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1、2.2.1综合法和分析法互动课堂疏导引导1 .综合法与分析法的思维特点分析法是从命题的结论出发，分析使结论成立的充分条件.若能够肯定这些条件都已具备，就可以判定结论是正确的 .分析法的特点：有些题目用一般方法较难入手时， 可以用分析法探索解题思路， 然后再 倒回去，得到问题的解决；也可以用分析法直接书写解题过程，步骤要清楚，书写要严格.综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到问题的解决综合法的特点：广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法.分析法是和综合法相比较而清晰的 .综合法逐步推求已知条件的必要条件.而分析法步步逆向寻求未知事项成立的充分条件，所以分析法和综合
2、法从思维过程看是互逆的，叙述形式也有区别.一般说来，当题目已知条件较少，发展已知较困难时，可逆向思考，由果索因，用分析 法解决.一般地，对于命题“若 A则D用综合法证明时，思考过程可表示为： I C 综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A推演达到D的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一,如B、B、B等，可由B B、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如CG、Ci、Q、C等.最终，能有一个（或多个）可推演出结论 D即可.用分析法思考数学问题的顺序可表解为：（对于命题“若A则D）G T与 T * - *Sy * -Ra A品+ , 分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从D上溯寻其论据，如C
3、 G、G等，再寻求C、C、C2的论据，如B、B、B、B、B等，继而寻求 B B、B、R、R的论据，如果其中之一 B 的论据恰为已知条件，于是命题已经得证.2 .应用分析法和综合法证明问题需注意以下问题（1）应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了真实性是无可争辩的出发点以后（它基于题设或已知的真命题）,再依次由它得出一系列的命题（或判断），其中每一个都是真实的（但它们并不一定都是所需求的）,且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时，命题彳#证.同分析法一样，并非一上来就能找到通达命题结论的思路，只是在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到.当然，在较多地积累一些经验，掌
4、握一些证法之后， 可较为顺利地得到证明的思路 .而在证明的叙述时，直接叙述这条思路就够了 .（2）应用分析法时，并非一开始就确信由结论出发所产生的那些推断（或命题）都正确，各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适.这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系，因而需要从这些关系中逐个考察，逐个思索，逐个分析，逐个判断，在得到了所需的确定结论时（它们是已证的命题或已知的条件，才知道前面各步推理的适当与否，从而 找出证明的路子.(3)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方式，在实际证明命题时，应当把分析法与综合法联合起来运用，即当遇到较难白新命题时，
5、应当先用分析法来探求解法，然后将找到的解法用综合法叙述出来.这样，可以培养我们逻辑思维的能力和数学论证的能力，使我们知道应该从何处入手 ，并明了为什么要这样证明的理由，而不至于盲目揣测，更不至于束手无策.规律总结1 .综合法证明的方法是“执因索果”.此法的特点是表述简单，条理清楚2 .在解决数学问题时， 往往先作语言的转换， 如把文学语言转换为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要细致分析.把问题中的隐含条件明确表示出来.3 .分析法证明数学问题是“执果索因”，便于解题思路的探录4 .使用分析法时要把握三点：(1)寻找使命题成立的充分条件时，往往先寻找使命题成立的必要条件，再考虑这个必要
6、条 件是否成立.(2)分析法和综合法要结合起来使用，也就是说“两头凑”，会使问题轻易解决活学巧用例1如图，在四锥P ABCD，底面ABC比正方形，PAL底面 ABCD求证：PdBD.DC证明：(综合法).PA是平面 ABCD勺垂线，PC是平面 ABCD勺斜线，如图连结 AC BD,则AC是PC在底面ABC*的射影.又.四边形ABC的正方形， .ACLBD.故 PC!BD.c点评：本例图形具有很多性质，从不同的审视角度去分析，可以得到多个证明方法，如可以转 化为线面垂直来证线线垂直，也可以用向量来证明(因为图形中有 AR AD PA两两垂直的基 向量)等.例 2 已知 ab0,求证：a -vb
7、b o,b v ab ,即 2n 2/0b .进而2jOb2b ,于是a -2ab + b a + b 2b ,即 0 (a - Vb)2 a b,，8 -4b 3abc证明： 左边=(b+a)+( c + b)+( - + - )-3, a bb cc aa、b、c为不全相等的正数，baobcoac一 十 2 2, 十 2 2, 十 2,a b c b c a且这三式的等号不能同时成立.(否则a=b=c)+()+(a c+)-3 6-3=3,c ab c-a c a-b a b c o即+ 3abc，加以变形，灵活运用平均值不等式点评：本题用综合法证明的出发点是以不等式的左端入手这是综合法证
8、明不等式的主要技巧.为创造应用条件，常把分子分成若干部分，对每部分运用 重要不等式，然后相加或相乘例 4 求证：ac+bd Va2 +b2 *vc2 +d2 .证明：当 ac+bdv 0 时，ac +bd o时，欲证ac+bdE%；a2+b2 . Jc2+d2成立，只需证(ac+bd) 20, IP (ad-bc) 20.因为(ad-bc) 2Ao 成立，所以当 ac+bd0 时，ac + bd Va2 +b2 v/c2 +d2 成立.点评：用分析法证明不等式的关键是寻求不等式成立的充分条件，因此常对原不等式化简，常用的方法有：平方、合并、有理化、去分母等，但要注意所有这些变形必须能够逆推 .
9、本题 ac+bd符号不定，不能直接平方，而应对其符号进行讨论.例5已知a、b、c是不全相等的正数，且0vxv1,a b . b c . c a求证：log x+log x+log x log xa+log xb+log xc.、 r 、 r a b证明：要证明logxaV+logU+logx2c a ., 一abc.222a bb c ab 0, . bc 0,22,a、b、c不全相等，上面三式相乘，-b - -c c-a :Ja2b2c2 =abc,a b bc c a ,4、即 a_ _c _a abc 成立,222. a b,i b c,i c a. log x+log x+log x log xa+log xb+log xc 成乂 .点评：本题的证明过程就是综合法与分析法结合起来使用的.