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1、第六章第7讲眼时理更特调U：(时间：45分钟分值：100分)一、选择题1. 2013 深圳段考用数学归纳法证明 2nn2+1对于n no的正整数n都成立”时， 第一步证明中的起始值 no应取()A. 2B. 3C. 5D. 6答案：C *2.如果命题p(n)对n=k(kC N)成立，则它对n=k+2也成立.若p(n)对n = 2也成立， 则下列结论正确的是()A. p( n)对所有正整数n都成立B. p( n)对所有正偶数n都成立C. p(n)对所有正奇数n都成立D. p( n)对所有自然数n都成立答案：B解析：由题意n= k成立，则n=k+ 2也成立，又n=2时成立，则p(n)对所有正偶数都
2、成立.故选 B.3. 2013 三明模拟某个与正整数n有关的命题，如果当 n=k(nCN*, k1)时，该命 题成立，则一定可推得当n=k+1时，该命题也成立，现已知n= 5时，该命题不成立，则()A. n = 4时该命题成立B. n = 6时该命题成立C. n = 4时该命题不成立D. n = 6时该命题不成立答案：C解析：因为 当n= k(kC N, 21)时，该命题成立，则一定能推出当n=k+1时，该命题也成立，故可得n= 5时该命题不成立，则一定有 n=4时，该命题也不成立.故选 C. 111 13*4. 2013 杭州质检用数学归纳法证明不等式 + + 2n2, nCN)的过程中，由
3、n=k递推到n=k+1时不等式左边()一一 一 1A.增加了一项2一7B.增加了两项12k+112k+2C.增加了 B中两项但减少了一项1k+ 1D.以上各种情况均不对答案：C解析：当n = k时，左边=当n = k+1时，左边=11111k+2 + k+3 + 2k+2k+1 +2k+2，增加了2k+ 1+2k+ 2?1减少了黄，故选C项.5.用数学归纳法证明：12+22+ n2+ 22+12= n(2n + 1),第二步证明由“ k到3k+1”时，左边应加()A. k2B. ( k+1)2C. k2+(k+1)2+k2D. ( k+1)2+ k2答案：D解析：当n=k时，左边=12+22+
4、 k2+ 22+12;当 n = k+1 时，左边=12+22+ + k2+(k+1)2+/+ 22+12,故选 D.6. 2013 福建调研用数学归纳法证明 n3 + (n +1)3 + (n+2)3( n C N)能被9整除”，要利用归纳假设证 n= k+1时的情况，只需展开()A. ( k+3)3B. ( k + 2)3C. ( k+ 1)3D. ( k+1)3+ (k+2)3答案：A解析：假设当n= k时，原式能被9整除，即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.当n=k+1时，(k+1)3+(k+2)3+(k + 3)3为了能用上面的归纳假设，只需将 (k+3) 展开，让其出现
5、k3即可.二、填空题1 + 1 + 111 +-+-+-+-3 1+1 + - 2 3 ,2 37 22 3n个不等式为( n C N)17. 2013 厦门质检观察下列不等式：12+2,1+：+，+，由此猜测第152 331 21 11 n答案：1+2+3+的2解析：3 = 22- 1,7 = 23- 1,15 = 24-1,可猜测：1+;+;+ 2 32ni 2.8. 2013 金版原创设数列an的前n项和为S,且对任意的自然数 n都有：($1)2= an&,通过计算 S, S2, S3,猜想S =g- n日不：n+ 11斛析：由(S 1) =S1 得：s=2；由(1)2= ( SS) S
6、2得：S?=3由(1)2= ( S3 S) &得：S3= 4.猜想：与”9. 2013 济南模拟用数学归纳法证明1+2+3+2 n4+ n2 ”n =-2,则当n=k+1时左端应在n = k的基础上加上的项为答案：(k2+1)+ (k2+2) + +(k+1)2解析：当n=k时左端为1 + 2 +3+ + k+(k+1) + (k+2) + k2,则当n=k+ 1时，左端为1 + 2 +3+ + k2+(k2+1) +(k2+ 2) + -+ (k+1)2, 故增加的项为(k2+1)+(k2+2)+ (k+1)2.三、解答题10. 2013 西安模拟试证：当 neM时，f(n) = 32n+2
7、8n 9能被64整除.证明：(1)当n=1时，f(1) =64,命题显然成立.(2)假设当 n=k(k N, k1)时，f(k) = 3228k 9 能被 64 整除.当门=卜+1 时，由于 32(k+1)+2-8(k+ 1)-9= 9(32k+2-8k-9) +9 - 8 k+9 - 9- 8( k+ 1) -9 =9(32k+28k9)+ 64( k+1),即 f (k+1) =9f(k) +64(k+ 1)，.= n=k+ 1 时命题也成立.根据(1)、(2)可知，对于任意nC N,命题都成立.*11. 2013 青岛质检已知数歹U an中，a1=a(a2),对一切 n N,an0,an
8、+1 =2an2(a -1求证：an2 且 an + 10，an12an-i2 =2 2( an 1- 1)(an 12)22( an 1 1)0,.an 2.若存在 ak = 2,则 a2矛盾,故an2. an +1 anan(2 an)2(an 1)0,an + 12)当n=1时，a1 = a2,故命题an2成立;2*ak假设 n= k( k 1且kCN)时命题成立，即ak2 ,那么，ak+1 2= ittz77 - 2 =2( i)_ 20.(a-2)2(ak1)所以ak+12,即n=k+1时命题也成立.综上所述，命题 an2对一切正整数成立.an+11)时猜想成立，即 ak=，k 楙1,则当 n=k+1 时)ak+1=Sk+1 S1111rl=2( ak+1 + 0) 2+家，即111-111-ak+1 = 2(ak+1+U2(邓Vk + 水_次时)=2( ak+1 + 0k7； Wk，ak+1 + 2-kak+1 1 = 0,，ak+1 = k + 1 ，k.即n = k+1时猜想成立.由知，揄=族一行7(nC N).