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1、高一数学向量、向量的加法与减法人教版【同步教育信息 】一 . 本周教学内容：向量、向量的加法与减法二 . 重点、难点：1. 向量的概念。2. 向量的加法与减法的定义。3. 会用加法与减法的平行四边形法则和三角形法则作出向量的和与差。【典型例题】 例 1 以下命题中真命题的个数是（）（ 1） a a 0（ 2） 0 a0（ 3） 0aa（ 4）向量 a 与向量 b 平行，则 a 、 b 的方向相同或相反。A. 0B. 1C. 2D. 3解：（ 1）假命题。因为两向量之差仍为向量，所以应aa0 。（ 2）假命题。因为实数与向量的积是向量，所以应有0 a 0 。（ 3）真命题。 0 a 0 ( a)
2、a 。（ 4）假命题。若 a 与 b 中有一个为 0 ，则它的方向不确定。综上，应选择 B 。 例 2 下列命题中假命题的个数是（）（ 1）向量 AB 与 CD 是共线向量，则A 、 B、 C、 D 四点共线。（ 2）四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是ABDC 。（ 3）四边形ABCD 中， ABCDBCDA 。（ 4）若两非零向量，a 与 b 的方向相同或相反，则ab 的方向必与a 或 b 的方向相同。A. 1B. 2C. 3D. 4解：（ 1）是假命题。共线向量是指平行向量，故AB 与 CD 平行不一定A 、B 、C、D 四点共线。（ 2）真命题。（ 3）假命题，由ABCD 为四边形
3、，则有ABBCCDDA0 ，故ABCD(BCDA) 。（ 4）假命题。当ab0 时， ab 的方向不确定。综上，应选择C。 例 3 已知正方形ABCD 的边长等于1， ABa, BCb, ACc ，求作向量 abc 和向量 abc 以及 abc 。用心爱心专心EDCbAaB图 1解： 如图 1，由于 a bABBCAC又由 cAC ，延长 AC至点 E，使得 CE=AC ，则 a b c AE又如图 2， a b ABBCABADDBDCFca - b bcAaB图 2过点 B 作 BFAC ，即 BFc ，故 (a b)c DB BF DF如图 3，作 DGAC ，即 DGc 。GcDCbc
4、a - bAaB图 3而 DBAB AD a b ，则 (ab)cDBDG GB 例 4 设 P 是ABC 的重心，试证明：PAPBPC0 。ANGPBMC证明： 如图设 M 、N、P 分别是ABC 边 BC 、AC 、AB 的中点， 由 AMABBM ，AMACCM用心爱心专心则有 2AMAB AC (BM CM )又由 M 是 BC 中点，故 BMCM0 ，即 AM1 ( ABAC )11 (CA2同理可得 BN(BCBA) ， CGCB)21 ( AB2故 AMBNCGAC)( BCBA)(CACB ) 02又由点 P 是ABC 的重心则 AP2 AM ， BP2 BN , CP2 CG
5、333故 APBPCP2 ( AMBNCG )3又由 AM BNCG0 ，则 APBP CP 0故 PAPBPC0 例 5 试比较下列向量模的大小（ 1）（ 2）解：| ab | 与 | a | b | ；| ab | 与 | ab | 。（ 1）分情况讨论 当 a 、 b 中至少有一个为 0 时， | ab |= | a | b |； 当 a 、 b 均为非零向量时，若a 与 b 同向，则 | a b |= | a | | b |若 a 与 b 异向，则 | ab | | a | b |若 a 与 b 不共线，则 | ab | | a | | b |（ 2） 当 a 与 b 中至少有一个为
6、0 时，则 | ab | | ab | 当 a 与 b 均为非零向量时，根据向量加减法的平行四边形法则可知，| a b |与| a b |是以 | a | 、| b | 为边的平行四边形的两条对角线的长，如图分三种情况讨论，设 a 与b 的夹角为。DCDCDCa + ba + ba + bbba - ba - bBa - bABAaaAB图 1图 2图 3若090 ，如图 1，则有 | a b | | ab |若90 ，如图2，则有 | a b | | ab |若90180，如图3，则有 | ab | | ab | 例 6设点 G 为四边形ABCD 对角线的中点连线MN 的中点，点P 为该平面
7、内任意一点，证明 4PGPA PBPCPD 。用心爱心专心DCMGNABP证明： 如图所示，设四边形ABCD 的对角线 AC 、 BD 中点分别为 M 、 N由 PM 为APC 的中线，故PM1PC )( PA21 (PB同理可知 PNPD )21 ( PM PN )又由 G 为 MN 中点，则有 PG1 (PA2PBPCPD )4即 4PGPAPBPCPD特别地，当P 与 G 重合时可以得到GAGBGCGD0【模拟试题】一. 选择题：1.下列命题中正确的个数为（）（ 1）若向量 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则向量a 与 c 共线（ 2）共线的单位向量都相等| b |3| a |，则
8、向量 ab 与 a 的方向相同（ ）向量 a 与 b 反向，（ 4）向量 a 与 b 不共线，则a 、 b 均为非零向量A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个2.平行四边形 ABCD中， BCCDAD 等于（）A. BDB. ABC.ACD.BA3.非零向量 a 、 b 不共线，且| a | | b |，则向量 a b 与 a b 的关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 相等4.已知 ABC 的三个顶点 A 、B 、 C 及平面内一点P，若 PA PB PCAB ，则点 P与ABC 的位置关系是（）A. P 在ABC 内部B. P 在ABC 外部C. P 在 AB 边
9、上或它的延长线上D. P 在 AC 边上且为AC 的一个三等分点二. 填空题用心爱心专心5.已知 AD 、 BE 分别是ABC 的边BC 、 AC上的中线，且 ADa, BEb ，则BC。6.点 P 为四边形 ABCD 内部一点， PAa, PBb , PC c ， PDd ，点 E、F 分别为 AB 、 CD 的中点，则 EF。三.证明题：7.任意四边形 ABCD 的边 AD 、 BC 的中点分别为E、 F，求证： EF1DC ) 。( AB28. 用向量方法证明：四边形为平行四边形的充要条件是它的两条对角线互相平分。用心爱心专心【试题答案】一 .1. B （析：（ 1）与（ 4）正确）2.
10、 D3. B4. D二.2415.ab6. (c d a b)332三 .7.证法一：如图EFFBBAAE0 ，则 EFBFABEA同理，由 EFFCCDDE0 ，则EFCFDCED故 2EFBFCFABDCEAED由 E、F 分别为 AD 、 BC 中点，则BFCF0 ， EAED0故 EF1 ( AB DC )2CDFEAB证法二：如图，在平面内取点O，作 OE 、 OF ，则有OE1 (OAOD ), OF1 (OBOC)22又由 EF OFOEEF1 (OBOCOAOD )1 ( AB DC )22CDFEBAO证法三：如图，作CGAB ，则四边形 ABGC 为平行四边形，故对角线AG
11、 过 BC 中用心爱心专心点 F，则 EF 为ADG 的中位线，故 EF1 DG ，又由 DGDC CG DC AB ，所1 (AB2以 EFDC )2CGDFEAB8. 证明：先证充分性，若四边形对角线互相平分，如图AOOC, DO OB则有 ABAOOB ， DCDOOCOBAO故 ABDC ，则四边形 ABCD 为平行四边形再证必要性，设AC 中点为 O1，BD 中点 O2，在平行四边形ABCD 中AC ABBC, BDBCAB故 AO11AC1 ( AB BC ) ， BO21BD1(BCAB)2222则 O1 A1 ( AB BC ) ， O2 B1 (AB BC )22DCOAB由于 O1 AO2 BAB ，因此有 O1 AABO2 B又由加法法则，O1 AABO1B ，故 O1BO2 B故 O1 与 O2 重合用心爱心专心