令|PF| PE|),所以| PF| =a+&, |PF| =ai%|PF|2 + |PE|2一4c2cos 0 =-2|PF| |PE|ai + a2 2+ a a 22 a2bi 2 a2+b2=TTOb2-b2 b2-b2=-22=272.ai-a2 bi+b2所以sin2bib27-2 T2bi + b2一,i所以 SAFJF = 2| PF| |PF|sin 0_1 22、2bib2一 2( a1a2)b2+b 一 bib2(2)当bi + b2=mn0)为常数时 必 F1PF=blb2(b)2 = m,2所以好面积的最大值为m