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1、第一章归纳与总结二知识点总结【正弦定理】a b c1 .正弦定理：= =2R( R为三角形外接圆的半径).sin Asin BsinC2 .正弦定理的一些变式:(i a :b :c =sin A :sin B :sinC ；abii sin A ,sin B ,sin C2R2R(iii 户=2Rsin Ab=2RsinB,b = 2RsinC；(4)a b csin A sin B sinC二2R3 .两类正弦定理解三角形的问题：(1)已知两角和任意一边，求其他的两边及一角(2)已知两边和其中一边的对角，求其他边角.(可能有一解，两解，无解)4 .在AABC中，已知a,b及A时，解得情况：解
2、法一：利用正弦定理计算A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解解法【余弦定理】1.余弦定理:r 2. 2 ,2 一.-a =b +c -2bccosA b2 =a2 c2 -2accosB c2 =b2 +a2 -2bacosC,222八 b c -acos A =2bc2.推论:cos B 二2ac,2 .22b a -c cosC =2ab设a、b、c是以AB C的角A、B、C的对边，则：若 a2 +b2 =c2,贝U C =90二；若 a2 +b2 c2,贝U C 90二；若 a2 +b2 90=.3 .两类余弦定理解三角形的问题：(1)已知三边求三角.(2)已知两边
3、和他们的夹角，求第三边和其他两角【面积公式】已知三角形的三边为 a,b,c,1 . S =aha =absinC =2r(a+b+c)(其中r为三角形内切圆半径)1 ,2 .设 p =2(a +b + 8, S = q p( p a)( p b)( p c)(海伦公式)【三角形中的常见结论】(1) A + B+C= n(2) sin(A + B) =sinC, cos(A + B) =-cosC, tan(A+B) =-tanC,.AB sin=cosC, c0sA t B22.C=sin一 ; sin 2A = 2sin A cosA, 2(3)若 AaBaC= ab:c= sin A si
4、n B sinC若 sin A sin B sinC = a b c= A B C(大边对大角，小边对小角)(4)三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(5)三角形中最大角大于等于 60 :最小角小于等于 60二(6)锐角三角形 u 三内角都是锐角 u三内角的余弦值为正值u 任两角和都是钝角 u 任意两边的平方 和大于第三边的平方.钝角三角形U最大角是钝角U最大角的余弦值为负值(7) AABC中，A,B,C成等差数列的充要条件是 B =60 1 .j*irj-LTvj-j-.(8) AABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且 a,b,c成等比数列.I - 1 I I * r
5、i = I I 1 I I * I二、题型汇总题型11判定三角形形状】 判断三角形的类型(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.a2 =b2 92= A是直角匕；ABC直角三角形(2)在 MBC中，由余弦定理可知：a2 b2y2仁A是钝角u AAB提钝角三角形a2 ；b2-c2= A是锐角口.ZAB提锐角三角形(注意：A是锐角MBC锐角三角形)(3)若sin2A=sin2B,则 A=B或 A + B =二.2例 1.在 AABC 中，c = 2bcosA ,且(a + b + c)(a + b c) = 3ab,试判
6、断 A ABC 形状题型21解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边 a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例 2.在 MBC 中，a =1, b = J3, /A = 300,求 C 的值例3.在 MBC中，内角A, B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c = 2, C =二.3(I)若AABC的面积等于33 ,求a,b ；(n)若 sinC +sin(B - A) = 2sin2A ,求 AABC 的面积.题型31证明等式成立】证明等式成立的方法：(1)左二右，(2)右二 左，(3)左右互相推.例4.已知AABC中，角 A,B,C的对边分别为a,b,c，求证：a = bcosC ccosB .题型4【解三角形在实际中的应用】仰角 俯角 方向角 方位角 视角例5.如图所示，货轮在海上以 40 m/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140。的方向航行，为了确定船位，船在 B点 观测灯塔A的方位角为110。，航行半小时到达 C点观测灯塔A的方位角是65。， 则货轮到达C点时，与灯塔 A的距离是多少？