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1、 1、如图所示在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DFEC交BC延长线于F求证：四边形EBFD是等腰梯形因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以EDBF此外，还要证明（1）EB=DF；（2）EB不平行于DF解答：证明：E，D是ABC的边AB，AC的中点，EDBFDFEC，ECFD是平行四边形，EC=DFE是RtABC斜边AB上的中点，EC=EBEB=DF假设EBDF，ECDF，ECEB，这与EC与EB交于E矛盾，EB不平行于DFEBFD是等腰梯形2、如图所示ABCD是梯形，ADBC，ADBC，AB=AC且ABAC，BD=BC，AC，BD交于O求BCD的度数由于B
2、CD是等腰三角形，若能确定顶点CBD的度数，则底角BCD可求由等腰RtABC可求知斜边BC（即BD）的长又梯形的高，即RtABC斜边上的中线也可求出通过添辅助线可构造直角三角形，求出BCD的度数解答：解：过D作DEEC于E，则DE的长度即为等腰RtABC斜边上的高AF，设AB=a，由于ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF2+BF2=AB2，即2AF2=a2（AF=BF），AF2= ，DE2= ，又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，由于BC=DB，在RtBED中， = = = ， = ，从而EBD=30（直角三角形中30角的对边等于斜边一半定理的逆定理）在CBD中， 3、如图所示直
3、角梯形ABCD中，ADBC，A=90，ADC=135，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M求证：AD=BF由MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC由ADBC及ADC=135知，C=45，从而NDC=45，DNC=90，所以ABND是矩形，进而推知BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF解答：解：证明：连接DN，N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，ND=NC已知ADBC及ADC=135，C=45，NDC=45（等腰三角形性质）在NDC中，DNC=90（三角形内角和定理），ABND是矩形，AFND，F=DNM=45BNF是一个含有锐角45的直角三角形，BN=BF，已证得AD
4、=BN，AD=BF4、如图所示直角梯形ABCD中，C=90，ADBC，AD+BC=AB，E是CD的中点若AD=2，BC=8，求ABE的面积取腰AB的中点F，连接EF，利用梯形的中位线性质可得EF= （AD+BC）=5，且EFAD，过A作AGBC于G，交EF于H，则AH，GH分别是AEF与BEF的高，根据勾股定理可求出AG的长，这样SABE=（SAEF+SBEF）可求解答：解：取AB中点F，连接EF由梯形中位线性质知EFAD，过A作AGBC于G，交EF于H由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF在RtABG中，由勾股定理知：AG2=AB2-BG2=（AD+BC）2-（BC-AD
5、）2=102-62=82，AG=8，从而AH=GH=4，SABE=SAEF+SBEF= EFAH+ EFGH= EF（AH+GH）= EFAG= 58=205、如图所示四边形ABCF中，ABDF，1=2，AC=DF，FCAD（1）求证：ADCF是等腰梯形；（2）若ADC的周长为16厘米（cm），AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四边形ADCF的周长（1）欲证ADCF是等腰梯形，归结为证明ADCF，AF=DC，不要忘了还需证明AF不平行于DC利用已知相等的要素，应从全等三角形下手（2）计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能将ADC的周长过渡到梯形的周长解答：解：（1）
6、ABDF1=31=22=3EA=EDAC=DFEC=EFEAD及ECF均是等腰三角形AED=CEF3=4ADCFFCADAC=DF，2=3，AD=ADACDDFA（SAS）AF=DCADCF，FCAD，AF=DC四边形ADCF是等腰梯形（2）ADC的周长=AD+DC+AC=16（厘米），AF=3（厘米），FC=AC-3四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF=AD+DC+（AC-3）+AF=（AD+DC+AC）-3+3=16（厘米）四边形ADCF的周长为16厘米6、如图所示等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=CB，对角线AC与BD交于O，ACD=60，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中
7、点求证：PQS是等边三角形由于梯形ABCD是等腰梯形ACD=60，可知OCD与OAB均为等边三角形连接CS，BP根据等边三角形的性质可知BCS与BPC为直角三角形，再利用直角三角形的性质可知QS=BP= BC，由中位线定理可知，QS=BP=PS= BC，故PQS是等边三角形解答：证明：连CS，ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，AO=BO，CO=DOACD=60，OCD与OAB均为等边三角形S是OD的中点，CSDO在RtBSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，SQ= BC同理BPAC在RtBPC中，PQ= BC又SP是OAD的中位线，SP= AD= BCSP=PQ=SQ故SPQ为等
8、边三角形7、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=AB=DC，BDDC，求C的度数根据等腰梯形在同一底上的两个角相等得到C=ABC根据ADBC，AD=AB得到ABD=CBD，进一步得到C=2BCD，再根据直角三角形的两个锐角互余进行计算解答：解：设CBD=xADBC，ADB=CBDAD=ABABD=ADBABC=2CBD=2x又AB=DC，C=ABC=2xBDDC，CBD+C=90即x+2x=90解得x=30C=608、如图所示梯形ABCD中，ADBC，AEDC交BC于E，ABE的周长=13厘米，AD=4厘米求梯形的周长根据ADBC，AEDC可得四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的对
9、边相等，即可求解解答：解：ADBC，AEDC，四边形AECD是平行四边形，AE=CD，AD=EC=4cm，又ABE的周长=AB+BE+AE=13cm，梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=AB+BE+CD+AD=AB+BE+AE+AD=13+4+4=21cm9、梯形ABCD中，ABCD，A+B=90，AB=p，CD=q，E，F分别为AB，CD的中点求EF过点F分别作FGAD，FHBC交AB于G，H，根据平行线的性质及三角形内角和定理可得FGH是直角三角形，由平行四边形的判定定理可知四边形ADGF、FHBC都是平行四边形，利用勾股定理可求出GH的长，再根据直角三角形的性质可求出EF的长解答
10、：解：过点F分别作FGAD，FHBC交AB于G，H，（如图）A=FGH，B=FHG，B+A=90，FGH+FHG=90，FGH是直角三角形，FGAD，FHBC，ABCD，四边形ADFG、FHBC都是平行四边形，又E、F分别是两底的中点，AE=EB，BH=AG，GE=EH，DF=AG= ，FC=HB= ，FG=AD，FH=BC，在RtEGH中，即EF是RtFGH斜边的中线，EF= GH= （AB-CD）= 10、如图所示梯形ABCD中，ADBC，M是腰DC的中点，MNAB于N，且MN=b，AB=a求梯形ABCD的面积延长AM交BC延长线上点G，过点G作GHNM，交NM的延长线上于点H，然后将梯形
11、ABCD的面积转化为梯形HGBN的面积，即可求解解答：解：延长AM交BC延长线上点G，过点G作GHNM，交NM的延长线上于点H，ADBC，M是DC中点，ADMGCM，AM=MG，即点M也是GA的中点，H=ANM=90，ABHG，点M也是GA的中点，ANMBHG，MN=MH=b，AN=HG，GH+BN=BN+AN=AB=a，梯形ABCD与梯形HGBN的面积相等，S梯形HGBN= （GH+BN）HN= a2b=ab，S梯形ABCD=ab11、已知：梯形ABCD中，DCAB，A=36，B=54，M，N分别是DC，AB的中点求证： MN=1/2(AB-CD)作DECB，根据已知条件求出ADE是直角三角形，再取AE中点F，连DF，求证DMNF是平行四边形，再根据DF是直角ADE斜边的中线，即可求得结论解答：证明：如图，作DECB，A=36，B=54，ADE是直角三角形，其中AE=AB-CD，ADE=90，取AE中点F，连DF，则 FN=AN-AF= AB/2- (AB/2-CD/2)= CD/2，FNDM且FN=DM，DMNF是平行四边形，DF=MN，DF是直角ADE斜边的中线，2DF=AE=AB-CD，2MN=AB-CD8随堂b