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1、 2020 年高考理科数学立体几何题型归纳与训练【题型归纳】题型一线面平行的证明13例 1 如图，高为 1 的等腰梯形 ABCD 中，AMCD AB1.现将AMD 沿 MD 折起，使平面 AMD平面 MBCD，连接 AB，AC.试判断：在 AB 边上是否存在点 P，使 AD平面 MPC?并说明理由13【答案】当 AP AB 时，有 AD平面 MPC.理由如下：AP 1AD平面 MPC，PN平面 MPC，AD平面 MPC.【解析】线面平行，可以线线平行或者面面平行推出。此类题的难点就是如何构造辅助线。构造完辅助线，证明过程只须注意规范的符号语言描述即可。本题用到的是线线平行推出面面平行。【易错点
2、】不能正确地分析 DN 与 BN 的比例关系，导致结果错误。【思维点拨】此类题有两大类方法：1. 构造线线平行，然后推出线面平行。此类方法的辅助线的构造须要学生理解线面平行的判定定理与线面平行的性质之间的矛盾转化关系。在此，我们需要借助倒推法进行分析。首先，此类型题目大部分为证明题，结论必定是正确的，我们以此为前提可以得到线面平行。再次由线面平行的性质可知，过已知直线的平面与已知平面的交线必定平行于该直线，而交线就是我们要找的线，从而做出辅助线。从这个角度上看我们可以看出线线平行推线面平行的本质就是过已知直线做一个平面与已知平面相交即可。如本题中即是过 AD 做了一个平面 ADB与平面 MPC
3、 相交于线 PN。最后我们只须严格使用正确的符号语言将证明过程反向写一遍即可。即先证1 AD 平行于 PN，最后得到结论。构造交线的方法我们可总结为如下三个图形。PABABABDEDECDP方法二方法三方法一2. 构造面面平行，然后推出线面平行。此类方法辅助线的构造通常比较简单，但证明过程较繁琐，一般做为备选方案。辅助线的构造理论同上。我们只须过已知直线上任意一点做一条与已知平面平行的直线即可。可总结为下图ABC方法一例 2 如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB平面 BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点【答案】解法一：(1)证明：如
4、图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，由四边形 ABCD 是矩形得，2 ABCD，ABCD，所以 GHDF，且 GHDF，从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GFDH.又 DH平面 ADE，GF平面 ADE，所以 GF平面 ADE.解法 2：(1)证明：如下图，取 AB 中点 M，连接 MG，MF.又 G 是 BE 的中点，可知 GMAE.又 AE平面 ADE，GM平面 ADE，所以 GM平面 ADE.在矩形 ABCD 中，由 M，F 分别是 AB，CD 的中点得 MFAD.又 AD平面 ADE，MF平面 ADE，【解析】解法一为构造线线平行，解法二为构造面面平行。【易错点】线段比
5、例关系【思维点拨】同例一题型二 线线垂直、面面垂直的证明例 1 如图，在三棱锥 P ABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAAB=BC=2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面 BDE平面 PAC【答案】(1)证明：因为 PAAB，PABC，ABBCB，所以 PA平面 ABC.又因为 BD平面 ABC，所以 PABD.(2)证明：因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以 BDAC.由(1)知，PABD，又 ACPAA，所以 BD平面 PAC.因为 BD平面 BDE，所以平面 BDE平面 PAC.【解析】(一)找突破口第(1)问：欲证线
6、线垂直，应转化到证线面垂直，再得线线垂直；第(2)问：欲证面面垂直，应转化到证线面垂直，进而转化到先证线线垂直，借助(1)的结论和已知条件可证；(二)寻关键点有什么想到什么注意什么信息：PAAB，PABC线面垂直的判定定理，可证 (1)证明线面平行的条件：一3 PA平面 ABC直线在平面外，一直线在平面的中点可得 BDAC(2)证明线面垂直时的条件：证明线线垂直，可转化到证明 直线垂直于平面内两条相交一直线垂直于另一直线所在 直线(3)求点到面的距离时要想到借助锥体的“等体积性”平面，再由线面垂直的定义可得面面垂直的判定定理，线线垂直线面垂直面面垂直线面平行的性质定理，线面平行，则线线平行，可
7、得 PADE【易错点】规范的符号语言描述，正确的逻辑推理过程。【思维点拨】(1)正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；在证明线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，这些都可以作为条件直接应用(2)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行(3)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决(4)证明
8、的核心是转化，空间向平面的转化，面面线面线线题型三 空间向量例 1 如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD = CBD ，AB=BD.(1)证明：平面 ACD平面 ABC；(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D AE C 的余弦值4 【答案】(1)证明：由题设可得，ABDCBD，从而 ADDC.又ACD 是直角三角形，所以ADC90.取 AC 的中点 O，连接 DO，BO，则 DOAC，DOAO.又因为ABC 是正三角形，所以 BOAC.所以DOB 为二面角 D AC B 的平面角在
9、 RtAOB 中，BO AO AB .222又 ABBD，所以 BO DO BO AO AB BD ，222222故DOB90.所以平面 ACD平面 ABC.(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD 两两垂直以 O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴正方向，| OA |为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz，则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)12由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，从 而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的123 1 距离的 ，即 E 为 DB 的中点，得 E 0， ， .
10、故 AD (1，0,1)， AC (2,0,0)， AE 1， ， .2 2 2 2 3 1设 n(x ，y ，z )是平面 DAE 的法向量，111x z 0，1 1n AD 0，3 3则即可取 n 1， ，1 .31x y z 0.1 1 1n AE 0，222x 0，2m AC 0，即设 m(x ，y ，z )是平面 AEC 的法向量，则312222x y z 0，2 2 2m AE 0，2可取 m(0，1， 3)nm33 377则 cosn，m .|n|m|2123由图知二面角 D AE C 为锐角，7所以二面角 D AE C 的余弦值为 .7【解析】(一)找突破口5 第(1)问：欲证
11、面面垂直，应转化去证线面垂直或证其二面角为直角，即找出二面角的平面角，并求其大小为 90；第(2)问：欲求二面角的余弦值，应转化去求两平面所对应法向量的夹角的余弦值，即通过建系，求所对应法向量来解决问题(二)寻关键点有什么想到什么注意什么的直角(1)建系时要证明哪三条线两两垂直，进而可作为坐标轴(2)两平面法向量的夹角不一定是所求的二面角，也有可能是两法向量夹角的补角，因此必须说明角的范围边角相等关系可证两三角形全等，进而可证 ADDC，ADC90信息： ABDCBD，ABBD或定义法由体积的大小关系转化到点到面的距离的大小关系，进而知点 E 为 DB 的中点信息：体积相等【易错点】正确建立空
12、间直角坐标系，确定点的坐标，平面法向量的计算。【思维点拨】1利用空间向量求空间角的一般步骤(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标；(3)结合公式进行论证、计算；(4)转化为几何结论2求空间角应注意的 3 个问题(1)两条异面直线所成的角 不一定是直线的方向向量的夹角 ，即 cos |cos |.(2)直线与平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意函数名称的变化(3)两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角【巩固训练】题型一线面平行的证明如图，在正方体 ABCDA B C D 中，S 是 B D
13、 的中点，E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中点，求1.1 11111证：6 (1)直线 EG平面 BDD B ；11(2)平面 EFG平面 BDD B .11【答案】详见解析【解析】(1)如图，连接 SB，E、G 分别是 BC、SC 的中点，EGSB.又SB平面 BDD B ，EG平面 BDD B ，直线 EG平面 BDD B .11111 1(2)连接 SD，F、G 分别是 DC、SC 的中点，FGSD.又SD平面 BDD B ，FG平面 BDD B ，FG平面 BDD B ，11111 1又 EG平面 EFG，FG平面 EFG，EGFGG，平面 EFG平面 BDD B .112.如
14、图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，且 PA2，E 是侧棱 PA 上的中点求证：PC平面 BDE； 又 E 是 PA的中点，PCOE.PC平面 BDE，OE平面 BDE，PC平面 BDE.3.如图，在四棱柱 ABCDA B C D 中，底面 ABCD 是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M 是线段1111AB 的中点求证：C M平面 A ADD ；111【答案】详见解析11111因为 CDC D ，CDC D ，1111111111因此 C MD A，又 C M平面 A ADD ，D A平面 A ADD ，11111111所以 C M平面 A AD
15、D .111题型二 线线垂直、面面垂直的证明1.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点(1)证明：CDAE；(2)证明：PD平面 ABE；【答案】详见解析【解析】(1)在四棱锥 PABCD 中，因为 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，故 PACD，ACCD，PAACA，8 CD平面 PAC，而 AE平面 PAC，CDAE，(2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA，E 是 PC 的中点，AEPC，由(1)知，AECD，且 PCCDC，所以 AE平面 PCD，而 PD平面 PCD，AEPD，PA底面 A
16、BCD，PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD，ABAD，ABPD，又ABAEA，综上可得 PD平面 ABE.2.如图，在三棱锥 PABC 中，PAPBPCAC4，ABBC2 2.求证：平面 ABC平面 APC；【答案】详见解析【解析】(1)证明：如图所示，取 AC 中点 O，连接 OP，OB.22222OP OB 12416PB ，OPOB.222ACOBO，OP平面 ABC.OP平面 PAC，平面 ABC平面 APC.3.如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，AB2AD2，BD 3，PD底面 ABCD.证明：平面 PBC平面 PBD；9 【答案】详见解析【解析】
17、(1)证明：Q CB =1,CD = 2, BD = 3CD BC BD ，BCBD.222，又PD底面 ABCD，PDBC.又PDBDD，BC平面 PBD.而 BC平面 PBC，平面 PBC平面 PBD.题型三空间向量1 111是棱 AA 的中点如图所示11【答案】详见解析uuuuruuur11uuur于是， DC (2,0,2)， DC (2,0，2)， DB (2，2，2)1uuuur uuuruuuur uuurDC0，11因此，DC DC，DC DB.111(2)设 n(x，y，z)是平面 ABD 的法向量，uuuruuurx1，2x2y0，2z0.y1，所以取 y1，可得z0，即平
18、面 ABD 的一个法向量是 n(1,1,0)uuuuruuuur由(1)知， DC 是平面 DBC 的一个法向量，记 n 与 DC 的夹角为 ，1112则 cos ， .结合三棱柱可知，二面角 ABDC 是锐角，233故所求二面角 ABDC 的大小是 .2.如图 1，在 RtABC 中，ACB30，ABC90，D 为 AC 中点，AEBD 于点 E，延长 AE 交 BC 于点 F，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，如图 2 所示10 (1)求证：AE平面 BCD；(2)求二面角 ADCB 的余弦值；(3)在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM平面 ADC？若存在，请指明
19、点 M 的位置；若不存在，请说明理由【答案】详见解析如图，以E 为坐标原点，分别以 EF，ED，EA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Exyz，不妨设 ABBDDCAD2，则 BEED1.2 3由图 1 条件计算得 AE 3，BC2 3，BF，则 E(0,0,0)，D(0,1,0)，B(0，1，0)，A(0,0， 3)，3uuuruuur 3F，0，0 ，C( 3，2,0)， DC ( 3，1,0)， AD (0,1， 3)由 AE平面 BCD 可知平面 DCB 的法3uuur uuur向量为 EA ， EA (0,0， 3)，设平面 ADC 的法向量为 n(x，y，z)
20、， 3xy0，则y 3z0.令 z1，则 y 3，x1，所以 n(1， 3，1)uuur因为平面 DCB 的法向量为 EA ，uuur55所以 cosn， EA .5所以二面角 ADCB 的余弦值为 .5uuuuruuur(3)设 AM AF ，其中 0,1uuur由于 AF 3，0， 3 ，3uuuuruuur 3所以 AM AF ，0， 3 ，其中 0,1311 uuuur uuur uuuur所以 EM3l,0,(1 l) 3= EA + AM-.3uuuur3334由 EM n0，即 (1) 30，解得 0,1所以在线段AF上存在点M使EM平面ADC，AM 3AF 4且 .3.在三棱柱
21、 ABCA B C 中，侧面 ABB A 为矩形，AB1，AA 2，D 为 AA 的中点，BD 与 AB 交1 1111111于点 O，CO侧面 ABB A .1 1(1)证明：BCAB ；1(2)若 OCOA，求直线 C D 与平面 ABC 所成角的正弦值1【答案】详见解析ADAB 22ABBB122【解析】(1)证明：由题意 tanABD ，tanAB B ，1注意到 0ABD，AB B ，21所以ABDAB B.1所以ABDBAB AB BBAB .所以 AB BD.21111又 CO侧面 ABB A ，所以 AB CO.1 11又 BD 与 CO 交于点 O，所以 AB 面 CBD.1
22、又因为 BC 面 CBD，所以 BCAB .1(2)如图，分别以OD，OB ，OC 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，以1O 为原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，3 2 3 6B 0，0 ， D，0，0 . 又 因 为 CC 2 AD ， 所 以3611uuuruuuur， DC uuur 6 2 333633 33333 6 2 333C，.所以 AB ， ，0 ， AC 0， ，.336311设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)，uuuruuur则根据 AB n0， AC n0 可得 n(1， 2， 2)是平面 ABC 的一个法向量，设直线 C D 与平面1ABC 所成角为 .则 sin3 55.5512