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1、1 向量的内积、长度及正交性,一、内积的定义及性质,二、向量的长度及性质,三、正交向量组的概念及求法,四、正交矩阵与正交变换,1 向量的内积、长度及正交性,一、内积定义及性质,1. 定义1 设有 n 维向量,令 x, y = x1 y1+x2 y2+xn yn ,称 x, y 为向量 x 与 y 的内积 (Inner product) .,说明 1. n (n4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广, 但是没有3维向量直观的几何意义,2. 若向量 x 与 y 均为列向量, 内积可用矩阵记法表示为: x, y = xT y .,1 向量的内积、长度及正交性,2. 内积的运算性质,( 其中 x,
2、y , z 为 n 维向量, 为实数 ).,(1) x, y = y, x;,(2) x, y = x, y;,(3) x+y, z = x, z+ y, z;,(4) 当 x = 时, x, x = 0;,当 x 时, x, x 0., 施瓦茨(Schwarz)不等式: x, y 2 x, x y, y.,1 向量的内积、长度及正交性,1. 定义2 令,二、向量的长度及性质,称 | x | 为 n 维向量 x 的长度 (或范数).,向量的长度具有下述性质：,(1) 非负性:,当 x = 时, | x |= 0;,当 x 时, | x | 0.,(2) 齐次性:,| x |= | x | ;,
3、(3) 三角不等式:,| x +y | | x | + | y |;,(4) | x, y | | x | | y |.,当 | x | | y | 0时, 有:,1 向量的内积、长度及正交性,2. 当 | x |= 1 时, 称 x 为单位向量.,若 , 则,为单位向量.,若 ,称为把向量 单位化.,1 向量的内积、长度及正交性,解,(3) 当 | x | | y | 0时,称为向量 x 与 y 的夹角.,1 向量的内积、长度及正交性,1.当 x, y = 0 时, 称向量 x 与 y 的正交 .,三、正交向量组的概念及求法,有 x, y = 0 ,故向量 x 与 y 正交 .,由定义可知:
4、 若 x = 时, 则 x与任何向量都正交.,2. 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向 量组为正交向量组,定理 若n维向量 1,2,r 是正交向量组, 则1,2,r 线性无关.,1 向量的内积、长度及正交性,证明,定理 若n维向量 1,2,r 是正交向量组, 则1,2,r 线性无关.,1 向量的内积、长度及正交性,3. 正交单位向量组,每个向量都是单位向量的正交向量组.,4. 向量空间的正交基,1 向量的内积、长度及正交性,例1 已知R3空间中两个向量 正交,试求3 使1,2,3 构成R3的一个正交基.,解题分析: 即求3使1,2,3为正交向量组.,解,设 3=(x1, x2, x3)
5、T, 且与1,2正交,则有,解得：,令 x3=1,得: 3=(1,0,1)T,则1,2,3 构成R3的一个正交基.,1 向量的内积、长度及正交性,5. 规范 正交基,例如,定义,(标准),1 向量的内积、长度及正交性,同理可知：初始单位向量组,1 向量的内积、长度及正交性,6、 求规范正交基的方法,下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalizations method ）,1 向量的内积、长度及正交性,(1) 正交化 取 b1=a1 ,(2) 单位化,1 向量的内积、长度及正交性,例2 用施密特正交化方法将向量组正交规范化:,解,取 b1=a1=(1,1,1,1
6、)T ,1 向量的内积、长度及正交性,单位化得如下规范正交向量组:,1 向量的内积、长度及正交性,例2,解,1 向量的内积、长度及正交性,定义4,四、正交矩阵与正交变换,定理 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量都 是单位向量且两两正交,例5 判别下列矩阵是否为正交阵,1 向量的内积、长度及正交性,正交矩阵的性质：,定义 若P为正交阵,称线性变换 y=Px为正交变换,性质 正交变换保持向量的长度不变,证明,1 向量的内积、长度及正交性,1. 施密特正交化方法将一组基规范正交化的方法：,五、小结,2. A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,1 向量的内积、长度及正交性,此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢你的支持，我们会努力做得更好！,