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1、周期3意味着混沌一沙尔可夫斯基定理抛物线映射分岔图，及其稳定和不稳定周期轨道。l 在单峰映射中，倍周期分岔表示存在2i P（i = 0,1,2,）诸偶数周期轨道。l 在混沌带中，则存在3P、5P、7P、9P、诸奇数周期轨道。这些奇数周期轨道也按倍周期进一步分岔，得到诸周期轨道。l 倍周期分岔和混沌带中周期窗口的所有周期轨道（包括周期窗口的精细结构），包括了全部nP（周期轨道）。l 当映射中的参量（如方程抛物线方程中的）取某一定值、映射结果是某稳定周期轨道nP时，实际上还同时存在许多不稳定周期轨道。然则它总共可能包含哪些（稳定和不稳定）周期轨道呢？沙尔可夫斯基定理回答了此问题。沙尔可夫斯基首先为
2、一维映射中的不同周期定义了“领先”关系，如果周期p的存在一定导致周期q存在，则称“p领先于q”，记为。在此意义上，所有自然数的领先关系为： （1）这就是沙尔可夫斯基序列。沙尔可夫斯基定理说，如果在某个一维连续映射中存在着周期p，则在序列（1）中一切排在p后面的周期都也存在。u 当分岔参量取值增大时，原来稳定的周期轨道不断地变得不稳定，并出现新的稳定轨道。但新的稳定轨道(p)的出现并不意味着原来轨道(q)不存在，而只是说原来轨道(q)是以不稳定的形式存在于新的稳定状态中。因此参量值越大，（式1中位置越靠前），状态中包含的不稳定轨道越多。这就是沙尔可夫斯基定理。u 序列（1）中最下一行的p2i就是
3、倍周期分岔的逆过程。u 序列（1）中p 2i的周期轨道就是混沌带中的奇数周期窗口，这种周期轨道实际上包含有无穷多周期轨道(q)。当然，只有p轨道自身是稳定的，其余都是不稳定的。u 如果p=3，由于3处于序列(1)的第一行最左端，因此它包含全部其他的nP(n=1,2,4,5,6,.)周期轨道。当然，这些被包含的nP周期轨道全部都是不稳定的。二周期3意味着混沌周期3意味着混沌李天岩，约克老子道德经：“一生二，二生三，三生万物”李天岩和约克进一步指出当然，除3P自身是稳定的外，所有其余周期的和非周期轨道都是不稳定的。也就是说，即使初始条件是非常靠近某一不稳定轨道，系统最终也要被吸引到稳定的3P周期轨
4、道上来。对于其他的周期轨道，情况也完全类似，对于参量的取值是，而又不属于周期轨道的情形，不同初始条件形成的不同非周期轨道便不可能趋于一个稳定的周期轨道，于是其状态变量的取值便在其定义域内不断交化，这就是混沌。Li-Yorke定理：令I为一个线段，是线段的连续自映射。设线段中存在一点，使得： 或 （不难看出，只要存在一条周期3轨道，这两串不等式就必然有一个成立），则有：1. 对于任何k1, 2, 3, , 线段I中都存在一条周期k轨道；2. I中有一个不可数子集，它不包含周期点，而且满足以下条件：A. 对于S中的任意两点， B. 对于S中每个q点和线段I中周期点p，也有（21.2）式成立。三周期
5、3意味着混沌其他的含义（1）这个定义是针对集合提出的，它表明了混沌存在可数无穷多个不稳定的周期轨道、不可数无穷多个稳定的非周期轨道、至少一个稳定的周期轨道。由于序列中存在有无穷多的不稳定轨道和至少一个稳定的周期轨道，从频域的观点来看，序列的频谱中应包含有一定区域内的所有频率分量，既具有连续的频谱。（2）充分而非必要条件混沌并不意味着周期3。因为周期3之前已经存在混沌了。（3）从前面的分析也可看出，李约克猜想也完全适用于5P、7P、9P、周期轨道，即也完全可以说：“周期5意味着混沌”、“周期7意味着混沌”、（4）周期3窗口为何没有混沌？此时混沌是不稳定吸引子。（5）周期5、7有哪些周期和不稳定轨道？5