《人教A版数学必修四第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式一导学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版数学必修四第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式一导学案.docx（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、.3.1.2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标.1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.知识点一.两角和的余弦公式思考.如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案.用代换cos()coscossinsin中的便可得到.梳理公式简记符号使用条件cos()coscossinsinC()，都是任意角答案.sin()cos()coscoscossinsin记忆口决：“余余正正，符号相反”.知
2、识点二.两角和与差的正弦公式思考1.如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？2222sincoscossin.思考2.怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？答案.用代换，即可得sin()sincoscossin.梳理内容简记符号两角和的正弦S()两角差的正弦S()sin()公式形式sincoscossin.sin()sincoscossin.记忆口诀：“正余余正，符号相同”.类型一.给角求值例1.(1)化简求值：sin(x27)cos(18x)sin(63x)sin(x18).解.(1)原式sin(x27)cos(18x)cos(x27)sin(x18)sin(x27)c
3、os(18x)cos(x27)sin(18x)sin(x27)(18x)sin4522.cos202cos20sin50sin20cos30(2).1答案.sin(2030)sin20cos30解析.原式sin30.sin20cos30cos20sin30sin20cos30cos20cos20sin301cos2022反思与感悟.(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.跟踪训练1.计算：(1)sin14cos16s
4、in76cos74；(2)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x).解.(1)原式sin14cos16sin(9014)cos(9016)sin14cos16cos14sin161sin(1416)sin30.(2)原式sin(54x)(36x)sin901.类型二.给值求值例2.已知sin3，cos，且03解.0，534134544344.，求cos().33，0.5，cos，33413454424又sin43，sin.cos1312445cos()sin()2344sin33sincoscossin44445312433.跟踪训练2.已知，cos()，sin()，求
5、cos2与cos解.，0，.13513565反思与感悟.(1)给值(式)求值的策略当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.3123241352的值.324342sin()1cos2()125131312，cos()1sin2()34512.5412353351351365cos2cos()()cos()cos()sin()sin()，.4123563513513
6、65(2)2sin(x)cos(x).cos2cos()()cos()cos()sin()sin().类型三.辅助角公式命题角度1.用辅助角公式化简例3.将下列各式写成Asin(x)的形式：(1)3sinxcosx；64444sinxcosx)解.(1)3sinxcosx2(31222(cossinxsincosx)2sin(x).666sin(x)cos(x)(2)原式21322424sinsin(x)coscos(x)cos(x)cos(x)sin(x).22646422252462122121212方法一.原式2cossinsincos1231232sincoscossin2sin2si
7、n2.反思与感悟.一般地对于asinbcos形式的代数式，可以提取a2b2，化为Asin(x)的形式，公式asinbcosa2b2sin()(或asinbcosa2b2cos()称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.跟踪训练3.sin3cos.答案.213解析.原式2sincos.2122123123121234.方法二.原式2sinsincoscos6126122coscossinsin6122cos2cos2.例4.已知函数f(x)2sinx2cosx，x，求函数f(x)的值域.解.f(x)2sinx2cosx3sinxcosx2sinx，因为x，所以x.所以sinx1.
8、(2)函数f(x)sinxcosx的值域为.6解析.(1)y2sin(x)，0x2，x，当x，即x时，ymax2.3(2)f(x)sinx3cosxsinxsinxcosx3sin(x)，.61261246命题角度2.求函数值域(最值)26562366126所以函数f(x)的值域为1，2.反思与感悟.(1)用辅助角公式化成一角一函数，即asinxbcosxa2b2sin(x)的形式.(2)根据三角函数的单调性求其值域.跟踪训练4.(1)当函数ysinx3cosx(0x2)取得最大值时，x；65答案.(1).(2)3，33533352612233226f(x)3，3.12121.计算2cos6s
9、in的值是(.)A.2B.2C.22D.22解析.2cos6sin22(cossin)61261222sincoscossin61222sin22sin2.答案.B1312122122124，sinB，则cosC等于(.)2.在ABC中，已知cosA531356565C.或656516A.1616656516B.5616D.或解析.cosAcos60，60A90，sinB120，AB180，矛盾，124135cosCcos(AB)cos(AB)，cosCcos(AB)(cosAcosBsinAsinB)3.sin20cos10cos160sin10等于(.)311B.C.D.答案.D解析.si
10、n20cos10cos160sin10sin20cos10cos20sin10sin130.2510510.45.化简：sin3xcos3xcos3xsin3x.sin3x3x解析.，为锐角，sin，cos，cos5，sin.55105102又0，.解.原式sin3xcos3xsin3xcos3xsinsincoscossin432122224C()C()S()S().3答案.2510510310510cos()coscossinsin10253102.34436443344343432326.1.公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系以代换诱导公式以代换(2)注意公式的结构特征和符号规律
11、对于公式C()，C()可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S()，S()可记为“异名相乘，符号同”.(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C()，C()，S()，且公式sin()sincoscossin，角，的“地位”不同也要特别注意.2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.别要注意的是“1”的代换，如1sin2cos2，1sin90，cos60，sin22231.已知，sin，则sin等于(.).(3)注意常值代
12、换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特132212360等，再如：0，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.课时作业一、选择题245A.2B.721010C.72或D.解析.由，得，272101010答案.B3524444所以cos41sin234512.5所以sinsinsincoscossin2344442554447210，故选B.2.sin10cos20sin80sin20等于(.)A.3221B.D.3C.122答案.C解析.sin10cos20sin80sin20.23.在ABC中，A，cosB，则sinC等于(.).sin10cos
13、20cos10sin201sin(1020)sin30，故选C.10410A.255525B.D.5C.555答案.A解析.sinCsin(AB)sin(AB)(cosB1cos2B)sinAcosBcosAsinB2210231021010255.4.已知0，又sin，cos()，则sin等于(.)3425525A.024B.0或25C.242524D.0或解析.0，sin，cos()，cos，sin()或5sin()coscos()sin或0.，sin.答案.C3443255553.sinsin()2425242255.在ABC中，若sinA2sinBcos，则ABC是(.)A.锐角三角形
14、C.钝角三角形答案.D解析.A180(BC)，sinAsin(BC)2sinBcosC.B.直角三角形D.等腰三角形.76.已知cossin，则sin的值为(.).又sin(BC)sinBcosCcosBsinC，sinBcosCcosBsinCsin(BC)0，则B，故ABC为等腰三角形.6565B.2323A.554C.D.4543解析.cossin，coscossinsinsin，3cossin，即cossin，4654sinsin.答案.6答案.C6543665343134225225sin.665二、填空题7.sin15sin75的值是.2解析.sin15sin75sin(4530)
15、sin(4530)2sin45cos3062.8.已知cos()sin()，则tan.9.sin27cos45sin18.cos(4518)sin45sin18sin45cos18cos45sin18cos45sin1833答案.1cos27sin45sin18答案.1sin(4518)cos45sin18解析.原式cos45cos18sin45sin18sin45sin18.10.已知A(3，0)，B(0，3)，C(cos，sin)，若ACBC1，则sin()答案.2解析.AC(cos3，sin)，BC(cos，sin3)，ACBC(cos3)cossin(sin3)132(2sincos)
16、132sin()1，sin().11.已知sin5，sin()，均为锐角，求的值.tan451.4.3cos23cossin23sin13(sincos)2224243三、解答题10510，cos.解.为锐角，sin525550，所以0.所以sin1cos2，cos()1sin2()，531025510510105310255105102又因为(0，)，所以.225531010cos(2)cos()coscos()sinsin()102.(2)coscos()coscos()sinsin()102.24.14，02，14.定义运算adbc.若cos，cdcoscos3解析.由题意，得sinco
17、scossin，sin().0，.四、探究与拓展ab1sinsin337则.答案.33143314219614cos()27131.又由cos，得sin.coscos()coscos()sinsin()33，.532122.15.已知函数f(x)Asinx，xR，且f(2)若f()f()3，0，求f().14377113437147114233(1)求A的值；26解.(1)由f55Asin312123A232Asin，可得A3.则3sin3sin3，即3sincos3cossin3，422(2)f()f()3，3331221322故sin33.因为0，所以cos，所以f()3sin3sin3cos6.6236632.