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1、2013年高考 理科数学试题解析（课标I）乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1 .已知集合 Ax|x2 2x 0 ,Bx| J5 x J5 ,则（）A.AAB=B.AU B=RC.B? AD.A? B2 .若复数z满足（3 4i）z |4 3i|,则z的虚部为（）A. 4 B. 4 C. 454D.533 .为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该 地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，
2、而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C按学段分层抽样D.系统抽样4.已知双曲线C :2x2a2yb20,b 0）的离心率为,则C的渐近线方程为211a. y ,x b. y x431C. y x2D. y x5.运行如下程序框图，如果输入的t 1,3,则输出s属于A. 3,4 b. 5,2C. 4,3 D. 2,56 .如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为（）20483D. - cm7.设等差数列
3、an的前n项和为Sn,Sm 12,Sm 0,Sm1A. 3B. 4C.5D.68.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9.设m为正整数,A. 5C. 16 16D.(x y)2m展开式的二项式系数的最大值为B.67b,则 mC.7)D.88 16a, (xy)2m 1展开式的二项式系数的最大值2x10.已知椭圆E : 2a0)的右焦点为F(3,0)的直线交椭圆于 A,B两点。若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为 (2 x A.452y362 x B. 362X 1272 x C.- 272y182 x D. 1811.已知函数f(x)ln(x2x, x 1),x0升，若 | f(
4、x)| ax, 0则a的取值范围是A.,0B.(,1C. 2,1 D. 2,012.设AnBnCn的三边长分别为an ,bn,cn 5AnBnCn 的面积为 Sn, n 1,2,3,L，若。c1,bi G2a1 ,ancn an1 an,bn 1, cn 12bnan2，则()A. Sn为递减数列C.Sn 1为递增数列，Sn为递减数列B. 0为递增数列D.Sn 1为递减数列，Sn为递增数列二.填空题：本大题共四小题，每小题13.已知两个单位向量a, b的夹角为605分。c= ta+(1 t)b,若 bc=0,则1=214.若数列an的前n项和为Sn= -an31-,则数列 an 的通项公式是a
5、n = 315.设当x 时，函数f(x)sin x 2cos x取得最大值，贝U cos2、， 216.右函数 f (x) = (1 x )(xax b)的图像关于直线x 2对称，则f(x)的最大值是.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分 12分)如图，在 ABC中，/ ABC= 90, AB=J3 , BC=1, 电 AB一点，/ BPC= 90PBA如图，三棱柱 ABC-ABiCi 中，CA=CB AB=A Ai, (I)证明 ABAiC；/ BA Ai =60 .(n)若平面 ABC平面AAiBiB, AB=CB=Z求直线AiC与平面BBGC所成角的正弦值。
6、4件作检验，这4件产品中优质品19 .(本小题满分i2分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取的件数记为no如果n=3,再从这批产品中任取 4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如 果n=4,再从这批产品中任取 i件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品 都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立(i)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为 i00元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需 的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望。20 .
7、(本小题满分i2分)已知圆M : (x i)2 y2 i,圆N : (x i)2 y2 9,动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(I )求C的方程；(n) l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A, B两点，当圆P的半径最长时, 求 |AB|.2x ,21 .(本小题满分共i2分)已知函数f(x) = x ax b , g(x) = e(cx d),若曲线y f(x)和曲线y g(x)都过点P(0, 2),且在点p处有相同的切线 y 4x 2(i)求a , b , c, d的值；(n)若 x 2时，f (x) 0,0w。v 2兀)。24 .(本小题满分10分)选修45
8、:不等式选讲已知函数 f(x) = |2x 1| 12x a|,g(x)=x 3.(I)当a=2时，求不等式f (x) v g(x)的解集；a 1(n)设a-1,且当x e - , 2)时，f (x) wg(x)，求a的取值范围.参考答案一、选择题1 .【解析】A=(-,0) U (2,+),AU B=R,故选 B.,.14 3il42 32(3 4i) 3 44 .2 .【解析】由题知 z = | = 3 (3 4i) =- - i ,故z的虚部为一，故选D.3 4i (3 4i)(3 4i)5 553 .【解析】因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是
9、按学段分层 抽样，故选C.55 c2 a2 b2b2 1 b子即4=丁丁丁a故选C.5 【解析】有题意知，当t 1,1)时，s 3t- -一 一，23,3),当 t 1,3时，s 4t t 3,4,输出s属于-3,4,故选A.6.【解析】设球的半径为R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为R-2,则22一2 .一.R (R 2)4 ,解得R=5, 球的体积为4535003cm ,故选A.37 【解析】有题意知sm=ma一am! =02a1=_ am(Sm-Sm1)=2,am 1 = Sm 1 - Sm =3 ,.公差 d =am 1- am=i3=am 1 =-2 m,
10、 m=5,故选 c.8.【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4 ,上边放一个长为 4宽为2高为2长方,，1 体，故其体积为222 4 4 2 2 = 16 8 ,故选A.9.【解析】由题知a = C2m, b=Cmm11,m m 113 C2m =7 C2m 1，即13 (2m)! _ 7 (2m 1)!m!m! (m 1)!m!10.2K2a解得m=6,【解析】设y2b2一得(K故选B.A(Xi,yi),B(X2,y2),贝UX1X2 =2y1Vyb2X2)(XX2)(y1y2)(y1v2b20,yy2 _b2(x1 x2) b2XiX222a (y1 V2 aAB
11、=3 1 2b22a2,又9=c22=a222b ,解彳b b =9, a =18,2 X 椭圆方程为181,故选D.11【解析】 |f(x)|=x2 2x,xln(x 1),x0，:由 | f (x)|0ax得,可得2x axx 2 ,则 a-2 ,排除A, B,a=1时,易证ln(x1)x对x 0恒成立，故a =1不适合,排除C,12. B13.【解析】bgc = b?ta2 1.(1 t)b=ta?b (1 t)b2 = 2t 1t=114 .【解析】, 一 _ 21当n=1 时，ai =S1= a1,解得 a1=1,332xaxln(x 1) ax故选D.1t=0, 2解得t = 2.
12、一_212122当 n 2时，an = SnSn1 = an-一(一 Hn1尸 一 anan333333n 1an是首项为1,公比为2的等比数列，an = ( 2).一、. c52 515 【解析】f(x)=sinx 2cosx=,5(sinxcosx)55令 cos =W，sin2 .5，贝|J f (x) = , 5(sin xcossin cosx) = . 5sin(x)，当 x=2k,k z,即x=2k 一 ,k z时，f (x)取最大值，此时22=2k ,k z,2cos =cos(2k 一 ) =sin2_5516 .【解析】由f (x)图像关于直线 x = -2对称，则0=f(
13、 1) f( 3)=1 ( 3)2( 3)2 3a b,0= f(1) f( 5) = 1 ( 5)2( 5)2 5a b,解得 a=8, b=15,f (x)=(1 x2)(x2 8x 15),7x 2)f (x)= 2x(x2 8x 15) (1 x2)(2x 8) = 4(x3 6x2=4(x 2)(x 25)( x 25)当 xc(g, 2 0,当 xc( 2 5,-2)U( 2 、仁+时，f(x)0,f(x)在(8,2J5)单调递增，在(2J5, 2)单调递减，在(2,2J5)单调递增，在(2V5,+00)单调递减，故当x= 275和乂=2J5时取极大值，f( 2 J5)=f( 2J
14、5) =16.17 .【解析】(I )由已知得，/ PBC=60o ,/ PBA=3(o ,在 PBA中，由余弦定理得PA2 = 3 2 3 - cos30o = ,pa=-；4242(n)设/PBA=，由已知得，PB=sin ，在 PBA中，由正弦定理得，3一sn，化简得，sin150osin(30o)3 cos4sintan = 3 ,tan PBA=318 【解析】(I)取 A/点E,连结CE, AB, A1EAE，AB, CA=CBC口 AB,. CEAE=e,AB,面 CEA ，AB AC ；(n)由(i)又面abcl面ABBA,面知 EC AB, EC面ABBA , ec EA,.
15、EA, EC, EA两两相互垂直,以e为坐标原点，EA的方向为x轴正方向,uuu| EA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz,有题设知A(1,0,0),A (0,. 3 ,0),C(0,0,. 3 ),B(uuur1,0,0),则 BC =(1,0, v3), BlB1=AA1=(-_uuur1,0, .3), A1C =(0,设n = (x, y,z)是平面CBBiCi的法向量,uur n?BC 则uurn?BB13z 0L ，可取3y 0-1 ),UUT皿 n?AC 10 cost n, A1C) =uuur ,|n|AC| 5直线AiC与平面BBCiC所成角的正弦值为_10
16、512分19 【解析】设第一次取出的4件产品中恰有B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件3件优质品为事件 A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有 E=(AB) U (CD),且AB与CD互斥,3 , 1、21(1)4 + (1)4 1=旦分 222 64 P(E尸P(AB)+P(CD尸P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C尸C4 (2) 一(n) X的可能取值为 400,500,800 ,并且3 , 1、3p(x=400)=i- C4(2)11 4 1113 1 3 1 1(-)=一，P(X=500)= 一，
17、P(X=800)= C4 (-)-=-,22161622 410分12分1 X的分布列为X400500800P11r 1r 1116164EX=400X H+500X X+800X 1=506.251616420 .【解析】由已知得圆 M的圆心为M (-1 , 0),半径r1 =1,圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设动圆P的圆心为 P (x, y),半径为R.(I).圆P与圆 M 外切且与圆 N 内切，|PM|+|PN尸(Rr1)(r2R) =r1r2=4,由椭圆的定义可知，曲线C是以m, N为左右焦点，场半轴长为 2,短半轴长为 J3的椭圆(左顶点除外1(x2).(n)对于曲线C上任
18、意一点 P (x,y ),由于 |PM|-|PN|=2R 22, . R0,即k 1,令 F (x) =0 得， = Ink, x2=2,2(1)右 1 k e ,则一2 x1 0,当 x ( 2,x1)时，F (x) 0,即 F (x)在(2?)单调递减，在(%,)单调递增，故F(x)在x = x1取最小值F(x1)，而 F(x1) = 2x1 2 x； 4x1 2= x1(x1 2) 0, .当 x2 时，F(x) 0,即 f(x)2 时，F (x) 0, F (x)在(2,+ s)单调递增，而 F( 2)=0, .当 x2 时，F(x) 0,即 f(x) kg(x)恒成立， 2222、(
19、3)若 k e ,则 F( 2)= 2ke 2= 2e (k e ) 2时，f (x) kg(x)不可能恒成立， . 2综上所述，k的取值范围为1, e .22 【解析】(I )连结DE,交BCW点G.由弦切角定理得，/ ABF=/ BCEABE=/ CBE, / CBE士 BCE BE=CE又DB, BE,.DEM直径，/ DCE=90,由勾股定理可得 DB=DC.(n)由(I)知，/ CDE力 BDE BD=DC 故 D爬BC勺中垂线，BG= 设DE中点为 0,连结 BQ 贝U/ BOG=60o , / ABE=/ BCE之 CBE=30o ,CF BF, RtA BCF勺外接圆半径等于_
20、3223.【解析】将x 4 5costcc消去参数t,化为普通方程(x 4)2 (y 5)2 25, y 5 5sintr 22x cos即 C1： x2 y2 8x 10y 16 0,将 y sin28 cos 10 sin 16 0,2C1的极坐标万程为8 cos 10 sin 1622(n) C2的普通方程为x y 2y 0,22xy8x 10y16 0 x1x0由解得 或x2y22y 0y1y2代入 x2 y2 8x 10y 16 0 得,0;, Ci与C2的交点的极坐标分别为(J2,一), (2,一).42|2x 2| x 3 0,1 x -21 x 2x 124.【解析】当a=-2时，不等式f(x)g(x)化为|2x 1|5x,设函数 y = |2x 1| |2x 2| x 3, y= x 2,3x 6,其图像如图所示 ifMl /)1从图像可知，当且仅当x (0,2)时，y0, .原不等式解集是 x|0 x 2.a 1(n)当 x c ，一)时，f (x) =1 a ,不等式 f (x) g(x)化为 1 a x 3 ,2 2a 1 x a 2对x 一，一)都成立，故22a的取值范围为（-1 , 4.3