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1、 考点 20 等腰三角形、等边三角形和直角三角形一选择题（共 5小题）1（2018湖州）如图，AD，CE 分别是ABC 的中线和角平分线若 AB=AC，CAD=20，则ACE 的度数是（）A20B35 C40 D70【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出CAB=2CAD=40，B=ACB= （180CAB）=70再利用角平分线定义即可得出ACE= ACB=35【解答】解：AD是ABC的中线，AB=AC，CAD=20，CAB=2CAD=40，B=ACB= （180CAB）=70CE是ABC的角平分线，ACE= ACB=35故选：B2（2018宿迁）若实数 m、n满足等式|m2|+
2、=0，且 m、n恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长是（A12 B10 C8）D6【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据 m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解【解答】解：|m2|+m2=0，n4=0，解得 m=2，n=4，=0，当 m=2作腰时，三边为 2，2，4，不符合三边关系定理；当 n=4作腰时，三边为 2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10故选：B1 3（2018扬州）在RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，CE 平分ACD 交 AB 于 E，则下列结论一定成立的是（ ）ABC=EC BEC=BECBC=BEDAE=EC【分析】根
3、据同角的余角相等可得出BCD=A，根据角平分线的定义可得出ACE=DCE，再结合BEC=A+ACE、BCE=BCD+DCE 即可得出BEC=BCE，利用等角对等边即可得出 BC=BE，此题得解【解答】解：ACB=90，CDAB，ACD+BCD=90，ACD+A=90，BCD=ACE 平分ACD，ACE=DCE又BEC=A+ACE，BCE=BCD+DCE，BEC=BCE，BC=BE故选：C4（2018淄博）如图，在RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MNBC 交 AC 于点 N，且MN 平分AMC，若 AN=1，则 BC 的长为（）A4 B6CD8【分析】根据题意
4、，可以求得B 的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC 的长，从而可以求得 BC 的长【解答】解：在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MNBC 交 AC 于点 N，且 MN 平分AMC，AMN=NMC=B，NCM=BCM=NMC，ACB=2B，NM=NC，B=30，AN=1，2 MN=2，AC=AN+NC=3，BC=6，故选：B5（2018黄冈）如图，在RtABC 中，ACB=90，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则 CD=（）A2 B3C4D2【分析】根据直角三角形的性质得出 AE=CE=5，进而得出 DE=
5、3，利用勾股定理解答即可【解答】解：在 RtABC 中，ACB=90，CE 为 AB 边上的中线，CE=5，AE=CE=5，AD=2，DE=3，CD 为 AB 边上的高，在 RtCDE 中，CD=故选：C，二填空题（共 12 小题）6（2018成都）等腰三角形的一个底角为 50，则它的顶角的度数为 80 【分析】本题给出了一个底角为 50，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小【解答】解：等腰三角形底角相等，180502=80，顶角为 80故填 807（2018长春）如图，在ABC 中，AB=AC以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交 AC 的延长线于
6、点 D，连结 BD若A=32，则CDB 的大小为 37 度3 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在ABC 中可求得ACB=ABC=74，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在BCD 中可求得CDB=CBD= ACB=37【解答】解：AB=AC，A=32，ABC=ACB=74，又BC=DC，CDB=CBD= ACB=37故答案为：378（2018哈尔滨）在ABC 中，AB=AC，BAC=100，点D 在 BC 边上，连接 AD，若ABD 为直角三角形，则ADC 的度数为 130或 90 【分析】根据题意可以求得B 和C 的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得ADC 的度数【
7、解答】解：在ABC 中，AB=AC，BAC=100，B=C=40，点 D 在 BC 边上，ABD 为直角三角形，当BAD=90时，则ADB=50，ADC=130，当ADB=90时，则ADC=90，故答案为：130或 909（2018吉林）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作 k，若 k= ，则该等腰三角形的顶角为 36 度【分析】根据等腰三角形的性质得出B=C，根据三角形内角和定理和已知得出 5A=180，求出即可4 【解答】解：ABC 中，AB=AC，B=C，等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若 k= ，A：B=
8、1：2，即 5A=180，A=36，故答案为：3610（2018淮安）若一个等腰三角形的顶角等于50，则它的底角等于 65 【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案【解答】解：等腰三角形的顶角等于 50，又等腰三角形的底角相等，底角等于（18050） =65故答案为：6511（2018娄底）如图，ABC 中，AB=AC，ADBC 于 D 点，DEAB 于点 E，BFAC 于点 F，DE=3cm，则 BF= 6 cm【分析】先利用 HL 证明 RtADBRtADC，得 出 S =2S =2 ABDE=ABDE=3AB，又 S = ACBF，ABCABCABD将 AC=AB 代入
9、即可求出 BF【解答】解：在 RtADB 与 RtADC 中，RtADBRtADC，5 S =2S =2 ABDE=ABDE=3AB，ABC ABDS = ACBF，ABC ACBF=3AB，AC=AB， BF=3，BF=6故答案为 612（2018桂林）如图，在ABC 中，A=36，AB=AC，BD 平分ABC，则图中等腰三角形的个数是3 【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定：等角对等边解答，做题时要注意，从最明显的找起，由易到难，不重不漏【解答】解：AB=AC，A=36ABC 是等腰三角形，ABC=ACB=72，BD 平分ABC，EBD=D
10、BC=36，在ABD 中，A=ABD=36，AD=BD，ABD 是等腰三角形，在ABC 中，C=ABC=72，AB=AC，ABC 是等腰三角形，在BDC 中，C=BDC=72，BD=BC，BDC 是等腰三角形，所以共有 3 个等腰三角形故答案为：313（2018徐州）边长为 a 的正三角形的面积等于【分析】根据正三角形的性质求解【解答】解：过点 A 作 ADBC 于点 D，ADBC6 BD=CD= a，AD=a，面积则是： aa=a 214（2018黑龙江）如图，已知等边ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB 为边作等边三角形，得到第1一个等边AB C ；再以等边AB C 的 B C
11、边上的高 AB 为边作等边三角形，得到第二个等边AB C ；再11111122 2以等边AB C 的 B C 边上的高 AB 为边作等边三角形，得到第三个等边AB C ；，记B CB 的面积为322223312S ，B C B 的面积为 S ，B C B 的面积为 S ，如此下去，则 S =2（ ） n12132343n【分析】由 AB 为边长为 2 的等边三角形 ABC 的高，利用三线合一得到 B 为 BC 的中点，求出 BB 的长，111利用勾股定理求出 AB 的长，进而求出第一个等边三角形 AB C 的面积，同理求出第二个等边三角形 AB C1112 2的面积，依此类推，得到第 n 个等
12、边三角形 AB C 的面积nn【解答】解：等边三角形 ABC 的边长为 2，AB BC，1BB =1，AB=2，1根据勾股定理得：AB = ，1第一个等边三角形 AB C 的面积为1（ ） = （ ） ；2 11等边三角形 AB C 的边长为 ，AB B C ，2111 1B B =2，AB = ，117 根据勾股定理得：AB = ，2第二个等边三角形 AB C 的面积为2（ ） = （ ） ；2 22依此类推，第 n 个等边三角形 AB C 的面积为 （ ） nnn故答案为： （ ） n15（2018湘潭）如图，在等边三角形ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则BAD= 30 【分析】根
13、据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空【解答】解：ABC 是等边三角形，BAC=60，AB=AC又点 D 是边 BC 的中点，BAD= BAC=30故答案是：3016（2018天津）如图，在边长为 4 的等边ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，EFAC 于点 F，G为 EF 的中点，连接 DG，则 DG 的长为【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出 DE=2，且 DEAC，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出 EG 以及 DG 的长【解答】解：连接 DE，在边长为 4 的等边ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，DE 是ABC 的中位线，DE=
14、2，且 DEAC，BD=BE=EC=2，EFAC 于点 F，C=60，8 FEC=30，DEF=EFC=90，FC= EC=1，故 EF= ，G 为 EF 的中点，EG=DG=，=故答案为：17（2018福建）如图，RtABC 中，ACB=90，AB=6，D 是 AB 的中点，则 CD= 3 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【解答】解：ACB=90，D 为 AB 的中点，CD= AB= 6=3故答案为：3三解答题（共 2 小题）18（2018绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：例 1 等腰三角形 ABC 中，A=110，求B 的度数（答案：35）例 2 等腰三角形 ABC
15、 中，A=40，求B 的度数，（答案：40或 70或 100）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形 ABC 中，A=80，求B 的度数（1）请你解答以上的变式题9 （2）解（1）后，小敏发现，A 的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC 中，设A=x，当B 有三个不同的度数时，请你探索 x 的取值范围【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；（2）分两种情况：90x180；0x90，结合三角形内角和定理求解即可【解答】解：（1）若A 为顶角，则B=（180A）2=50；若A 为底角，B 为顶角，则B=180280=20；
16、若A 为底角，B 为底角，则B=80；故B=50或 20或 80；（2）分两种情况：当 90x180 时，A 只能为顶角，B 的度数只有一个；当 0x90 时，若A 为顶角，则B=（）；若A 为底角，B 为顶角，则B=（1802x）；若A 为底角，B 为底角，则B=x当1802x 且 1802xx 且x，即 x60 时，B 有三个不同的度数综上所述，可知当 0x90 且 x60 时，B 有三个不同的度数19（2018徐州）（A 类）已知如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，AD=CD，求证：A=C（B 类）已知如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，A=C，求证：AD=CD【分析】（A 类）连接 AC，由 AB=AC、AD=CD 知BAC=BCA、DAC=DCA，两等式相加即可得；（B 类）由以上过程反之即可得【解答】证明：（A 类）连接 AC，10 AB=AC，AD=CD，BAC=BCA，DAC=DCA，BAC+DAC=BCA+DCA，即A=C；（B 类）AB=AC，BAC=BCA，又A=C，即BAC+DAC=BCA+DCA，DAC=DCA，AD=CD11