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1、第五章 特征值和特征向量一. 填空题1. 设A是n阶方阵, 为A的伴随矩阵, |A| = 5, 则方阵的特征值是_, 特征向量是_.解. 因为 , 所以对于任意n维向量. 所以|A| = 5是的特征值, 任意n维向量a 为对应的特征向量.2. 三阶方阵A的特征值为1, 1, 2, 则的特征值为_.解. 的特征值为: 3. 设且A的特征值为2和1(二重), 那么B的特征值为_.解. 具有相同的特征值., 所以B和A具有相同的特征值. B的特征值为: 2和1(二重).4. 已知矩阵相似, 则x = _, y = _.解. 因为A, B相似, 所以.相似矩阵的迹相等: . 于是.5. 设A, B为n
2、阶方阵, 且, 则AB与BA相似, 这是因为存在可逆矩阵P = _, 使得.解. 因为, 所以A可逆. 令, 则. 即AB与BA相似. 二. 单项选择题1. 零为矩阵A的特征值是A为不可逆的(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件解. 假设为A的所有特征值, 则. 所以: 0为A的特征值A可逆(C)为答案.2. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则(A) 对任意, 都是A的特征向量.(B) 存在常数, 是A的特征向量.(C) 当时, 不可能是A的特征向量.(D) 存在惟一的一组常数, 使是A的特征向量.解. 为A的二个相异的特征值
3、, 所以存在非零向量, 满足. 而且线性无关. 假设存在 l 满足: 所以 , 即 因为 线性无关, 所以 = 0, ; = 0, . 和矛盾. 所以(C)为答案.3. 设是n阶矩阵A的特征值, 且齐次线性方程组的基础解系为, 则A的属于的全部特征向量是(A) (B) (C) (为任意常数) (D) (为不全为零的任意常数)解. 因为齐次线性方程组的基础解系为, 所以方程组的全部解为(为任意常数). 但特征向量不能为零, 则A的属于的全部特征向量是: (为不全为零的任意常数), (D)为答案.4. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则有是(A) 线性相关 (B) 线性
4、无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量解. (B)是答案.5. 与n阶单位矩阵E相似的矩阵是(A) 数量矩阵 (B) 对角矩阵D (主对角元素不为1)(C) 单位矩阵E (D) 任意n阶矩阵A解. 令. 所以. 所以(C)是答案.6. 是n阶方阵, 且, 则(A) 的特征矩阵相同 (B) 的特征方程相同(C) 相似于同一个对角阵 (D) 存在正交矩阵T, 使得解. , 则存在可逆方阵P, 使得. 所以 所以的有相同的特征方程, (B)是答案.三. 计算证明题1. 设是矩阵的特征值, 求: i. t的值; ii. 对应于的所有特征向量.解. 当 时, . 所以t为任意实数.i. 时
5、所以 . 方程组基础解系所含解向量个数为 相应的方程组为. 取. 所以解向量为, 对应于的全部特征向量为;ii. 时 所以 . 方程组基础解系所含解向量个数为 相应的方程组为. 取. 所以解向量为, 对应于的全部特征向量为.2. 求n阶矩阵的特征值与特征向量.解. , 所以方程组 的基础解系所含解向量个数为 .相应的方程组为 , 令, 得解向量于是对应于 的全部特征向量为 ().3. 假定n阶矩阵A的任意一行中, n个元素的和都是a, 试证是A的特征值, 且(1, 1, , 1)T是对应于的特征向量, 又问此时的每行元素之和为多少?解. 假设, 且所以 为A的特征值, 对应的特征向量为(1,
6、1, , 1)T.因为A可逆, 所以为的特征值, 对应的特征向量也是(1, 1, , 1)T.即 . 所以的每行和为.4. 设均是n阶方阵, 且, 证明有公共的特征向量.解. 考察方程组. . 所以方程组有非零解 a则解向量a为A, B的公共特征向量, 对应的特征值为.5. 设三阶矩阵A满足, 其中列向量, , 试求矩阵A.解. 矩阵所以 , 所以 =6. 设矩阵A与B相似, 其中, ,i. 求x 和y的值; ii. 求可逆矩阵P, 使得.解. 因为A相似于B, 所以|A| = |B|, 所以; 且, 所以. 得 . 由B的表达式知: A的二个特征值为 i. , , 方程组的基础解系只有一个解
7、向量.相应的方程组为, 取得特征向量: ii. , , 方程组的基础解系有二个解向量.相应的方程组为 , 取 , 取 得二个线性无关的特征向量: . 所以矩阵 7. 设矩阵, 矩阵, 其中k为实数, E为单位矩阵, 求对角矩阵L, 使得B与L相似, 并求k为何值时, B为正定矩阵.解. 解得 . 其中为二重根.当 时, , 所以方程组 的基础解系有二个解向量, 所以B可以对角化. 即 B相似于对角矩阵: .时, B的特征值都为正, 此时, B为正定阵.8. 设n阶矩阵A的特征值为1, 2, , n, 试求.解. 因为A的特征值为1, 2, , n, 所以2A + E的特征值为 . 所以.9.
8、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计, 然后将熟练工支援其它生产部门, 其缺额由招收新的非熟练工补齐. 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工, 设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和, 记成向量i. 求与的关系式并写出矩阵形式: = A;ii. 验证, 是A的两个线形无关的特征向量, 并求出相应的特征值;iii. 当 = 时, 求.解. i. 由题设可得以下递推关系:第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和, 熟练工的, 即支援其它生产部门, 缺额招收新的非熟练工, 所以总的非熟练工为.到第n + 1年, 其中的成为熟练工, 还是非熟练工. 所以得到 , 即 所以 , ii. , , 所以是A的特征向量, 相应的特征值为;, 所以是A的特征向量, 相应的特征值为.iii. 假设, 则, 所以所以 =12. 设是方阵A的两个不同的特征值, 是A的对应于的线性无关的特征向量, 是A的对应于的线性无关的特征向量, 证明,线性无关.解. 由题设知: ; 假设 ,所以 于是 所以 所以 因为 , 所以因为 线性无关, 所以 所以 因为 线性无关, 所以 即 ,线性无关.10