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1、智能优化训练 同步测控*1. (2011年高考安徽卷)双曲线2x2y2= 8的离心率是()A. 2B. 2y2C. 4D. 4市22,解析：选 C. = 2x2y2= 8? 4- y8-= 1 ?a2 = 4,又 a0,222,双曲线卷=1的焦点到渐近线的距离为()2a= 4.A. 25C. 3B. 222D. 1解析：选A.双曲线人一L=1的焦点为(4,0) (-4,0).渐近线方程为4 12y= W3x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等.223.若双曲线 #=1(b0)的渐近线方程为222解析：双曲线 3= 1的渐近线方程为41- 一y=与x,则b等于y2bb= 0,即
2、 y=燮(b0),b= 1.答案：14.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程: 双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(小,0);(2)双曲线过点(3,9/2),离心率e= M10.322解：(1)设双曲线方程为b2=1(a。，b0).由已知得 a= 丫3, c=2,再由 a2+ b2= c2,得 b2= 1.故双曲线C的方程为23-y2=1.2 10c2 10 、几 2(2)e=3，得？=-,设 a =9k(k0),则 c2 = 10k, b2=c2a2=k.于是，设所求双曲线方程为 xT+=1或七5=19k k 9k k把(3,9陋)代入，得k = 161与k0矛盾，无
3、解；把(3,9&)代入，得k = 9,故所求双曲线方程为f-x=1.819 课时|训练、选择题1.下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是2A.x- - y2=1 3 x22 dB4-y=12C- y2-3 = 1x2 y29 3 12y2-= 133x2-y2=1x 312 吟-y2=1.解析：选A.B中渐近线相同但 e不同；C中e相同，渐近线不同；D中e不同，渐近线相同.故 选A.2.若双曲线、一g=1（a0）的离心率为2,则a等于（）a 3A. 2D. 1c.22+3, c a-a2+33.双曲线与椭圆4x2+y2= 64有公共的焦点,A. y2-3x2=36C. 3y2-x2=36它们
4、的离心率互为倒数，则双曲线方程为（）B. x23y2=36D. 3x2-y2= 3622解析：选A.椭圆4x2+ y2= 64即x6+ 641,焦点为（0,珏/3）,离心率为乎，所以双曲线的焦点在y轴上，c=43, e=泉，所以a=6, b2=12,所以双曲线方程为4,双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（）y2-3x2= 36.1 A. -4B. -4C. 41 D.4解析：选A.由双曲线方程 mx2+y2=1,知m0, b0）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率3为（A. 24C.3解析：选B. 35 D.3D.依题意，2a+ 2c= 2 2ba2 + 2
5、ac+ c2= 4(c2 a2), 即 3c2-2ac-5a2 = 0,.,3e2-2e- 5=0, . e= 5或 e= 1（舍）.故选 D.3二、填空题7.若双曲线一m=i的渐近线方程为y= 3x,则双曲线的焦点坐标是解析：由渐近线方程为y=甘弓=x,得m=3, c=巾,且焦点在x轴上.答案：（即，0力2228,已知双曲线与一七=1的离心率为2,焦点与椭圆2+y=i的焦点相同，那么双曲线的 a b25 9焦点坐标为;渐近线方程为.解析：.双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，c=4.-1e= = 2,a= 2,b2= 12,b= 23.:焦点在x轴上，焦点坐标为（-4,0）,渐近线方程为y= ib
6、x, a即y= =Sj3x,化为一般式为 J3xiy=0.答案：（耳0）3与=09.与双曲线x25=1有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线的标准方程是 2解析：依题意设双曲线的方程为x2y= x江0）,4将点（2,2）代入求得 上3,22所以所求双曲线的标准方程为 x-y-= 1.3 12 22答案:11三、解答题 2210.求以椭圆 2+1= 1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双 16 9曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程.解：椭圆的焦点F1（一巾，0）, F2（5，0）,即为双曲线的顶点.双曲线的顶点和焦点在同一直线上，A2(4,0),所以 c= 4, a
7、=0, b0）的离心率与原点的距离为,2.3解：,e= -3a2 甘2 _4一a -3坐，求此双曲线的方程.a2 = 3b2 .c=23 a 3，又直线 AB的方程为bx-ay-ab = 0,小谭二邛，a +b即 4a2b2= 3(a2+ b2).解由组成方程组得a2= 3,双曲线方程为Xr-y3b2= 1,2= 1.12 .已知双曲线 C: 2x2y2=2与点P(1,2).求过点P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围，使l与C只有一个交点；(2)是否存在过点P的弦AB,使AB的中点为P?解：(1)设直线l的方程为y-2=k(x- 1),代入双曲线C的方程，整理得(2 k2)x2 + 2(k2
8、-2k)x- k2 + 4k 6 = 0(*)当2k2=0,即k=iJ2时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点.当2-k2，0时,令A= 0,得k=3.此时只有一个公共点.又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线x= 1上，而x=1为双曲线的一条切线.当k不存在时，直线与双曲线只有一个公共点.3综上所述，当k=冤2或k= 2或k不存在时，l与C只有一个父点.(2)借I设以P为中点的弦则由根与系数的关系，得这样的弦存在，方程为AB存在，设A(x1，y1)，B(x2, y2),则x1，x2是方程(*)的两根, 22(k-2)y=x+ 1( - 1 x 3),即 x- y+ 1= 0(- 1x3).