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1、 二次函数知识点汇总初三备课组= ax + bx + c(a,b,c 0) x，那么 y 叫做 的二次函数.1.定义：一般地，如果 y2是常数， a2.二次函数 y= ax2 的性质= ax （a 0）y = axa(1)抛物线 y2的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2 的图像与 的符号关系.0 时抛物线开口向上 顶点为其最低点；当a= ax + bx + c3.二次函数 y2的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线.( )y = ax + bx + c2y= a x - h2 +kb4 ac - b 24 a.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中h = -， k =2
2、a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：( )( )2 y= ax2 ； y = ax + k2=-=-； y a x h 2 ； y a x h+y = ax + bx + ck ； .26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 决定抛物线的开口方向： 0时，开口向上；当a 0 02 0半轴； cb右侧，则. 0当 ay = a x - h2y = a x - h + k24ac - b2bby = ax+ bx + cx = - ，2()2a2a4a第- 1 -页 共 2 页 11.用待定系数法求二次函数的解析式= ax + bx + cx(1)一般式： y(2)顶点式： y
3、2.已知图像上三点或三对 、 y 的值，通常选择一般式.( )= a x - h 2 + k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.( )( )(3)交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 x ，通常选用交点式：xy= a x - x x - x.x121212.直线与抛物线的交点0 , c)= ax + bx + c(1) y 轴与抛物线 y2得交点为(= h=与抛物线 y ax+ + + +bx c 有且只有一个交点(h ,ah 2 bh c ).(2)与 y 轴平行的直线 x2x(3)抛物线与 轴的交点= ax + bx + c x的图像与 轴的两个交点的横坐标 x 、 x ，是对应一元
4、二次方程二次函数 y212ax2 + bx + c = 0的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：x D 0 x有两个交点抛物线与 轴相交； D = 0 xx抛物线与 轴相切；有一个交点(顶点在 轴上) D 0 x抛物线与 轴相离.没有交点x(4)平行于 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有 0个交点、1个交点、2 个交点.当有 2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标+ bx + c = k为 k ，则横坐标是 ax2的两个实数根.( )( )= kx + n k 0=bx c a+ + 0(5)一次函数 y的图像 l 与二次函数 y ax的解的数目
5、来确定：的图像G 的交点，由方程组2y = kx + ny= ax 2 + bx + c方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点;方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；方程组无解时l 与G 没有交点.( ) ( )=+ + xbx c 与 轴两交点为，0 ，B x ，0，由于1xA x(6)抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 y ax22bcx +x =- ,x x =+ bx + c = 0的两个根，故x 、 x 是方程 ax1212a 1 2 a2b 2 4cb -4acD( ) ( )2AB = x - x = x - x 2 = x - x 2 - 4x x = - -=
6、1212121 2 a aaa13二次函数与一元二次方程的关系：= ax + bx + cy = ax + bx + c当函数 y的值为 0 时的情况(1)一元二次方程 y2就是二次函数2= ax + bx + cx(2)二次函数 y2的图象与 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；y= 0x时自变量 的值，= ax + bx + cx当二次函数 y2的图象与 轴有交点时，交点的横坐标就是当+ bx + c = 0即一元二次方程 ax2的根= ax + bx + cxy = ax + bx + c的图象与 轴有两个交点时，则一元二次方程(3)当二次函数 y相 等 的 实 数 根
7、 ； 当 二 次 函 数 yax2 + bx + c = 0 有两个相等的实数根；当二次函数 y = ax22有两个不= ax + bx + cx2的 图 象 与 轴 有 一 个 交 点 时 ， 则 一 元 二 次 方 程+ bx + c 的图象与 x 轴没有交点时，则一2+ bx + c = 0元二次方程 ax214.二次函数的应用：没有实数根(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大 (小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等第- 2 -页 共 2 页