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1、 2020 届高考数学选择题填空题专项练习（文理通用）10 函数零点 02第 I 卷（选择题)一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2(x) = - ln(x - 2)1（2020河北冀州中学高三期末）函数 f的零点所在的大致区间为（ ）x( )2,3( )3,4( )4,5( )1,2ABCD【答案】C【解析】【详解】221- ln 4( )(3) = 0, f (4) = - ln 2 = 03,4，所以零点所在的大致区间为 ，选 C.试题分析： f342考点：零点存在定理a,b -1,0,1,2 ，则函数 f(
2、x) = ax + 2x +b22（2020陕西西北工业大学附属中学高三）若有零点的概率为()7834581316ABCD【答案】A【解析】【详解】试题分析：显然总的方法中数为：16 种( )f x1,0,1,2中何值，原函数必有零点，所以有4 种取法；无论 取 -当 a= 0时：=2x +bb 0( ) = 2 + 2 +时，函数 f x axD 0 4- 4 0ab 即ab1，所 以a,b当 ax b 为二次函数，若有零点须使：即( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-1,0 , 1,0 , 2,0 , -1,1 , -1,-1 , 1,1 , 1,-1 ,
3、 -1,2 , 2,-1 9取值组成的数对分别为：综上符合条件的概率为：共 种，9 + 4 13=，所以答案为：A.1616解法二：（排除法）总的方法种数为16 种，其中原函数若无零点须有a即 0且 D 1，所以此时a,b 3 131- =( ) ( ) ( )1,2 , 2,1 , 2,2 3取值组成的数对分别为：共 种，所以所求有零点的概率为：，答案为 A.16 16考点：1.分情况讨论思想；2.二次函数的零点.( )= -x + x + ln x - a3（2020福建高三）已知函数 f x32有三个零点，则实数 a 的取值范围是（Da 1）1a 0Aa 0时，g x x求导，可得【分析
4、】令，得32，记32,对( ) ( )( )g x单调递减， 有最大值 0.( )1,+g x0,1在单调递增，在( )g x( ) ( )-,0 0 0时，= - + +32ln x，= -，xxx( ) ( )( )g x单调递减， 有最大值 0.( )1,+g x0,1故在单调递增，在( )g x( ) ( )-,0 0 0 g x，当 x时，在单调递减.所以a 02A4【答案】A【解析】B3C2D1 12( )f x = t( )( )( )f x t f x t=f t +1= 0得到t= -2=【分析】令，由，t，再根据和，得到 x 的值，1212从而得到答案. +1,t 0t(
5、)f x = t( )( )f t +1= 0( )y = f f x +1f t = 【详解】令，则的零点，转化为，而，解得log t,t 021( )t = -2= t = -2log x = -2 0+1= -2= -3，得x ， x 0=，t，所以f x，即x时， x时，得.所以21212112112( )1x = ， f x= t =0x +1 =x 0时，log =，得 = - ， x，即 x时，得xx= 242222( )y = f f x +1有 4 个零点.【点睛】本题考查求复合函数的零点，通过换元法区分内外层函数，逐层求解，属于中档题.( )y = f xx 05（2020
6、江西省宁都中学高三月考）已知偶函数的定义域为 R，当时，p3sin x, x 0 1( )( )y = g f x( )( )g x = x( )-1 aRf x = 2- 2ax + a函数22，若函数有且仅有 6 个零2 +1,x 12-x点，则实数a 的取值范围为（）( 1,2( )1,2( 2,3( )2,3ABCD【答案】B【解析】( )f x( )g x = x- 2ax + a-1= 0,再数形结合列出关于a 的不等式求解即可.【分析】画出的图像,先求解22( )f x( )g x = x - 2ax + a -1= 0= a +1 x = a -1x1【详解】由题意画出的图像如
7、图所示,由22解得,由函2( )1 a +1 3( )数 y = g f x 有且仅有 6 个零点知1 a 20 a -11,解得,【点睛】本题主要考查了数形结合解决函数零点个数的问题,需要根据函数图像与带参数的方程交点的个数,列出对应的不等式进行求解.属于中等题型.的定义域为(0,+)，对于定义域内任意 x ，(x)6（2020湖北恩施土家族苗族高中高三月考）已知单调函数 f f f (x) -log x = 3g(x) = f (x) + x -7，则函数的零点所在的区间为（ ）2A(1,2)B(2,3)C(3, 4)D(4,5)【答案】C【解析】( )f x( )( )t = f (x)
8、 -log x= log x +t f t = 3f t = log t +t = 3【分析】令，则且可得可知t= 2，写出222( )g x = log x + x -5，根据零点的存在性定理确定零点所在的区间.2( )f x( )0，+x(0,+)f f (x) -log x = 3【详解】根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的2( )f x( )f t = 3f (x) -log xt = f (x) -log x= log x +t单调函数，则为定值，设，则，又由，222( )( )f x( )f t = log t +t = 3，所以t= 2=log x + 2g x = log
9、 x + x -5，所以，所以，因为222( )( )( )( )( )g 1 0，g 2 0，g 3 0，g 5 0，所以零点所在的区间为（3，4）.【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质，零点存在性定理，利用换元法求出函数的解析式是解题的关键，属于难题.1 | -1|x(-2,4)上的(x) =-cos xp 在区间7（2020陕西西北工业大学附属中学高三月考（理）记函数 f 2 nx = x (i =1,2,n)xi=零点分别为，则（ ）ii=1A3【答案】D【解析】B4C5D61( )-2,4 x-1n=, y = cos xx .i【分析】画出 yp 在区间上的图象，根据两个图象交点的
10、对称性，求得 2 i=1111( )-2,4 | -1| | -1| x-1xx(x) =- cos x = 0= cos xy =, y = cos xp 在区间【详解】令 fp，得p ，画 出 2 2 2 上的图象如下图所示.两个函数图象都关于直线x=1对称，所以两个函数图象的六个交点，也关于直线 x =1nxi= 32 = 6.对称，所以i=1 x- 3a, x - 2+1ax(x) =8（2020安庆市第二中学高三期末）若函数f，恰有3 个零点，则实数a 的取值范ex - ,-2 x 0x围为（）2 11 21 1- ,- 1 1AD- ,- ,- ,- BC3 3e e23e 3e【
11、答案】D【解析】【分析】将函数零点个数转化为函数图象与x 叫交点的个数xxx -2时，可得，函数 =的图象如图：方程至多一个解，此时满足1 -3a 2，= -3a【详解】当yx +1x +1231a- )(-2,0)e =xy xe= = (1+ )y x e可得 a，当x时，即a xe ，令=x，可得x ，x3x(1+ x)e = 0= -1， x(-2,-1)时， y 0点，则k 的取值范围是（）1112)0,0,1,e2ABCD e e e e222【答案】A【解析】f (x) = kxf (x) = kx( )【分析】由零点定义可知恰有 4 个不同交点，画出函数 f x 的图像；利用导
12、数求得直线(x)f(x) = kx绕原点旋转，即可判断出有 4 个交点时的斜率取值范围.与 f相切时的斜率，再将直线g(x) = f (x) - kx = 0f (x) = kx恰有 4 个不同交点，画出函数【详解】根据零点定义可知，即 +1 -1,-2 0xxf (x) = ln x -1,x 0的图像如下图所示：( )m km,，1当 x 0时，f(x) = ln x -1，则 ( ) = ，设f xf x kx( )=与f (x) = ln x -1相切于x11k =k =由导数几何意义及切点在f (x) = ln x -1上，则满足m解得e2 ，km = ln m -1m = e21
13、1 0,f (x) = kx绕原点旋转，当恰有 4 个交点时满足0 k 将直线，即 的取值范围为k ，e2 e 2【点睛】本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数的几何意义求得相切的斜率，利用数形结合法求参数的取值范围，综合性强，属于难题. ln x, x 1( ) ( )( )=F x = f f x +1 m有两个零点 , ，则 +10（2020陕西高三）已知函数 f x x x，若x1- , x f x =1-x e所以令 f x，且， f x，12212112221x2( )xxx( )g x xe( )1-11-xx=+- - =1- 0，2所以所以1- ，令1-,1 ，则 g x
14、 exe e x x = x e1= ，且 f x=1-x ex， f x，所以，令12x x x e=1- 1221212221 21( )-,e( )g x( )g x = xe( )xx1- , 1 ，通过求导，可知的范围是。2x+1(x 0)(x) =11.（2020湖北恩施土家族苗族高中高三月考）已知函数 fe，若函数x+ 2x +1(x 1ex， f (x) =f (x) (-,-1)，从而可以确定函数 在 上是减函数，=e2xex1(-1,1)上是增函数，在(1,+)上是减函数，且 f(-1) = 0, f (1)=1+，此时两个值的差距小于 2，所以在e1a -2 0a - 2
15、 = 00 a - 2 1- 2 =1+aa -或1 2 = 01e该题等价于或1 或1或，解得1 a 1+1 a 1+a =1+0 1+1ea 1+eeee1112 0（ x 且 ），构造函数，求函数的121【分析】利用参数分离法进行转化，设xx -x -22导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可 mm1121(x) = xe - mx + = 0 xe = mx - = m(x - )x =【详解】由 f得，当时，方程不成立，即 ，xxx2222xexxexm =h(x) =10且 ），121（ x则，设xx -x -22( )111212xe x - - xee x -
16、x -ex (x -1)(2x +1)2xxx22=h(x) =则，1211222x -x -x -221 0( ) = 0 x =1h x得h x，当x 1时， ( ) 0，函数为增函数， x且 ，由x21h(x) 0，函数为减函数，则当=1时函数取得极小值，极小值为h(1)= 2e，当0 x 1且时，xx2xex1m =0 x ( ) 2e则 m.mm11(x) = xe - mx + = 0 xe = mx - = m(x - )g(x) = xe h(x) = m(x - )方法 2：由 f得，设x，xx2222g (x) = e + xe = (x +1)e ，当 x 0时， g(x
17、) 0g x( )为增函数，则xxx12h(x) = m x -g(x) = xex，相切时的切点为(a,ae )，切线斜率k = (a +1)e，设与aa11- ae = (a +1)e (x - a)( ,0)-ae = (a +1)e ( - a)时， ，则切线方程为 y，当切线过aaaa22111= (1+1 )e = 2e，= - （舍），则切线斜率k，得 =1或 a-a = a + - a - a2 - -1= 0，即 a2 a即2a222 g(x) h(x) (0,+)(2e,+). 2要使与在上有两个不同的交点，则m e，即实数m 的取值范围是【点睛】本题主要考查函数极值的应用
18、，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键第 II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。( )f x = ln x -ax +1 a，R有零点，则实数a 的取值范围是13（2020海口市第四中学高三月考）若函数_【答案】(-,1.【解析】lnx +1(x) = lnx- ax +1， a R 有零点可化为方程 - +lnx ax1= 0有解，从而得到a=，令【分析】函数 flnx +1xlnxg(x) =，求 g(x) = -以确定函数的单调性，从而求实数a 的取值范围xx
19、2lnx +1(x) = lnx- ax +1， a R 有零点可化为方程 - +lnx ax1= 0a有解，即 =，【详解】函数 fxlnx +1lnxlnx +1令 g(x) =，g(x) = -g(x) =，故在(0,1)上是增函数，在(1,+)( )上是减函数，故 g x g（1）xx2x=1；故 a1故答案为：a 1【点睛】本题考查了函数零点的判定定理及导数的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于常考题1- , x 0值范围为_. 1+【答案】（，1）（e，e）e【解析】11- ，x0( )( )f x f x2x=【分析】等价于k 有 2 个不等实根有 2 个不等根，
20、设 h（x），作出函数xlnxxx+ e，x0的图象分析得解.【详解】函数 g（x）f（x）kx 有两个不等的零点，即方程 f（x）kx 有 2 个不等根，11- ，x0( )( )f x f x2x=因为 x0，所以也等价于k 有 2 个不等实根，根据条件令 h（x），xlnxxx+ e，x011- lnx- =因为 x0 时，h（x）11，x0 时，h（x），当 0xe 时，h（x）单调递增，当 xex2x2时，h（x）单调递减，且当 x+时，h（x）e，作出函数 h（x）的图象如图：11+）根据图象可知，k（，1）（e，e），故答案为：（，1）（e，eee【点睛】本题主要考查函数的零点问
21、题，考查利用导数研究函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2 , ( )x a( )f x 2的解集为_，x=15. （2020山东高三）已知函数 f x ，若 =1，则不等式ax2, x a( ) ( )g x = f x -b若存在实数 ，使函数b有两个零点，则a 的取值范围是_(-,2) (4,+)【答案】(-, 2 【解析】( )( )f x 2的解集；分 a 的情况进行讨论，f x【分析】将 a=1 代入原函数，可得( ) ( )的解析式，可得不等式g x = f x -b可得有两个零点时候，a 的取值范围.2 , 2 , 1x( )x a( )( )
22、 2，xxf x = f x = 1f x【详解】由题意得：，当 a=1 时，可得：（1）当x时，x , x a2x , x 12( )f x( )f x 2可得 x1；（2）当 x 1时，2，可得，综合可得的解集为(-, 2；x 22 , ( )x a ( ) ( )g x = f x -bxf x = 2 =x =2或x=4= 2时，此时，当a由，只有一个零点时，x ，可得2xx , x a22 , 2( )x( ) ( )xf x = g x = f x -b只有一个零点，当a 222 , 4( )x( ) ( )g x = f x -b只有一个零点，当axf x = 4时，有两个零点，
23、故可得a 的取值范围是x , x 42(-,2) (4,+)【点睛】本题主要考查分段函数与函数的性质，综合性强，注意分类讨论思想的运用. ln - - ,x a x x 0(x) =16. （2020江苏高三开学考试）若函数 f恰有 3 个不同的零点，则 a 的取值范x2+ ax +1, x 0围是_.【答案】(-,-1)U (2,+)【解析】 0( )进行讨论，对 f x 进行化简，同时对 f x 求导，结合函( )【分析】去绝对值，分0、 x ea 与 x x ea数有 3 个不同的零点，可得 a 的取值范围.(x) = -x - ln x + a0f x( ) +时， ，f (x)【详解
24、】（1）当0时，f，因 为递减， ( ) = - 0，x ea 时，因为( ) =f x，所以 f在x 0( )( )ea 1，即 a时， f x 在( ,+) 上递减，所以 ( ) ( ) = - 0 ，即 f x 在( ,+) 没有零点；eaf xf eaeaea ea1，即 0时， f在(e ,1)上递增，在(1,+)上递减，因为f (e ) = -e 0，f (1)= -a -1，所以(x)aaaa-1 a 0a = -1( )( )(x)a -1时 ，f 在( ,+)时 ，f x 在( ,+) 没有零点；时 ，f x 在( ,+) 有 1 个零点；eaeaea 有 2 个不同的零点.(x) = x +ax+1 0 f时，2a 2有 1 个零点；a时， f x 在 2( )时 f x 恰有三个不同的零点.综上，当 - 或a1 a【点睛】本题主要考查函数的零点与利用导数判断函数的单调性与零点，属于难题.