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1、江苏省南通市2012届高三第一次调研测试数学试题A.必做题部分一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1. .已知全集 U=1 , 2,3, 4, 5, 6, 7,集合 M =xW Z | x2 _6x + 5W 0,则集合 euM =2. 已知函数f (x) = J3cos2x+sin2x ,则f(x)的最小正周期是 A.3. 经过点(一2, 3),且与直线2x+y 5=0平行的直线方程为.4. 若复数 z 满足 z +i-,则 | z |=.5. 程序如下： t 1 i -2 While i b0)的左焦点F(y,0)为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于x0,集合A=(x,
2、 y) |4x +y4W 0, ,B=(x,y)| (x1)2 +(y1)2wa2.若x - y + 2a 0点P(x,y) C A是点P(x,y) C B的必要不充分条件，则a的取值范围是 . 10.在闭区间1, 1上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是.11 .数列 Q中，a1=6,且an a-=细+n+1 (n N* , n 2 ),则这个数列的通项公式12 .根据下面一组等式:Si =1,S2 =2 3=5,S3 =4 5 6 =15,s4 =n 8 9 10 =34,S5 =11 12 13 14 15 =65,S6 =16 17 18 19 20 21 =111,可彳导酬 号
3、号十士 s2nl =A13 .在ABC4 /a =，D是BC边上任意一点(D与B、C不重合)，且|福|2 =|品|2 扁 dC , 6则ZB等于.14 .设函数f (x) =x3 2ex2+mx In x ,记g(x)=f的，若函数g(x)至少存在一个零点，则实 x数m的取值范围是.2答案：1. 6 , 7 2 .兀 3 . 2x +y +1 =0 4 .4 5 . 24 6 . 27 7 . 36 n 8 . ( 1)2，9 . 0a 72 10 , 7 11 . (n+1)(n+2)12 , n413 如 14 . (_ e2 +-18121 e二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应
4、写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题14分) 如图，在正三棱柱ABC- ABC 中，点 D在边 BC上，AD GD.(1)(2)求证：AD1平面BC C B1；设E是BC上的一点，当 型 的值为多少时,EC1AE/平面ADC?请给出证明.解:(1)在正三棱柱中,ADC G.C G,平面 ABC AD=平面ABC 2分-7 -又AD CD, C。交CD于C,且C C和GD都在面BC C B1内,AD，面 BC C Bi. (2)由(1),得AD BC.在正三角形 AB8, D是BC的中点.BE当月三=1,即E为BC的中点时，AE/平面ADC.EC1事实上，正三棱柱 ABC- A1BG
5、中，四边形 BC C B1是矩形，且 D E分别是BCB1C1 的中点，所以 BB/ DE, BB= DE 10分12又 BB/ AA,且 BiB=AA, DB AA,且 DEAA.所以四边形 ADE A为平行四边形，所以 E Ai / AD而E A迎面AD G内，故AiE/平面AD G. 1416 .（本小题14分）如图，在四边形ABC珅，AD=8, CD=6, AB=13, / ADB90 ,且 AB,AC =50 .(1)求 sin / BAD勺值； s(2)设 ABD勺面积为$ ABD, BCD勺面积为Sa BCD求士逸迫的值.S BCD解 (1)在 RtAADO, AD=8, CD=
6、6,4 3.则 AC=10， cos/CAD =-,sin/CAD =-. 2分5 5又AB AC =50, AB=13,T -HAB AC 5，八cos/BAC = | =. 4 分| AB |AC | 13 03/BAC 1801:,sin/BAC121363 sin/BAD =sin(/BAC +/CAD)= . 8分651 _ _252_1_ 一 -(2) Saad = - AB AD sin/BAD =,S国ac=ABAC sin/BAC=60, S,cd =24, 25211分则 S BCD-S abc - S acd _ S bad1685S abd 3.=-SBCD214分17
7、 .（本小题15分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x ( C)101113128发芽数y （颗）2325302616该农科所确定的研究方案是 ：先从这五组数据中选取 2组，用剩下的3组数据求线性回归 方程，再对被选取的 2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是不相邻 2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据 12月2日至12月4日的数据，求出y关于x
8、的线性回归方程y=bx+a;(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？解：(1)设抽到不相邻两组数据为事件A,因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4 种， 2分所以43八P(A) =1 二 . 4分10 5 答：略. 5分(2)由数据，求得X =12, =27.7分由公式，求得 b =- , a=y-bx = -3.29分 所以y关于x的线性回归方程为 ?=5x-3. 210分(3)当 x=10 时，？=5乂103=22 , |
9、22 - 23| 2;212分 同样，当 x=8 时，？ =5 父83=17 , |17 16| 0, y2 x2,y1 0,y2 0.x f 2y =k(x -1),2y =4x,2 2_2_2k x -2(k +2)x +k =0 .22(k2 2) 一2为x2 =/， .7b1= Y Y 2-2(k2)25k1ABix1又2 2-21 2 k4216k =x *2 =1,6分44一从而k =,故直线 AB的万程为y =(x -1),即4x3y 4 = 0 334x -3y -4 =0,1(2)由12，求得 A (4, 4), B( 1 , -1).10分设 AOB勺外接圆方程为 x2+y
10、2 +Dx+Ey + F =0 ,则F =0,16 16 4D 4E , F =0,1 . . 1 _ ,_ 一-+1 +-D +(-E) +F =0.16429414分=0.故 AOB勺外接圆的方程为 x2 + y2 x 3y =0 . 4415分19.(本小题16分).一 .1已知函数g( x) = + l nx在1 , 十 0)上为增函数，且9C (0,兀)，s i n xm -1 , f x) mx -nx , rn R.x(1)求。的值；(2)若f (x) -g(x)在1 , +8)上为单调函数，求m的取值范围；2e(3)设h(x)=,右在1 , e上至少存在一个 小,使得f (%)
11、 g(x0)h(%)成立，求m x的取值范围.解：（1）由题意，g（x）=二+10在口，收）上恒成立，即避士10. sin n x xsin ? x。C (0,兀)，. sine 0 .故sinH .x-1 0在1,依)上恒成立,2分只须sin8 1 -1 0 ,即sine1,只有sin9=1 .结合0 (0,兀)，得日=：.4分2mmx -2x -m(2)由(1),得 f(x) -g(x) =mx -2lnx . . (f (x)-g(x) )=2xx5分f(x)-g(x)在其定义域内为单调函数， .22 mx -2x +m 0或者 mx 2x+mw 0在1 , +oo)恒成立. 6分2mx
12、 -2x +m 0一.2.2x等价于m(1 +x )2x ,即m 2 ,1 x2x 2而I一 二7 x2 11x - x,2,(1 ) max-1 , . m n 1.x xmx2 -2x +m & 0 等价于 m(1 +x2) w 2x ,即 m w、x2 在1 , +0)恒成立,1 x一 2x 一.而 C (0, 1 , m 0.x 1综上，m的取值范围是一：,0 IJ 1, ,二.10分(3)构造 F(x) = f (x) -g(x) -h(x) , F (x) =mx-m -21nx-空.xx当 m & 0 时，x 匚1,e , mx v 0 , 21n x 0 g (成 x )h(立
13、.12分14分当 m 0 时，(F(x)2m 2 2e mx - 2x m 2e =m + 一 + =2-x x xx因为 x1,e,所以 2e2x 0, mx2 +m 0,所以(F(x) 0 在 x1,e恒成立.故 F(x)在1,e上单调递增，f (x)max =F (e) = me-力 一4 ,只要 mem40, ee4e解得m 1e -1故m的取值范围是( , 依).e -116分20.(本小题16分)已知等差数列an的首项为a,公差为b,等比数列bn的首项为b,公比为a,其中a,b都是大于1的正整数，且q b11b2 a3.(1)求a的值；(2)若对于任意的nw N +总存在mW N+
14、，使得am+3=0成立，求b的值；(3)令Cn =an+bn ,问数列Cn中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有 成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由.解：(1)由已知，得 an =a+(n 1)b, bn =b，an.由 a1 bi, b2 a3,得 a b, ab 2.又ba ,故b3. 2分再由 ab a +2b ,得(a -2)b a .由 b”故(a-2)b b,即(a-3)b3,故 a30,解得 a 3,由数的整除性，得 b是5的约数.故 2”，-m + 1 =1 , b=5.所以b=5时，存在正自然数 m=2n满足题意. 9分(3)设数列Cn中，Cn,Cn+Cn生成
15、等比数列，由Cn=2+nb+b4)2 = & G至，得(2 +nb +b +b 2n)2 =(2 +nb +b 2nx)(2 +nb+2b+b 2n*).化简，得 b =2n+(n-2) b，2n.(X)11分当n=1时，b=1时，等式()成立，而 b3,不成立. 12分-9 -当n=2时，b=4时，等式（）成立.13分当 n3时，b =2n +(n -2) b 2n-(n-2) b 2n-4b ,这与 b3矛盾.这时等式（X）不成立.14分综上所述，当b04时，不存在连续三项成等比数列；当 b=4时，数列Cn中的第50.四项成等比数列，这 16分项依次是 18 ,30 ,B.附加题部分21.
16、（选做题）从 A, B, C, D四个中选做2个，每题10分,A.明、证明过程或演算步骤.选修4-1 （几何证明选讲）如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD 切半圆于点D, CD=2, DEL AR垂足为E,且E是 O卵中点，求BC的长.解:连接OD则ODL DC共20分.解答时应写出文字说在 RtAOED,一 1 一 1 一OE=1OB=1 OD22/ ODE30 .在 RtAODG,由 DC2,则 OB=OD=DCn30_2 3 CD-5 OC =3cos302_324.3310所以BC=OCOB：名叵.3分B.选修4-2 （矩阵与变换）将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转
17、45。，求所得曲线的方程.一五2迎IL 2解：由题意，得旋转变换矩阵M =145； -sin 45sin 45 cos45设xy=1上的任意点P（x：y）在变换矩阵Mf乍用下为P（x,y）,.2 .2 ,x=2x -y,y.22得22将曲线xy =1绕坐标原点按逆时针方向旋转45。，所得曲线的方程为2210分匕一上 =1.22C.选修4-4 （坐标系与参数方程）*工 x =1 2t, 求直线y =1 -2t(t为参数)被圆x=3cos% y =3sin为参数）截得的弦长.x +y =2 .22x +y =9.x -1 ： t 2把直线方程r t 2y =1 -2tx =3 二 c 八化|y =
18、3 .二 s i化为普通 方程圆心O到直线的距离d=W=后,2二弦长 L=2jR2 d2 =2yf9T2 =2.x =1 .2t直线r 1 2t,y =1 -2tJ=38。截得的弦长 y = 3 s i n10分D.选修4-5 （不等式选讲）已知x, y均为正数，且xy,求证:2x2 c2x -2xy - y2y +3.解:因为 x0, y0, x- y0,2x2x -2xy y2 -2y =2(x-y)12 (x-y)1= (x-y) (x -y) 2(x -y) 3 3；(x-y)2-7 =3, . (x -y)2x +i2 2y +3 .x -2xy y10分22 .(必做题) 已知等式
19、(x2+2x +2)5 =a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+川十ag(x +1)9+a10(x+1)10 ,ai (i=0, 1, 2,，10)10(1) Z an 的值； n 1 10为实常数.求:解:(1)在(x2 2x 2)5=a(o +a(x +1) +a2(x +1)2 +| +a(x +1)9 +ai0(x+1)10 中,(2) Z nan 的值.-11 -令 x =0 ,得 a0 +研 +a2 +| +a +a0 =25 =32 .10 an =&n 1+32 +| +&0 =31 .如图，设梯形 ABCD勺上、高为h,方法一：延长DACB交于点 Q过点 O作CD的垂线分别
20、交 AB CD于E, F,则EF =h .(2)等式(x2 +2x+2)5 =% +a1(x+1)+a2(x+1)2 +|+a9(x + 1)9 +a10(x+1)10两边对2_4_.8 一95(x 2x 2) (2x 2) = a12a2(x 1) |l| 9a9(x 1) 10al0(x 1).在 5(x2 +2x +2)4 (2x +2) =a1 +2a2(x +1) +| +9a9(x在)8 +10a10(x +1)9 中,10令 x=0,整理，得 nan =a1 +2a2 +| +9a9 +10a10 =5 25=160 .n=410分23 .（必做题）先阅读: 求梯形的面积.设 O
21、E =x,?AOABSAODC,一x-=W,即 x=-ax h bb -aSB形 ABCD = S ODC - S OAB11111=一 b(x + h) ax = (b -a)x + bh =一( a +b)h - 22222方法二：作 AB的平行线MN别交AD BC于M N,过点A作BC的平彳T线Ag别交MN DCT P、Q 则 MMPMDQ .设梯形 AMNB勺高为 x,MN =y,?y =a+bax, h b -ah21h =-(a +b)h .2h_1bbab a 2b a二 S弟形ABCD = 0 (a +-x)dx = (axx2) =ah2 h2h o2h再解下面的问题：已知四
22、棱台 ABCD-A B C D的上、下底面白面积分别是S1,S2（S1 82）,棱台的高为h,类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积 =1父底面积m高）. 3解法一：将四棱台 ABCDA B C D补为四棱锥 V ABCD设点V到面A B C D的距离为h.由9=（上二）2:理=1,即号叵=U.82h hS2 h h82-6 h1111所以 V = S2(h h) h =(8 -S)h82h33331 11=-(饵 +低)商 +-&h=-(81 +78182 +&)h，333所 以 四 棱 台 ABCD A B C D的 体 积 为1 _（S+458 +8）h . 5分3解法二：作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为8,它与上底面的距离为x,8(.& - .):2 . 2；S( S2 -S).8 x xx 81 .h2hhV = 0(/8T- s；)2 22、耳(.,82 - ,1)-2x +-x + &)dx ,hh7忘-回2 1 3 +廊病-图24F(x)= 2 - x +x + Sx ,h 3h(82 - S1)2 1 381( sT - 81) 2V =F(h) -F(0) =2h3 - h2 81hh 3h=1hi(S +7882 +82). 10分