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1、 .1.直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角 是角度(0，180)，是倾斜度的直接体现；斜率 k 是实数(k(，)，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.(2)倾斜角与斜率的对应关系：当 90时，直线的斜率不存在；当 90时，斜率 ktan ，y y且经过两点 A(x ，y )，B(x ，y )(x x )的直线的斜率 k 21.x x112212AB21(3)当 由 090180(不含 180)变化时，k 由 0(含 0)逐渐增大到(不存在)，然后由(不存在)逐渐增大到 0(不含 0).2.直线方程的五种形式及比
2、较名称方程常数的几何意义适用条件点斜式yy k(xx )(x ，y )是直线上的一个直线不垂直于 x 轴0000. .定点，k 是斜率k 是斜率，b 是直线在 yykxb轴上的截距(x ，y )，(x ，y )是直 直线不垂直于 x 轴和 y11221 线上的两个定点轴2121直线不垂直于 x 轴和 y轴，且不过原点垂直于 x 轴且过点(a,0)垂直于 y 轴且过点(0，b)特殊直线解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2B20，必要
3、时要对特殊情况进行讨论.3.两直线平行与垂直的条件l ：A xB yC 0，1111111直线方程2222222l l A B A B 0，12122 1平行的等价条件垂直的等价条件1212121221l l k k 1l l A A B B 0121212121 2由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程.4.距离问题类型已知条件两点间的距离()2 (112221200d00l：AxByC0l ：AxByC 0，l ：AxBy112d21A B22C 0(A，B 不同时为 0)2学
4、习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.5.直线系方程直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成. .一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：(1)过定点 P(x ，y )的直线系方程是：yy k(xx )(k 是参数，直线系中未包括直线 xx )，00000也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线 AxByC0 的直线系方程是：AxBy0( 是参数，C)；(3)垂直于已知直线 AxByC0 的直线系方程是：BxAy
5、0( 是参数)；(4)过两条已知直线 l ：A xB yC 0 和 l ：A xB yC 0 的交点的直线系方程是：A x111122221B yC (A xB yC )0( 是参数，当0 时，方程变为A xB yC 0，恰好表11222111示直线 l ；当 0 时，方程表示过直线 l 和 l 的交点，但不含直线 l 和 l 的任一条直线).112126.对称问题对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称.(1)中心对称两点关于点对称，设 P (x ，y )，P(a，b)，则 P (x ，y )关于 P(a，b)对称的点为 P (2a1111112x 2by )，即 P 为线段 P
6、P 的中点.特别地，P(x，y)关于原点对称的点为 P(x，y).1,11 2两直线关于点对称，设直线l ，l 关于点 P 对称，这时其中一条直线上任一点关于点P 对12称的点在另一条直线上，并且 l l ，P 到 l ，l 的距离相等.1212(2)轴对称两点关于直线对称，设 P ，P 关于直线 l 对称，则直线 P P 与 l 垂直，且线段 P P 的中121 21 2点在 l 上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.两直线关于直线对称，设 l ，l 关于直线 l 对称.12当三条直线 l ，l ，l 共点时，l 上任意一点到 l ，l 的距离相等，并且 l ，l 中一条直线上12
7、1212任意一点关于 l 对称的点在另外一条直线上；当 l l l 时，l 与 l 间的距离等于 l 与 l 间的距离.12127.圆的方程(1)圆的标准方程：(xa) (yb) r ，其中圆心是 C(a，b)，半径是 r.特别地，圆心在原222点的圆的标准方程为 x2y2r2.圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r 或 D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用
8、圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.8.点与圆的位置关系(1)点在圆上. .如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上若点的坐标满足 F(x，y)0，则该点在圆外；若满足 F(x，y)0，则该点在圆内.点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若 P 点是圆 C 外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d |PC|r；最小距离：maxd |PC|r.min9.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组
9、，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为 dr，最小距离为 dr，其中 d 为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.若切线所过点(x ，y )在圆 x2y2r2 上，则切线方程为 x xy yr2；若点(x ，y )在圆(x000000a)2(yb)2r2 上，则切线方程为 (x a)(xa)(y b)(yb)r2.00若切线所过点(x ，y )在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜00
10、率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线 l：AxByC0(A，B 不同时为 0)与圆 C：x y DxEyF0(D E 4F22220)的交点的圆系方程是 x2y2DxEyF(AxByC)0， 是待定的系数.10.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距 d 与半径 r，R 的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆 C ：x y D xE yF 0 与圆 C ：x y
11、D xE yF 0 的交点的直线方程222211112222为(D D )x(E E )yF F 0.12121211.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组 (x，y，z)一一对应.(2)空间中 P (x ，y ，z )，P (x ，y ，z )之间的距离|P P | (x x ) (y y ) (z z ) .2221111222212121212(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对. .称点.题型一.直线的方程(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能
12、根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况.(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单.例 1.过点 P(1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，求这两条直线的方程.解.(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为 k，则两条直线的方程分别为 yk(x1)，ykx2.2令 y0，分别得 x1，x .k2由题意 1 1，即 1.kk则直线的方程为 yx1，yx2，即 xy10，xy20综上可知，所求的直线
13、方程为 x1，x0，或 xy10，xy20.跟踪演练 1.将直线的方程 x2y60：(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在 y 轴上的截距；(2)化成截距式，并指出它在 x 轴、y 轴上的截距.112解.(1)将原方程移项得 2yx6，两边同除以 2，得斜截式 y x3，因此它的斜率 k ，2在 y 轴上的截距为 3.xy(2)将原方程移项得 x2y6，两边同除以6，得截距式 1.由方程可知，直线在63x 轴、y 轴上的截距分别为6,3.题型二.直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题
14、时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.例 2.已知两条直线 l ：axby40，l ：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的 a、b12的值.(1)直线 l 过点(3，1)，并且直线 l 与直线 l 垂直.112. .(2)直线 l 与直线 l 平行，并且坐标原点到 l 、l 的距离相等.1212解.(1)l l ，a(a1)(b) 10.12即 a2ab0又点(3，1)在 l 上，13ab40.由解得 a2，b2.(2)l l 且 l 的斜率为 1a，122aal 的斜率也存在， 1a，即 b1a.1b故 l 和 l 的方程可分别表示为124(a1)l
15、(a1)xy0，1aal ：(a1)xy0.1a2原点到 l 与 l 的距离相等，12 1 a 23a4，解得 a2 或 a . 1aa232，2 ，aa因此或bb2.跟踪演练 2.已知直线 l ：ax2y60 和直线 l ：x(a1)ya210.12(1)试判断 l 与 l 是否平行；12(2)l l 时，求 a 的值.12解.(1)若 l l ，12(a1)210，a则a(a21)610.a1.a1 时，l l .12(2)当 l 的斜率不存在时，a1.2则 l ：x0，l ：x2y60.21显然 l 与 l 不垂直.12当 l 斜率存在时，a1.21a2则 k ，k .1a211 al
16、l ，k k 1. 21a12122a .3. .题型三.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.例 3.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：(x3)2(y1)24 和圆 C ：(x4)212(y5)24.(1)若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方
17、程；1(2)设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l 和 l ，它们分别与12圆 C 和圆 C 相交，且直线l 被圆 C 截得的弦长与直线 l 被圆 C 截得的弦长相等，试求所121122有满足条件的点 P 的坐标.解.(1)由于直线 x4 与圆 C 不相交，所以直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 yk(x4)，1圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 d，因为直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3，所以 d 22( 3)211|1k(34)|1k21.由点到直线的距离公式得 d1，从而 k(24k7)0.724即 k0 或 k ，所以直线 l 的方程为 y
18、0 或 7x24y280.(2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线l 的方程为 ybk(xa)，k0，则直线l 的方程为121yb (xa).因为圆 C 和圆 C 的半径相等，且直线l 被圆 C 截得的弦长与直线 l 被圆k12112C 截得的弦长相等，所以圆 C 的圆心到直线 l 的距离和圆 C 的圆心到直线 l 的距离相等，21122即15 (4a)b|1k(3a)b|1k2k，11k2整理得|13kakb|5k4abk|，从而 13kakb5k4abk 或 13kakb5k4abk，即(ab2)kba3 或(ab8)kab5，因为 k 的取值范围有无穷多个，. .b20，a30ab8
19、0，ab50，a所以或b532a ，a ， 2解得或1 13bb .225213 132 21这样点 P 只可能是点 P ， 或点P ，.22经检验点 P 和 P 满足题目条件.12跟踪演练 3.已知圆 M：(x1)2(y1)24，直线 l 过点 P(2,3)且与圆 M 交于 A，B 两点，且|AB|2 3，求直线 l 的方程.解.(1)当直线 l 存在斜率时，设直线 l 的方程为 y3k(x2)，即 kxy32k0.作示意图如图，作 MCAB 于 C.在 RtMBC 中，|BC| 3，|MB|2，故|MC| |MB|2|BC|21，|k132k|由点到直线的距离公式得1，k213解得 k .
20、4所以直线 l 的方程为 3x4y60.(2)当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x2，且|AB|2 3，所以适合题意.综上所述，直线 l 的方程为 3x4y60 或 x2.题型四.与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.例 4.已知圆 C：(x2)2y21，P(x，y)为圆 C 上任一点.y2(1)求的最大值与最小值；x1. .(2)求 x2y 的最大值
21、与最小值.解.(1)y2x1显然可以看作是点P(x，y)与点 Q(1,2)连线的斜率.令x1y2k，如图所示，则其最大值、最小值分别是过点 Q(1,2)的圆 C 的两条切线的斜率.对上式整理得 kxyk20，|2kk2|1，1k23 3k.4y2x3 3，最小值是3 3.故1的最大值是44(2)令 ux2y，则 u 可视为一组平行线，当直线和圆 C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.|2u|依题意，得1，解得 u2 5，5故 x2y 的最大值是2 5，最小值是2 5.跟踪演练 4.当曲线 y1 4x2与直线 yk(x2)4 有两个相异交点时，实数 k 的取值范围是(.
22、)5121 33 4A. 0，B. ，5 312 4512C.，D. ，答案.C解析.曲线 y1 4x2是以(0,1)为圆心，2 为半径的半圆(如图)，直线 yk(x2)4 是过定点(2,4)的直线.设切线 PC 的斜率为 k ，则切线 PC 的方程为 yk (x2)4，圆心(0,1)到直线 PC 的距离等00. .|142k |512于半径 2，即0 2，k .1k0203直线 PA 的斜率为 k .4151234所以，实数 k 的范围是 k .题型五.分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方
23、程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例 5.已知直线 l 经过点 P(4，3)，且被圆(x1)2(y2) 25 截得的弦长为 8，求直线 l 的方程.2解.圆(x1)2(y2)225 的圆心为(1，2)，半径 r5.当直线 l 的斜率不存在时，则 l 的方程为 x4，由题意可知直线 x4 符合题意.当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y3k(x4)，即 kxy4k30.| 24 3|kk 8 22由题意可知252，1k243解得 k ，即所求直线方程为 4x3y250.综上所述，满足题设的 l 的方程为 x4 或 4x3y250.跟踪演练 5.如图，
24、已知以点 A(1,2)为圆心的圆与直线 l ：x2y70 相切.过点 B(2,0)1的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点，Q 是 MN 的中点，直线 l 与 l 相交于点 P.1(1)求圆 A 的方程；(2)当|MN|2 19时，求直线 l 的方程.解.(1)设圆 A 的半径为 R.由于圆 A 与直线 l ：x2y70 相切，1|147|R2 5.5圆 A 的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x2 符合题意；. .当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0.连接 AQ，则AQMN.|MN|2 19，|AQ
25、| 20191，|k2|34则由|AQ|1，得 k .2k 1直线方程为 3x4y60.综上，直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60.1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解.2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解.3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.4.初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，
26、如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角. .