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1、 -湖南省娄底市上学期期末教学质量检测试题高三数学(理)第卷（选择题）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.zz =1- i, z =1+ i ，其中 i是虚数单位，则1.设复数1 的模为12z21122A.B.C.D. 142.下列说法正确的是A. “若a 11”的否命题是“若a 1，则a 1”a22，则B. 在DABC 中，“A B” 是“sin A sin B22”必要不充分条件pa，则tan 3a”是真命题C. “若3( )$x -,03 4D.使得成立xx0003.我国古 代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两
2、鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何=日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果nA. 4B. 5C. 2 D. 3ln x +14.下列四个图中，函数 y =的图象可能是x +1y 2x - 2y -1, y+ - 2 0x y，则5.设实数 x 满足的取值范围是x + 3x 211- ,151 1 1A. -,- ,1B.C. D. 55 33 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为( )S =p R + r l（注：圆台侧面积公式为）17p + 3 17p20p + 5 17p17
3、p + 5 17pD.22 pA.B.C.- -7.已知DABC的外接圆的圆心为 O，半径为 2，且OA AB AC= 0，则向量CA 在向量CB 方向上的投+影为33C.-3D.- 3A.B.ABC - A B C 中，若 AB = 2BB ，则 AB 与 BC 所成角的大小为8.在正三棱柱111111pp5ppA.B.C.D.63122( )( )()= sin x + -p j 2cos p j 0 j px + =1sin 2j =对称，则9.已知函数 y的图象关于直线 x335445-D.A.B.C.55( )( )( )( ( )+1f 0 = 0 x 0,1f x时，=log x
4、10.已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数, f x为奇函数，,当，21 ( )8,9( )f x+ 2 =fx则在区间内满足方程 的实数 为2 1726533678A.B.C.D.8411.如图，给定由 10个点（任意相邻两点距离为 1,）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是A. 12B. 13C. 15D. 16ln x( )f x =( )- ln x, f x( )( )x = x 处取得最大值，以下各式中： f x x f x f x20000正确的序号是A. B. C. D. 第卷（非选择题）二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分
5、，共 20分.x -2, x 1( )( )-1 10 xf x = 13.设函数，则满足xf x的 取值范围2,x 0, 函数 的部分图像如图所2( )= f xp的图象向右平移 个单位长度后得到函数示，将 y4( )y = g x 的图象.( )= g x（1） 求函数 y的解析式；A+ Bp DABC2sin 2=+1，且其外接圆的半径 R=2，求DABC的g C（2）在中，角 A,B,C满足23面积的最大值.19.（本题满分 12分）1 n-1 的前 项和 S= -a -+ 2，n为正整数.an已知数列 2 nnn b = a ，求证：数列 b 为等差数列，并求出数列 a 的通项公式；
6、2（1）令（2）令nnnn +1nnnc =a ,T = c + c + + c ，求T .nnnn12n20.（本题满分 12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：- -从本市随机抽取了 10户家庭，统计了同一个月的用水边的茎叶图：量，得到右阶梯水量的（1）现要在这 10户家庭中任意选取 3户，求取到第二户数的分布列和数学期望；（2）用抽到的 10户家庭作为样本估计全市的居民从全市依次随机抽取 10户，若抽到 n户月用水用量为量的可能性最大，求出 n的值.用水情况，第二阶梯水- A B CA ACC
7、 底面 ABC ，21.（本题满分 12分）如图，在各棱长均为 2的三棱柱 ABC中，侧面11111A AC = 60.1AA 与平面 AB C 所成角的正弦值的大小；（1）求侧棱（2）已知点 D满足 BD11= BA + BCAA 上是否存在点，在直线1AB C ？若存在，请确定点 P的位置，若不存在，请P,使 DP/平面说明理由.1( )a( )f x = xln x - x2 - x + a a R 在定义域内有两个不同的极值点.22.（本题满分 12分）已知函数（1）求实数 a的取值范围；2x , x ，且x 0e 恒成立，求l 的取值范围.（2）记两个极值点为，若不等式x xl1+l
8、12122一、选择题 1-12二、填空题： 13.DCACB DBDDB CA14. -648015.16.2016三 ：解答题 17.解：（）方程|f（x）|=g（x），即|x21|=a|x1|，变形得|x1|（|x+1|a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有 一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于 1的解或无解，a05分- -（）当xR时，不等式f（x）g（x）恒成立，即（x1）a|x1|（*）对 xR 恒成立，2当x=1 时，（*）显然成立，此时aR；当x1 时，（*）可变形为 a，令（x）=因为当x1 时，（x）2，当x1 时，（x）2，所以（x）2，故此时a
9、2综合，得所求实数a的取值范围是a210 分18.（）由图知，解得，即由于，因此3 分即函数（）的解析式为6 分，即，所以或 1（舍），8 分由正弦定理得，解得由余弦定理得，（当且仅当a=b等号成立）- -的面积最大值为.12 分19.解：（I）在中，令 n=1，可得，即，当时，.又数列是首项和公差均为 1 的等差数列.6 分于是(II)由（I）得，所以由-得12 分20.解：（1）由茎叶图可知抽取的 10 户中用水量为一阶的有 2 户，二阶的有 6 户，三阶的有 2 户。第二阶梯水量的户数 X 的可能取值为 0,1,2,31 分，所以 X的分布列为01235 分EX=6 分(2)设 Y 为从
10、全市抽取的 10 户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得 YB,- -所以设，其中8分10分若若，则，则，；。所以当或 ，可能最大，所以 的取值为 6。12分21.解：（1)侧面底面，且各棱长都相等，2分故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作于点 ，平面又，则，4分设平面的法向量为，则,解得由而侧棱侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，与平面所成角的正弦值的大小为，而6分（2）又，点 的坐标为假设存在点 符合题意，则点 的坐标可设为，为平面的法向量，由又，得10分平面，故存在点 ，使，其坐标为，- -即恰好为 点12 分22.解：（）由题意知，函数 f（x）的定义域
11、为（0，+），方程 f（x）=0 在（0，+）有两个不同根； 即方程 lnxax=0 在（0，+）有两个不同根；（解法一）转化为函数 y=lnx 与函数 y=ax 的图象在（0，+）上有两个不同交点，如右图可见，若令过原点且切于函数 y=lnx 图象的直线斜率为 k，只须 0ak令切点 A（x ，lnx ）， 故，又，故，解得，x =e， 故， 故0004 分（解法二）转化为函数与函数 y=a 的图象在（0，+）上有两个不同交点又，即 0xe 时，g（x）0，xe 时，g（x）0， 故 g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+）上单调减 故 g（x）极大=g（e）= ；又 g（x）有且只有一个
12、零点是 1，且在 x0 时，g（x），在在 x+时，g（x）0，故 g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数 y=a 的图象在（0，+）上有两个不同交点，只须（解法三）令 g（x）=lnxax，从而转化为函数 g（x）有两个不同零点，（x0）， 4 分而若 a0，可见 g（x）0 在（0，+）上恒成立，所以 g（x）在（0，+）单调增，此时 g（x）不可能有两个不同零点- -若 a0，在时，g（x）0，在时，g（x）0，上单调减，从而所以 g（x）在上单调增，在=，又因为在 x0 时，g（x），在在 x+时，g（x），于是只须：g（x）极大0，即 ，所以 综上所述，（）因为 4 分等价于 1
13、+lnx +lnx 12由（）可知 x ，x 分别是方程 lnxax=0 的两个根，12即 lnx =ax ，lnx =ax1122所以原式等价于 1+ax +ax =a（x +x ），因为0，0x x ，121212所以原式等价于又由 lnx =ax ，lnx =ax 作差得，即1122所以原式等价于，因为 0x x ，原式恒成立，即恒成立12令，t（0，1），则不等式令在 t（0，1）上恒成立 8 分，又=，当 1 时，可见 t（0，1）时，h（t）0，2所以 h（t）在 t（0，1）上单调增，又 h（1）=0，h（t）0 在 t（0，1）恒成立，符合题意当 1 时，可见 t（0， ）时，h（t）0，t（ ，1）时 h（t）0，222所以 h（t）在 t（0， ）时单调增，在 t（ ，1）时单调减，又 h（1）=0，22所以 h（t）在 t（0，1）上不能恒小于 0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式 恒成立，只须 1，又0，所以1 12 分2- -