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1、 数列综合测试题一、选择题（每小题 5 分，共计 40 分）题目12345678答案DDBADBBC二、填空题1215 333-9 2510 10 11_7412 2n-11314三、解答题= 0 a + a = -1015（辽宁理 17） 已知等差数列a 满足 a，n268a （I）求数列a 的通项公式；（II）求数列 的前 n 项和n2 nna + d = 0 =a 1解：（I）设等差数列a 的公差为 d，由已知条件可得 解得 112a +12d = -10= -1dn1= 2 - n故数列a 的通项公式为an5 分na a22an2n-1（ II）设数列 的前 n 项和为，即 S，故S=
2、 a + + +S =1，1n2 nnn1Sa aan 1时，= + + +，所以，当nn122 2 222n- nSa - a a - aa - aa1 112= a + +-1- ( + + +2 4) -n2132nn-1n22222n2n2n-12n112 - n nn=1- (1-) -=S =，所以2n-12n2n2n-1na n=综上，数列 的前 n 项和为 S12 分n2 2n-1nn133=16（福建理 16） 已知等比数列a 的公比 q=3，前 3 项和 S。n3（I）求数列a 的通项公式；npjjp在= Asin(2x + ) (A 0,0 p ) x =（II）若函数
3、f (x)处取得最大值，且最大6值为 a ，求函数 f（x）的解析式。3本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分 13 分。 13 a (1-3 ) 13131= 33= 3 S =3n-1 3n-2解：（I）由 q，得解得 a，所以a11-33331n= 3a = 3因为函数 f (x)3（II）由（I）可知 a，所以的最大值为 3，所以 A=3。n-2nppj=f (x)sin(2 + ) =1因为当 x时取得最大值，所以66ppj p 0，故 q31+ 3a =1 2a + 3a q =1a =1由 2a得，所以312111=故数列an的通项
4、式为 a3nnn(n +1)（ ）b = log a + log a + + log a = -(1+ 2 + + n) = -2n31323n1211= -= -2( -)故bnn(n +1)n n +11 1111 1112n+ +.+ = -2(1- ) + ( - ) +.+ ( -) = -b b1bn22 3n n +1n +12 12n-所以数列 的前 n 项和为b nn +118（本小题满分 14 分）某外商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂，第一年需各种经费为 12 万元，从第二年开始每年所需经费均比上一年增加 4 万元，该加工厂每年销售蔬菜总收入为50 万元（I）
5、若扣除投资及各种经费，该加工厂从第几年开始纯利润为正？（II）若干年后，外商为开发新项目，对加工厂有两种处理方案： （1）若年平均纯利润达到最大值时，便以 48 万元的价格出售该厂；（2）若纯利润总和达到最大值时，便以 16 万元的价格出售该厂问：哪一种方案比较合算？请说明理由解：由题设知，每年的经费是以12 为首项，4 为公差的等差数列 设纯利润与年数的关系为n(n -1)f (n) ， 则 f (n)= 50n -12n + 4 - 72 = -2n + 40n - 7222 0 -，+- 2n2 40n 72 0（I）获纯利润就是要求 f (n)- 20n + 36 0， 2 n 18
6、Q ， = ， ， ，即n2， n Nn 3 4 5 17 ，从第 3 年开始获利6 分f (n) -2n2 + 40n - 7236= 40 - 2(n + )n=（II）（1）年平均纯利润，nn3666Qn += ( n) + ( ) = ( n -) +12 12,当且仅当n = 6时，取“=”号，222nnn36 -（2 n + ） -212,f (n)36= 40 - 2(n + ) 40 - 212 = 16，nnn16 6 + 48 = 144（万元），此时n = 6第（1）种方案共获利 9 分= -2(n - 10) + 128（2） f (n)，2= 10=128 当n时，
7、f (n)m a x故第（2）种方案共获利128+16 = 144（万元）12 分比较两种方案，获利都为 144 万元，但第（1）种方案需 6 年，而第（2）种方案需 10 年，故选择第（1）种方案 14 分3x=a = f (a ),n N，数列a 满足 a 1， ，19（本题 14 分）已知函数 f (x)*2x + 3n1n+1n（）求：数列a 的通项公式；nm - 2002= a a (n 2) b = 3 S = b + b + + b（）令 b，若 S对一切nn-1n1n12nn2n N*成立，求最小正整数 m。3=解：（）（略解） a；4 分6 分7 分2n +1n9 1(1 2
8、=时，b a a=-（）当 n当 n)2 2n -1 2n +1nn-1 n=1时，上式同样成立 91 1 11191S = b + b + + b = (1- + - + +-) = (1-) 10 分23 3 52n -1 2n +1 22n +1n12nm - 20029，即 (11m - 2 0 0 2S -)n N*成立，对一切11 分2122n + 12n9又 (1919-)(1-) 0=，数列a 满足 a b ，a=(n 2) 20（广东理 20） 设bn-1a + 2n - 2n-1n1n（1）求数列a 的通项公式；nbn+12n+1+1（2）证明：对于一切正整数 n， an解
9、：nban 1 2 n-1= b 0a = 0，= + a b b a（1）由 a，知n-1a + 2n - 2n-11nnn-1n1=A =1令 A，aann11 2 2A = + A当 n时，b bn-1n1 22n-2 2n-11 2A = + + +b b22n-2 2n-1= + + +b b2+bn-1 bn-1+.bbn1n 1-当b 2时，1 2 n(1-) b - 2nb b nA =,2b (b 2)-nn1-b；n= 2A =当b时，2nnb (b 2)-n,b 2a = b 2-nnn2,b = 2nb (b - 2) bbn+1b - 2nn 2=+1，只需证 nb
10、(+1)（2）当b时，（欲证 a）n+12n+1nb - 2n2n+1b - 2nn b - 2nn(2 + b )= (2 + b )(b + 2b + + 2 )n+1n+1n+1n+1n-1n-2n-1b - 2= 2 b + 2 b + + 2 + b + 2b+ + 2 bn+1 n-1n+2 n-22n2n2n-1n-1 n+12 222 bbn-1bnn= 2 b ( + + + + + + )nn2n2n-12b bbn2nb (b - 2) bnn+1n+1a = 2 b (2 + 2 + + 2) = 2n 2 b = n 2 bbn- 2n2nnnnn+1nn，bn+12n+1= 2= 2 =时， a+1而当bnbn+12n+1+1综上所述，对于一切正整数 n an