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1、截长补短法例1.已知，如图1-1,在四边形 ABCD中，BCAB, AD = DC, BD平分/ABC.求证：/BAD + ZBCD=180 .分析：因为平角等于 180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图 中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现证明：过点 D作DE垂直BA的延长线于点 E,作DF1BC于点F,如图1-2BD 平分/ABC, . DE = DF,在 RtAADE 与 RtCDF 中，；DE = DFAD =CD.RtXDE 话t3DF(HL),，DAE=ZDCF.又/BAD + ZDAE=180, . .BAD+ZDC
2、F=180即/BAD + ZBCD=180例2.已知，如图 3-1, Z1=Z2, P 为 BN 上一点，且 PD1BC 于点 D, AB+BC=2BD.求证：ZBAP+zBCP=180 .分析：与例1相类似，证两个角的和是 180 ,可把它们移到一起，让它们是邻补角, 即证明/BCP = ZEAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点 E,如图3-2.彳=/2,且 PD1BC, . .PE=PD,在RtABPE与Rt田PD中，PE = PDBP = BPRt 田PE 话t 田PD(HL),BE = BD.AB+BC=2BD, .AB+BD+DC =
3、 BD+BE,AB+DC = BE即 DC=BE-AB=AE.图3-2在 RtAAPE 与 RtCPD 中，PE = PDPEA = PDCAE = DC. RtMPERtCPD(SAS), /. PAE=/PCD又. zBAP+ZPAE=180 ,.-.BAP+ZBCP=180例3.如图 2-1 , AD/BC,点 E 在线段 AB 上，ZADE = ZCDE, ZDCE = ZECB.求证：CD=AD + BC.分析：结论是CD=AD + BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：
4、在CD上截取CF=BC,如图2-2在AFCE与ABCE中，CF =CB2FCE =/BCE CE =CE. zFCEZBCE (SAS) ,，2=/1.又.ADBC, .zADC+zBCD=180 , .DCE+/CDE=902+ Z3=90 ,彳+ 4=90 , .1.3= 4在AFDE与AADE中，FDE = . ADEDE =DE23 =24图2-1. zEDEZADE (ASA) , . DF = DA,.CD = DF+CF,，CD=AD + BC.例4.已知：如图 4-1,在 ABC 中，/C=2/B, /1=/2.求证：AB=AC + CD.图4-1分析：从结论分析，“截长”或“
5、补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD ,或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）延长 AC 至ij E,使 DC=CE,则 /CDE= /CED,如图 4-2. / ACB = 2/E,ZACB = 2ZB, . ZB=ZE,在AABD与AAED中,.1 =/22B =NEAD = AD. zABDZAED (AAS) , AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC, . AB=AC+DC.方法二(截长法)在AB上截取 AF=AC,如图4-3在MFD与AACD中，Iaf =AC/ =/2、AD = ADAB图4-2图4-3.AFDzACD (SAS) ,.DF=DC, /AFD=/ACD.又./ACB=2/B,FDB = /B, . .FD=FB.AB=AF + FB=AC+FD,AB=AC+CD.精品资料Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！