《2016-2017学年4-5比较法学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017学年4-5比较法学案.docx（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、精品资源数学人教B选修4-5第一章1.5.1 比较法课程自际二目洞HKENQ MU IMAD YJ!反 HANG”1 .理解和掌握比较法证明不等式的依据.2 .掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3 .通过学习比较法证明不等式，培养学生对转化思想的理解和应用.基础知识r JI CHU ZHI SHI SHU LI比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种作差比较法作商比较法定义要证明ab,只要证明.要证明avb,只要证明要证明ab0,只要证明.要证明ba0,只要 证明适用类型适用于特征的不等式的证明主要适用于形式的不等式证明【做一做 1】设m=a+2b, n=a+b2+1,则（）A .
2、m nB. m nC. mvnD. m0 时，aba1；当 b0 时，av b导且0, b0 时，aQa bbbb;当 ab0 时，a1 ab. bA.B.C.D.答案：1, a-b0 a- b1 b1具有多项式 积、商、哥、对数、根式 b a【做一做 1】D n m = b2+1 2b = （b 1）20, nm.【做一做2】A弁赔内2-_ZHONG DIAN NAIM DIAN TU1 .用作差比较法证明不等式的一般步骤是什么？剖析：用作差比较法证明不等式的一般步骤是：（1）作差：把不等式左、右两边作差，可以是左边减右边，也可以是右边减左边；（2）变形：把这个差变化为易于判断正负的形式，而
3、不必考虑差的值是多少，变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等；（3）判断差的符号：主要依据差的最后变形的结果来判断；（4）下结论：肯定所证明的不等式成立.2 .作商比较法中的符号问题如何解决？剖析：在作商比较法中，b 1=ba是不正确的，这与a, b的符号有关，比如若a, ab0,由a 1,可得b a,但若a, b1得出的是b木+木.分析：将不等式左边通分后，可以看到分子化为(ja)3+(加)3的形式，结合右边ga+yb 的形式，可考虑用作差比较法.反思：(i)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况
4、具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有 效的恒等变形的方法.(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时， 常用判别式 法判断符号.有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论.题型二用作商比较法证明不等式【例题 2】已知 abc0,求证：a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.分析：证明这类含哥指数乘积形式的不等式，往往通过作商与1比较大小来证明.反思：证明此题易出现在不讨论 ab+cbc+a ca+b0的前提下，就开始作商；或在未得到aa-b0,且b1的条件下，就得
5、出商大于1,这些都是解题不严谨的表现，解题时要注意这一点.一般地，要比较的两个解析式均为正值时，可利用作商的方法比较其大小，如果两个解析式均为负值时，可用同样的方法比较其绝对值的大小.题型三 比较法的实际应用【例题3】已知8千克胡萝卜和10千克白菜的价格小于 22元，而12千克胡萝卜和6 千克白菜的价格大于 24元，问2千克胡萝卜和3千克白菜的价格哪个更高些？分析：设每千克胡萝卜和每千克白菜的价格分别为a元和b元，根据条件列出 a, b间的关系式，比较 2a与3b的大小即可.反思：应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决.在实际应用不等关系问题时，常用
6、比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断.题型四易错辨析易错点：作差后对差式变形不恰当，使判断符号的过程含糊不清.【例题4】判断函数f(x) = x3在R上的单调性.错解：设 x1，X2 是 R 上的任意两个数，且 X1VX2,则 f(X2)f(X1)=x2x1= (X2X1)(X2 + X1X2 + x2).2 .,2_ X1VX2, (X2-X1)(X2+X1X2+X1)0,f(X2)f(X1). -f(x) = x3在R上为增函数.错因分析：在X1VX2时，X2X10,但X2+X1X2+X2的符号却含糊不清，因此需进rH少变形后再判断其符答案：【例题1】证明：证
7、法一：左边右边=(造鼠+( Vb)3-(y/a+Vb)*yab；ab(6 + Vb)(洞2 2向+ (Vb)2,ab(3 +蚀)(京-亚)2因为正+Vb0, /ab0,（加一班）2。 所以东+金（出+加）接，所以东+青月而 2- 2k；2+h 平+机证法二：左边右边=(a-b)(Va-Vb);ab(Va + Vb)(Va- Vb)2= 羸 *所以东【例题 2】证明：由 abc0,得 ac+bbc+aca+b0.所证不等式左边除以右边，得a2 a b2b c2caaaaEbbcCc。b+c bc+a a+b = abacbcbacacb a b ca aa C。 b。a c。-a J-b la
8、a_b la a_c lb b_c=犷 D V .2a b2b 2cb + c . c+ a a+b1， a b cc 1.- ab0, ,aAl, a-b0, . ja b1.a2ab2bc2cab+cbc+aca+【例题3】解：设每千克胡萝卜和每千克白菜的价格分别为a元和b元，则由题意，有8a+10b24,4a + 5b4.而 2a- 3b=所以2千克胡萝卜比【例题4】正解：设+ X1X2 + X2）5b) + 11(2a+b) 4x 11+11X 4= 0,所以 2a3b, 3333千克白菜的价格更高些.x1 , X2 是 R 上的任意两个数，且XiVX2,则 f(X2) f(Xl)=(
9、X2Xl)(X2=(X2 Xi)(X2+ 2X1)2+ 4X2. X2X1,X2 X1 0.若(X2+ 1X1)2+ 3X2=0,则X1=X2=0,不符合题意，1、2 , 3 2一(x2+ 2X1) + 4X1 0,(X2 X1)(X2+ -X1)2+ 4X2 0,f(X2)f(X1),f(x) = x3在R上为增函数.b SUI I A,叫G LIA?4 A1下列关系式中对任意A, a21aB.D.av bv 0的实数都成立的是（）lg b22已知a0,且aw 1P=loga(a3+1), Q=loga(a2+1),则 P, Q 的大小关系是()A. PQC. P=QB. PvQD.大小不确
10、定3已知a,b都是正数，P =近祥，Q=VO+b,则P, Q的大小关系是（）A. PQC. PQB. PvQD. PWQ4 若一1ab0,则 1 1 a b5(x+ 1)(x2-x+ 1)a2, b2中值最小的是(x 1)(x2 + x+ 1).1. B ,- ab0, .,.；- b0,a.(a)2(b)20, 一 22 b2即 a b 0. -.1,又 lg b2 lg a2= lglv lg 1 = 0 a12 2a( lg b2 1g a2.2. A P Q= loga(a3+1)loga(a2 +1)= loga3 + 1aa2+1当 0vav1 时，0va3+1va2+1,a3+1
11、a3+10_20,即 PQ0,P Q.32a + 1当 a1 时，a+1a+10,. 2+ 1,a3 + 1loga-0,即 P-Q0,PQ.3. D . a, b 都是正数，P0, Q0. .p2-q2=(a+b )2一(va-vb)2-0,P2-Q2 0, Pb2,故只需比较;与b2的大小.b20, ；0, .;(x+ 1)(x2x+ 1) (x- 1)(x2+ x+ 1) = x3+ 1 (x3 1)= 20,故(x+ 1)(x2-x+ 1) (x 1)(x2+x+ 1).优优作业UUi11当x1时，不等式x+之a恒成立，则实数 a的取值范围是()x -1A. ( 8, 2B. 2, +
12、8)C. 3, +8 )D. ( 8, 3答案：D -. x1, x- 10,.-. x += (x-1)+1 2J(x-1)x +1=3,x-1x-1. x-1当且仅当x= 2时等号成立.-.a3.2 设 a= sin 15 平 cos 152；a b ,A. a bC. b a22.2a b2b= sin 16 平 cos2, aB. a b 一16 ,0则下列各不等式正确的是(b2答案：Ba= sin 1522.2,a bD. b ab=&sin 60叫 &sin 61 = 73sin 61 72sin 61=b ,故 avb22；a b 4、2x(x R )； a5+b5a3b2+a2
13、b3(a, bCR )； a2+b22(ab-1).其中正确的个数为()A. 0 B. 1C. 2D. 3答案：C x2+3 2x=(x1)2+20,故正确.取 a=b=1,则 a5+b5=2, a3b2+a2b3=2,故不正确. a2+b22(a b1)=(a 1)2+(b+1)2 0,故正确.4若a b0,则下列各式中恒成立的是()2a b aA . a 2b b1,1C. a + b +-b2 1B.a2 1D. aaab答案：B利用不等式的性质可知，11.一，, 一当ab0时，一父一，由此可知选项a bC不恒成立.当0vav1, ab时，可有aavab,所以选项D不成立.选取适当的特殊
14、值，若-2a b可有a 2b,a =2 ,由此可知选项 A不成 b立.故选B.5比较大小:答案:2a1 a2a1 a2(1-a)1 a21.2Y0,6已知abc,贝U J(ab)(bc)与- -27 工 1 .1 a2ac的大小关系是2答案:J(a -b)(b -c) bc,2 * a b0)b c0,7(a-b)(b-c)Ea-b；b-c=T，当且仅当ab=bc0时等号成立.7已知a, b C (0, +oo )，且aw b, a2+b2 =1，则ab与a2b2的大小关系是 .4答案：aba2b2a, b(0, + 8),. 1二a2 + b- = a2 + |1 b 至 2a 1 b=ab
15、 ,422当且仅当a=1b ,即2=，b=J2时等号成立.22-0ab0,-1 ab a2b2 = ab(1 ab)0,aba2b2.8设实数a, b, c满足等式b+c= 64a+3a；cb = 44a+a2,试确定a, b, c 的大小关系.答案：解：由c b=(a-2)20,知 Ob.由一，得b= a2+ 1.2,1、23_- b a=a a+1=(a-)十一 0.24ba.故 c ba.9某人乘出租车从 A地到B地，有两种方案.第一种方案：乘起步价为 10元，每千米1.2元的出租车；第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车.按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的
16、路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？答案：解：设从A地到B地的距离为m千米，起步价内行驶的路程为a千米.显然当mw a时，选起步价为 8元的出租车比较合适，即选择第二种方案比较合适.当ma时，设m= a+x(x0),乘坐起步价为10元的出租车的费用为 P(x)元，乘坐起 步价为8元的出租车的费用为 Q(x)元，则P(x) = 10+1.2x,Q(x)=8+ 1.4x.P(x) Q(x) = 2- 0.2x= 0.2(10 x),.当x10时，P(x)v Q(x),此时选择起步价为10元的出租车较为合适，即选择第一种方案比较合适；当xv 10时，P(x)Q(x),此时选择起步价为 8元的出租车较为合适，即选择第二种方 案比较合适；当x=10时，P(x)=Q(x),两种方案任选，费用相同.