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1、第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛承 诺 书我们仔细阅读了第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的参赛报名号为： 036 参赛队员 (签名) ：队
2、员1： 谭鹏瑶 队员2： 欧燕青 队员3： 符建伟 武汉工业与应用数学学会第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛组委会第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛编 号 专 用 页选择的题号： B 参赛的编号： 036 （以下内容参赛队伍不需要填写） 竞赛评阅编号： 第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛题目：免费自行车交通系统服务网点布局规划【摘 要】 本文主要为了解决题目提出的如何选择网点和网点车辆如何分配才能最大可能方便居民的问题。根据题目要求我们以用户的满意度和自行车使用率作为评判标准。只有在用户满意下自行车的使用率越大模型越合理。怎样处理好网点分配选择，
3、车辆分布，人口密度，区域面积之间的关系是解决本问题的关键。（1）网点的分布：由于网点的服务范围是有限的，为了各大程度的方便居民，则必须保证网点服务能够更大的，有效的，合理的覆盖整个城区。网点的服务范围跟网点规模，地段的选择，人数的配置等众多因素有关。因此为了简化问题，我们根据社区与其他区域面积之比作为分配网点的标准。而其他区域中存在人流量比较大的超市和地铁。因此对于其他地区的网点分配。我们必需考虑超市和地铁的影响。假设超市和地铁的影响面积为1平方公里。我们可以求出其高峰时期的人口密度。根据地铁，超市。其他区域的人口密度之比,分配其网点（包含在社区内的地铁和超市不另作考虑）（2）车辆的配置：自行
4、车的配置跟网点范围内的人口密度有关。假设人流量是一定的，居民租用自行车的概率为一定值设为k。而网点的作用域为圆形，设半径为a。网点配置的车辆数=网点人口密度*网点作用面积*租车率*比例系数.（如果网点附近有人流量比较集中的超市，地铁站等其人口密度必然受其影响.。设p1为网点附（500m-700m）超市的数量,p2为网点附近（500m-700m）地铁站的数量。P3为网点附近（500m-700m）社区的数量。则网点人口密度=（超市的人口密度*p1+地铁的人口密度*p2+社区的人口密度*p3）*比例系数。）根据各个网点车辆数=总车辆数。可大致求出各个网点车辆的分配数量。最后，我们从模型所用思想方法的
5、科学性，以及结果的合理性两方面进行了讨论。 一.问题重述 某城区推行免费公共自行车服务，已知地区基本信息如下（如图所示） 此城区现有人口15 万，地域面积约22.9平方公里(如图长4.68公里，高4.89公里)，含两座小山和一个湖泊（如图）。已知规划中的地铁站有5个，图上AE点，预计高峰时间人流量在4000-5000人/站，其余时间10002000人/站。大型社区有两个，社区C有1.4万人，社区C有2.8万人，其余地区，除山地、湖泊和河流区域外，可以认为人口是均衡分布的。大型超市有三个，预计高峰时间人流量在3000人/座，其余时间1000人/座。现建设网点依据有限时间内免费租赁，随处借还的原则
6、，最大可能方便居民使用，应优先考虑交通枢纽和地点人流量，根据现实中调查可以推断：早晨在社区周边的网点车辆数较多，下午下班时在地铁站和超市附近网点的车辆数较多。十字路口的人流量一般较大。网点之间的距离一般控制在300米1000米之间。 目前该地区现有17个网点，600辆免费自行车，统计车辆数如下表所示编号上午7:00车辆数下午5:30车辆数17070260903403043010530106301075045830109307010301011302012308013201014506015201016205173060请你解决以下问题：1. 设定一个评价标准来衡量现有网点与车辆分布状况。2.
7、在规划中要在图中增加到100个网点和3600辆车，如何决定网点位置跟每个网点的车辆数，才能使在你的评价指标下达到最优。3. 但目前市政资金有限，只能拿出110万元左右，已知建设一个网点需5000元，投入一辆自行车的成本约300元，现希望尽可能实现主要居民区网点平均间距500米的公共交通体系，并最大程度服务居民，则需要在此地区建立多少个，如何分布网点并确定每个网点的车辆数。二问题分析根据题目要求我们以用户的满意度和自行车使用率作为评判标准。只有在用户满意下自行车的使用率越大模型越合理。用户的满意度和区域内人口分布，网点距离，网点自行车的数量等有关。根据合理假设我们得出：（1）网点的分布：由于网点
8、的服务范围是有限的，为了各大程度的方便居民，则必须保证网点服务能够更大的，有效的，合理的覆盖整个城区。网点的服务范围跟网点规模，地段的选择，人数的配置等众多因素有关。因此为了简化问题，我们根据社区与其他区域面积之比作为分配网点的标准。而其他区域中存在人流量比较大的超市和地铁。因此对于其他地区的网点分配。我们必需考虑超市和地铁的影响。假设超市和地铁的影响面积为1平方公里。我们可以求出其高峰时期的人口密度。根据地铁，超市。其他区域的人口密度之比。分配其网点（包含在社区内的地铁和超市不另作考虑）（2）车辆的配置：自行车的配置跟网点范围内的人口密度有关。假设居民租用自行车的概率为一定值设为k。而网点的
9、作用域为圆形，设半径为a。网点配置的车辆数=网点人口密度*网点作用面积*租车率*比例系数.（如果网点附近有人流量比较集中的超市，地铁站等其人口密度必然受其影响.。设p1为网点附（500m-700m）超市的数量,p2为网点附近（500m-700m）地铁站的数量。P3为网点附近（500m-700m）社区的数量。则网点人口密度=（超市的人口密度*p1+地铁的人口密度*p2+社区的人口密度*p3）*比例系数。）根据各个网点车辆数=总车辆数。可大致求出各个网点车辆的分配数量。三基本假设 1设湖泊，山脉，河流的面积为一个定值且无人居住，约占总面积的5% 2假设人口流量基本不变，即不存在大面积人口变动 3研
10、究区域封闭，即假设不会有其他区域的自行车流入，本区域自行车也不会流出； 4公共自行车不会有被偷、损坏等意外情况发生5包括在小区内的地铁站，超市不另作考虑6假设商场，地铁站的影响面积为一平方公里 7网点的服务面积为圆形，设半径为a 四变量说明：R：社区C、C地区以外的人口密度。R1: 社区C内的人口密度。R2: 社区C内的人口密度。xA：地铁站A周边的网点的总车辆数。xB：地铁站B周边的网点的车辆数。xC：地铁站C周边的网点的车辆数。xD：地铁站D周边的网点的车辆数。xE：地铁站E周边的网点的车辆数。x1分别为S1这三座超市周边网点的总车辆数。x2分别为S2这三座超市周边网点的总车辆数。x3分别
11、为S3这三座超市周边网点的总车辆数。P1：为各车站早高峰小时进站客流量，五模型的建立和求解问题（1）根据人口密度；人口密度p=人口/区域面积。据图上测得C1的面积约等于1.69（平方千米），人口为1.4万， C2的面积约等于3.4（平方千米），人口为2.8万 其他地区的面积除去湖泊，河流，山脉大约为16.66（平方千米）人口10.8万。 则社区C1的人口密度 R1=1.4/1.69=0.83(万人/平方公里) 社区C2的人口密度 R2=2.8/3.4=0.82(万人/平方公里) 其他地区的人口密度 R=10.8/16.66=0.64(万人/平方公里) 地铁站的最大人口密度 P4=0.5(万人/
12、平方公里) 超市的最大人口密度 P5=0.3(万人/平方公里)社区C1的面积：社区C2的面积：其他地区的面积=1.69:3.4:16.66=1:2.01:9.85第一问中总共有17个网点则按比例先分配且取整可得，C，和其他地区的网点数比例分别为1.30:2.61:12.81。 因为题目重点是要满足社区居民的需求，根据重点满足社区居民要求的原则.所以其比例应该为2:3:12。 因此现有网点分布不合理再从现有网点的车辆数据考虑，早上社区周边网点存车量基本可以满足市民，由于下午下班时在地铁站和超市附近的人口集中，市民对自行车的需求量大，从现有数据来看，其周边网点的自行车数量存在着不足，例如网点4、5
13、、8、10我们可以很容易得出结论：下午的各网点车辆数的分配也不合理。因此在我们所提供的标准下现有网点分布及车辆配置均不合理。问题（2）社区C1的面积：社区C2的面积：其他地区的面积=1.69:3.4:16.66=1:2.01:9.85现有100个网点则C，和其他地区附近的网点数的比例=7.77:15:55:76.67按照优先满足社区居民的原则其比例=8；16；76因为其他区域中包含超市，地铁，则根据其人口密度具体考虑其他区域的网点的分配超市的人口密度：商场的人口密度：其他地区的人口密度=3:5:6.4网点分布之比=15.83:26.38:33.7716：28:33（根据优先满足人流量较大地区的
14、原则）则在其他地区分布在地铁站附近的网点为28个在其他地区分布在超市附近的网点为16个其他地区的另外地区网点为33个再根据人口密度。C1的人口密度：C2的人口密度：超市的人口密度：地铁站的人口密度：其他地区的人口密度=0.83:0.82:0.64：0.3:0.5之比来分配其附近的车辆数.其车辆数之比=966.99:955.33:745.63:349.51:582.52967:955：746:349:583综上所述：c1社区网点个数=8。车辆数=967 C2社区网点个数=16。车辆数=955 超市附近网点数=16。车辆数=349 地铁附近网点数=28。车辆数=583 其他地区网点数=33。车辆数
15、=7463问题三本问是一个线性规划问题，设兴建自行车网点x个，购进自行车y辆，要求最大程度服务居民，即自行车的数量最大。另假设每个网点规模一样，最大的容车量为100辆/个，市民每天对自行车的需求率为定值k。根据题目要求列出以下不等式:Max y；0.5x+0.03y=y;0x110/0.5;0y=y;根据实际情况求解得，y的最大值为3100，对应的x值为31；根据第二问。社区C1的面积：社区C2的面积：其他地区的面积=1:2.01:9.85现有31个网点则C，和其他地区附近的网点数的比例=2.4:4.08:23.74按照优先满足社区居民的原则其比例=3；5；23超市的人口密度：商场的人口密度：
16、其他地区的人口密度=3:5:6.4网点分布之比=4.79:7.98：10.225：8:10（根据优先满足人流量较大地区的原则）则在其他地区分布在地铁站附近的网点为5个在其他地区分布在超市附近的网点为8个其他地区的另外地区网点为10个再根据人口密度。C1的人口密度：C2的人口密度：超市的人口密度：地铁站的人口密度：其他地区的人口密度=0.83:0.82:0.64：0.3:0.5之比来分配其附近的车辆数.其车辆数之比=806.58:798.86:621.94:291.53:485.89综上所述：c1社区网点个数=3。车辆数=807 C2社区网点个数=5。车辆数=799 超市附近网点数=5。车辆数=
17、622 地铁附近网点数=8。车辆数=291 其他地区网点数=10。车辆数=486六、模型总结该模型较好的处理了网点设置与自行车分配的问题，从问题分析到模型假设及问题求解都把握了自行车分配怎样使人们满意的角度来考虑，由于知识水平有限，在模型的计算中一些粗糙的计算影响了数据的精确度在一百个网点的选择过程中没有具体到图上去，只是大致的得出来一些分配的方法而已，因此还有待改进与修改。七、参考文献【1】数学建模 刘锋 南京大学出版社 2005年【2】数学模型与数学建模 陈汝栋、于延荣 国防工业出版社 2006年【3】数学模型实用教程 费培之 四川大学出版社 1998年【4】数学模型（第三版） 姜启源、谢金星、叶俊 高等教育出版社 2003年参考新闻：杭州市将设50个服务点投放2000辆自行车http:/