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1、第 3 课时带电粒子在匀强磁场中的运动考点一带电粒子在磁场运动的临界与极值问题考点解读解决此类问题的关键是：找准临界点找临界点的方法是：以题目中的 “ 恰好 ”“ 最大 ”“ 最高 ”“ 至少 ” 等词语为突破口，借助半径R 和速度v(或磁场 B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切(2)当速度v 一定时，弧长 (或弦长 )越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(3)当速率 v 变化时，圆周角越大，运动时间越长典例剖析1 磁感应强度的极值
2、问题例 1 如图 1 所示， 一带正电的质子以速度v0 从 O 点垂直射入， 两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场已知两板之间距离为 d，板长为 d，O 点是板的正中间， 为使质子能从两板间射出， 试求磁感应强度应满足的条件 (已知质子的带电荷量为e，质量为 m)图 12 偏角的极值问题2例 2 在真空中， 半径 r 3 10 m 的圆形区域内有匀强磁场，方向如图 2 所示，磁感应强度 B 0.2T，一个带正电的粒子以初速度v0 1 106 m/s 从磁场边界上直径ab 的一端 a 射入磁场，已知该粒q8子的比荷 1 10 C/kg ，不计粒子重力(1) 求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；图
3、2(2) 若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时 v0 与 ab 的夹角 及粒子的最大偏转角3 时间的极值问题例 3 如图 3 所示， M、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值静止的带电粒子带电荷量为 q，质量为 m(不计重力 )，从点 P 经电场加速后，从小孔 Q 进入 N 板右侧的匀强磁场区域， 磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外， CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与 N 板的夹角为 45，孔 Q 到板的下端 C 的距离为图 3L，当 M、 N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，求：(1) 两板间电压的最大值Um；1(2
4、) CD 板上可能被粒子打中的区域的长度x；(3) 粒子在磁场中运动的最长时间tm.4 面积的极值问题例 4如图 4 所示，质量为 m，电荷量为 e 的电子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v0.现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy 平面的匀强磁场， 磁感应强度大小为 B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y 轴平图 4行的荧光屏 MN 上，求：(1)电子从 y 轴穿过的范围；(2)荧光屏上光斑的长度；(3)所加磁场范围的最小面积考点二带电粒子在磁场中运动的多解问题考点解读带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动， 由于多种因素的影响， 使问题形
5、成多解， 多解形成原因一般包含下述几个方面1带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解如图 5 所示，带电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为 a，若带负电，其轨迹为 b.2磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解如图 6 所示，带正电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，若B 垂直纸面向里，其轨迹为a，若 B 垂直纸面向外，其轨迹为b.图 5图 63临界状态不惟一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有
6、界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180从入射面边界反向飞出，如图7 所示，于是形成了多解4运动的往复性形成多解带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解如图 8 所示2图 7图 8典例剖析1 带电粒子性质的不确定形成多解例 5 如图 9 所示，直线边界 MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，磁场区域足够大今有一质量为m，带电荷量为q的带电粒子， 从边界 MN 上某点垂直磁场方向射入，射入时的速度大小为 v，方向与边界MN 的夹角为 ，求带电粒子在磁场中的运动时间图 92 磁场方向不确定形成多解例 6 某电子
7、以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3 倍若电子电荷量为e、质量为 m，磁感应强度为 B，不计重力，则电子运动的角速度可能是()4Be3Be2BeBeA. mB. mC. mD. m3 运动方向不确定形成多解例 7 如图 10 所示，绝缘摆线长为L，摆球带正电 (电荷量为 q，质量为 m)悬于 O 点，当它在磁感应强度为B 的匀强磁场中来回摆动经过最低点C时速率为 v，则摆线的拉力为多大？4 运动的往复性形成多解图 10例 8 如图 11 所示，在 NOQ 范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场，在 MOQ 范
8、围内有垂直于纸面向外的匀强磁场，M 、 O、N 在一条直线上， MOQ 60，这两个区域磁场的磁感应强度大小均为 B.离子源中的离子带电荷量为q，质量为 m，通过小孔 O1 进入两板间电压为 U 的加速电场区域 (可认图 11为初速度为零 )，离子经电场加速后由小孔O2 射出，再从O 点进入磁场区域，此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界MN ，不计离子的重力(1) 若加速电场两板间电压 UU 0，求离子进入磁场后做圆周运动的半径R0；(2) 在 OQ 上有一点 P， P 点到 O 点距离为 L，若离子能通过 P 点，求加速电压 U 和从 O 点到 P 点的运动时间思维突破多解问题的审题正确解答多解
9、问题的前提和关键是审题，只有细致、周密、准确的审题，才能体会出题目中条件的不确定因素， 从而把题目定性为多解问题而进行讨论分析 审题时应克服习惯性思维或先入为主的思维模式， 想当然地认为带电粒子就是带正电， 粒子运动就是向一个方向运动，这样多解题就变成了单解题，答案不全面或解答错误本题型的四个例题，就是从形成多解的四个不确定条件出发，讨论了形成多解的不同结果3A 组临界与极值问题1 如图 12 所示，边界 OA 与 OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界 OA 上有一粒子源 S.某一时刻，从 S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子
10、的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场 已知 AOC 60，从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于 T/2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的图 12时间可能为()TTTTA. 3B. 4C.6D. 82如图 13 所示，半径为r 0.1 m 的圆形匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点 O，磁感应强度 B0.332 T，方向垂直纸面向里在O 处有一放射源，可沿纸面向各个方向射出速率均为v 3.2 106 m/s 的 粒子已知 粒子质量 m6.64 10 27kg ，电荷量 q3.2 10 19C，不计 粒子的重力求粒子在
11、磁场中运动的最长时间图 13B 组 多解问题3. 垂直于纸面的匀强磁场区域宽度为d，一个电子以速度v 沿图 14所示方向垂直磁场方向及磁场边界射入该区域，恰好不能飞过场区，采取如下哪些方法，可能使该电子飞到场区右侧()A 增大磁感应强度B 改变 v 的方向C减小 dD 将磁场反向图 144如图 15 所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内， O 点是 cd 边的中点一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从 O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0 刚好从 c 点射出磁场 现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与 Od 成 30的方向，以大小不同的速率射入正方
12、形内，那么下图 15列说法中正确的是()A 若该带电粒子从ab 边射出，它经历的时间可能为t05B 若该带电粒子从bc 边射出，它经历的时间可能为3t05C若该带电粒子从cd 边射出，它经历的时间为 3t0t0D 若该带电粒子从ad 边射出，它经历的时间可能为34课时规范训练(限时： 60 分钟 )一、选择题1. 一个质子和一个 粒子沿垂直于磁感线方向从同一点射入一个匀强磁场中，若它们在磁场中的运动轨迹是重合的，如图1 所示，则它们在磁场中()A 运动的时间相等图 1B 加速度的大小相等C速度的大小相等D 动能的大小相等2. 初速度为 v0 的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出， 直导线中电
13、流方向与电子的初速度方向如图2 所示，则()A 电子将向右偏转，速率不变B 电子将向左偏转，速率改变图 2C电子将向左偏转，速率不变D 电子将向右偏转，速率改变3. 如图 3 所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正、负粒子(不计重力 )，从 A 点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成角，则正、负粒子在磁场中()图 3A 运动时间相同B 运动轨迹的半径相同C重新回到边界时速度大小和方向相同D 重新回到边界时与A 点的距离相等4如图 4 所示，一个质量为m、电荷量为 q 的带电粒子， 不计重力，在 a 点以某一初速度水平向左射入磁场区域，沿曲线abcd
14、 运动， ab、bc、cd 都是半径为R 的圆弧粒子在每段圆弧上运动的时间都为t .规定垂直纸面向外的磁感应强度方向为正，则磁场区域、三部分的磁感应强度B 随 x 变化的图 4关系可能是图中的()55如图 5 所示， L 1 和 L2 为两条平行的虚线，L1 上方和 L 2 下方都是垂直纸面向外的磁感应强度相同的匀强磁场，A、B 两点都在 L1 上带电粒子从A 点以初速v 斜向下与L 1 成 45角射出，经过偏转后正好过B 点，经过B 点时速度方向也斜向下，且方向与 A 点方向相同不计重力影响，下列说法中正确的是A 该粒子一定带正电B 该粒子一定带负电C若将带电粒子在A 点时初速度变大(方向不
15、变 )，它仍能经过B 点D 若将带电粒子在A 点时初速度变小( 方向不变 )，它不能经过B 点6. 一电子以垂直于匀强磁场的速度vA，从 A 处进入长为d、宽为 h 的磁场区域如图6 所示，发生偏移而从B 处离开磁场，若电荷量为e，磁感应强度为B，圆弧 AB 的长为 L ，则()dA 电子在磁场中运动的时间为tvALB 电子在磁场中运动的时间为t vA图 5()图 6C洛伦兹力对电子做功是BevA hD 电子在A、 B 两处的速度相同7. 如图 7 所示，在 x 轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B.许多相同的离子，以相同的速率v，由 O 点沿纸面向各个方向(y0
16、)射入磁场区域 不计离子所受重力，不计离子间的相互影响图中曲线表示离子运动的区域边图 7界，其中边界与y 轴交点为 M ，边界与 x 轴交点为N，且 OM ON L .由此可判断()A 这些离子是带负电的6B 这些离子运动的轨道半径为LqvC这些离子的比荷为D 当离子沿y 轴正方向射入磁场时会经过N 点8. 如图 8 所示，直角三角形 ABC 中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿 AB 方向自 A 点射入磁场，分别从AC 边上的 P、Q 两点射出，则()A 从 P 射出的粒子速度大B 从 Q 射出的粒子速度大C从 P 射出的粒子，在磁场中运动的时间长图 8D 两粒子在磁场中运动的时间一样长二
17、、非选择题9不计重力的带正电粒子，质量为m，电荷量为 q，以与 y 轴成 30角的速度 v0 从 y 轴上的 a 点射入图9中第一象限所在区域 为了使该带电粒子能从x 轴上的 b 点以与 x 轴成 60角的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy 平面、磁感强度为B 的匀强磁场，若此磁场分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小面积图 910如图 10 甲所示， M、N 为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、 O且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示有一束正离子在t0 时垂直于M 板从小孔O 射入磁场 已知正离子质量为
18、m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为 T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力求：图 10(1)磁感应强度 B0 的大小；(2) 要使正离子从 O孔垂直于 N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0 的可能值11如图 11 所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场，在 ad 边中点 O，垂直于磁场射入一速度方向跟ad 边夹角 30、大小为 v0 的带正电粒图 11子已知粒子质量为m，电荷量为 q， ad 边长为 L， ab 边足够长，粒子重力不计，求：(1)粒子能从ab 边上射出磁场的v
19、0 大小范围；7(2)如果带电粒子不受上述v0 大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间复习讲义课堂探究例 1 4mv5de0 B4mvde0例 2(1)5 102m (2)37 7422(2)(2 2) L (3)m例 3(1) qB L2mBq例 42mv0mv0(1)(2)BeBe mv0 2(3)( 2 1)( Be )例 5 若粒子带正电，则运动时间为 2m( )，若粒子带负电，则运动时间为2mqBqB例 6 AC例 7 见解析解析当摆球在最低点向右运动时，摆球受到的洛伦兹力的方向竖直向上，由牛顿第二22vv当摆球在最低点向左运动时，摆球受到的洛伦兹力的方向竖直向下，由牛顿第二定
20、律得22FT mgqvB mv，则 FT mgqvB mv.LL例 8 (1) 12U0m(2) 见解析Bq解析(2) 离子进入磁场时的运动轨迹如图所示，设圆周运动的半径为 R，由几何关系可知OP P P R要保证离子通过P 点，则 L nRB2 L2q解得 U 2mn2 ，其中 n 1,2,3，2m离子在磁场中运动的周期T qBT nmt n ，其中 n 1,2,3 ，233qB分组训练1 ABC 82 6.5 10s3 BC4 C课时规范训练1 D2 A3 BCD4 C5 C86 B7 D8 BD3 mv0 2 (9.4 qB )2md10 (1) qT0(2) 2nT0(n1,2,3 )qBLqBL(2)5m11 (1) 3m v0 m3qB9