《圆》章的节的知识点地总结.pdf

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1、实用标准文档 精彩文案 圆章节知识点 一、圆的概念 1. 平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中， 定点称为圆心， 定长称 为半径，以点为圆心的圆记作“” ，读作“圆” 。 2. 确定圆的基本条件： （1） 、圆心：定位置，具有唯一性，（2） 、半径：定大小。 3. 半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合。 4. 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径 ，圆上任意两点间的部分叫 做圆弧 ，简称 弧，弧用符号“”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧 ， 每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧 ， 小于半圆的弧称为劣弧 。 在同圆或等圆 中， 能

2、过重合的两条弧叫做等弧 。理解 ：弧在圆上，弦在圆及圆上：弧为曲线形，弦为直线形。 5. 不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。 6. 三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的 圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的 外心 ，这个三角形叫做这个圆的内接三 角形。 与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角 平分线的交点，叫做三角形的 内心 。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个 角的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角。 （补充 ）圆的集合概念 1 、圆可以看作是到定点的

3、距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫 中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离 都相等的一条直线。 实用标准文档 精彩文案 二、点与圆的

4、位置关系 点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d 与半径 r 的大小关系决定的。 1、点在圆内dr点C在圆内； 2、点在圆上dr点B在圆上； 3、点在圆外dr点A在圆外； 解题注意点和圆的位置不确定性。 圆的对称性 圆是轴对称图形，他有无数条对称轴，每一条过圆心的直线都是他的对称轴。圆是以圆心为 对称中心的中心对称图形，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性 质叫做圆的旋转不变性。圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 三、直线与圆的位置关系：相交，相切，相离 如果圆 O 的半径为 r，圆心 O 到直线l的距离为 d，那么： 1、直线与圆相离dr无交点 ； 2、直线与圆相切d

5、r有一个交点； 3、直线与圆相交dr有两个交点； d r d=r r d 四、圆与圆的位置关系 设两圆半径分别为R 和 r，圆心距为d，那么： 外离（图1）无交点dRr； 外切（图2）有一个交点dRr； 相交（图3）有两个交点RrdRr； 内切（图4）有一个交点dRr； 内含（图5）无交点dRr； 图1 r R d 图 3 rR d r d d C B A O 图 2 r R d 实用标准文档 精彩文案 五、垂径定理（非常重要） 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1： （1）平分弦（ 不是直径 ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且

6、平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即 可推出其它3 个结论，即： AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD 中任意 2 个条件推出其他3 个结论。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD 弧AC弧BD 解题技巧： 在圆中， 解有关弦的问题时，常常需 要做“ 垂直于弦的直径”作为辅助线。 六、圆心角定理 顶点在圆心的角叫做圆心角 。圆心角的度数与他所对的弧的度数相等。 圆心角定理：在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弦相

7、等，所对的 弧相等，弦心距相等。此定理也称1 推 3 定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：AOBDOE；ABDE； OCOF；弧BA弧BD 七、圆周角定理 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 。 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的度数）的一半。 图4 r R d 图 5 r R d O E D C B A O C D A B F E D C B A O 实用标准文档 精彩文案 即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 2AOBACB 2、圆周角定理的推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中

8、，相等的圆 周角所对的弧是等弧； 即：在O中，C、D都是所对的圆周角 CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是 半圆，所对的弦是直径。 即：在O中，AB是直径或90C 90CAB是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形。 即：在ABC中，OCOAOB ABC是直角三角形或90C 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 的逆定理。 注：忽略一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角边有两种不同的角。 八、圆内接四边形 一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边

9、形， 这个圆叫做多边形的外接圆。 圆的内接四边形定理 ：圆的内接四边形的对角互补。 推论 ：圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角。 即：在O中， 四边形ABCD是内接四边形 180CBAD180BD DAEC D C B A O C BA O C BA O E D C B A C B A O 实用标准文档 精彩文案 九、切线的性质与判定定理 直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点 叫做切点。 （1） 切线的判定定理： 过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的

10、切线 （2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线，通常叙述为：“见切点连半径 得垂直 ” 。解决与圆的切线有关的问题时，常需要补充的线是作过切点的半径。 九、切线长定理 在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 。 切线长 定理 ：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这一点的连线平 分

11、两条切线的夹角。 即：PA、PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA 十一、圆幂定理 （1）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在O中，弦AB、CD相交于点P， PA PBPC PD （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成 的两条线段的比例中项。 即：在O中，直径ABCD， NM A O P B A O P O D C B A OE D C B A 实用标准文档 精彩文案 2 CEAE BE （3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项。 即：在O中，PA是切线，PB是割线 2 PAPC

12、PB （4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到 每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在O中，PB、PE是割线 PC PBPD PE 十二、两圆公共弦定理 两圆相切时， 连心线必过切点，这一性质是由圆的对称性决定，两个圆组成的图形是轴对称 图形，对称轴是经过两圆圆心的直线。 圆公共弦 定理 ：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 如图： 12 OO垂直平分AB。 即： 1 O、 2 O相交于A、B两点 12 OO垂直平分AB 注：两圆相交时，依照两圆圆心和公共弦的位置，可分为两种情况：两圆圆心在公共弦同 侧， 两圆圆心在公共弦异侧。 十三、圆的公切线 两圆公切线

13、长的计算公式： （1）公切线长： 12 RtO O C 中， 2222 1122 ABCOOOCO； （2）外公切线长： 2 CO是半径之差；内公切线长： 2 CO是半径之和。 十四、圆内正多边形的计算 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形 。 把一个圆分成相等的弧，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫 做正多边形的外接圆。经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆 D E C B P A O B A O1 O2 C O2 O1 B A 实用标准文档 精彩文案 的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆。 正多边形的外接圆（或内切圆） 的圆心叫做正多边形

14、的中心 。正多边形外接圆的半径叫做正 多边形的 半径 。正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角 ，正多边形内 切圆半径叫做正多边形的边心距 。 正 n 边形的半径R 与边心距r 把正 n 边形分成2n 个全等的直角三角形。 00 n 0 222 n nn 360180 =a =2sin; n 1801 cos;(a ) ;Ca ; 2 11 =an=C. 22 n nnn n nn R n rRRrn n Srr 关系式：中心角；边长 边心距周长 面积 （1）正三角形 在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行： :1:3 : 2ODBDOB； （2）正四边形 同 理

15、 ， 四 边 形 的 有 关 计 算 在RtO A E中 进 行 ， :1 : 1 :2O EA EO A： （3）正六边形 同 理 ， 六 边 形 的 有 关 计 算 在R tO A B中 进 行 ， :1:3: 2AB OB OA. D C B A O E CB AD O B A O 实用标准文档 精彩文案 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式： 180 n R l； （2）扇形面积公式： 2 1 3602 n R SlR n： 圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积 2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 2SSS 侧 表底 = 2 22rhr （2）圆柱的体积： 2 Vr h （2）圆锥侧面展开图 （1）S SS 侧表底 = 2 Rrr （2）圆锥的体积： 21 3 Vr h 补充： 圆中四心：外心：各边垂直平分线的交点 内心：各角角平分线的交点 垂心：各边高线的交点 重心：各边中线的交点 Sl B A O 母线长 底面圆周长 C1 D1 D C B A B1 R r C B A O