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1、算术平方根的双重非负性 一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。0的算术平方根是0。其中算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即被开方数；。这一性质在解题中有着极其广泛应用，以下举例说明。一、 利用非负性被开方数例1 x为何值时，下列各式有意义。 ； ； ； 解：当，即，有意义；当且，即时，有意义；当，即时，有意义 ；当，即x取任意实数时，有意义；当，即时，有意义，但无论x取任何数，都不会是负数，故原式无意义。评注：对于、这样的式子，除了应用被开方数的性质外，还要注意分母不能为0。例2 若x、y满足，则xy的值为 。解：由被开方数得，
2、所以 把代入等式得 故，应填2。评注：这里应用了被开方数，而是相反数，互为相反数的只有0，所以。可以解出x、y值。例3 比较与的大小。解：由被开方数得 因此， 所以评注：本题看起来无从下手，其实隐含着被开方数这一条件，应用这一条件可以求出x的取值范围，然后依据x的取值范围计算比较大小。二、 利用非负性例4 的最小值是 ，此时a的取值是 。解：因为所以当a+1=0，即a=-1时取等号。故应填2、-1。评注：本题利用非负性，因为是求最小值，所以当是有最小值。例5 若与互为相反数，求x、y的值。解：因为与互为相反数 所以 又因为； 即 解得评注：由和，以及几个非负数的和等于0，则这几个非负数一定都为0可以得到。从而计算出结果。三、 双重非负性的同时应用例6 已知，则x的取值范围是 。解：因为，所以，又因为，所以，即，又，所以，故x的取值范围是。评注：虽然大家没学习过如何将x开方出来，但只要能灵活应用性质被开方数和性质，一样能求出x的取值范围。例7 若x、y、m适合关系式，试求m的值。解：由等式的右边，根据算术平方根的意义有： 且 所以且即已知即为：解得 评注：抓住题目中隐含的条件算术平方根具有双重非负性：被开方数；，然后仔细观察，便不难解决此类问题。4材料2