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1、循环问题一、 生活实例：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表个年年号。如果1940年是龙年，那么，1996年是什么年？初看题目，难道要一年一年排下去吗？这不麻烦。仔细推敲，这是个周期性变化的题目，它以鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物为一个变化周期，1940年到1996年经过了56年，56年中含了5612=4（个）8（年）。1940年是龙年，过了4个周期，还剩8年，再过8年，则1996年是鼠年。二、要点点击： 循环问题与周期问题实属同类，在解题时要抓住“周期”1、 找出规律，找准一个完整的变化周期2、 把要求的问题和某一周期
2、变化相对应以求得问题的解决。在列出除法算式后对商和余数的含义要做到心中有数。三、例题精讲：例1：a是大于0的整数，aaa的个位数字与a的各位数字一样，例如1111，44464，这样的整数a有很多，如果把它们从小到大排列，第41个这样的整数是多少？分析与解：符合条件a的整数是根多，要找出第41个这样的整数，从发现的规律中去找，规律的发现又要从较小数中依次去找，我们不妨从110这10个数中去找：1111 222833327 44464555125 888512999729 1010101000不难发现，上面这些算式中，1、4、5、6、9、10这六个数具有aaa的各位数字一样，也就是在110中，又6
3、个符合条件的数，三个相同的多位数相乘，积个位只与这个相同的多位数的各位有关，这样就能很快找到从小到大排列第41个这样的 整数是多少了。110中符合条件的数又6个，即1、4、5、6、9、10，周期是6。1120，2130，3140，4150各分数段中都有6个。41665，说明的41个数在第7次周期循环中的第5个数，即6070中符合条件的第5个数，是69。2、20032003的个位数字是几？分析与解：20032003表示2003个2003相乘，即每个因数的个位数都是3，若干个3的连乘积的个位数字是周期性出现：31的个位数字是3； 32的个位数字是9；33的位数字是7； 34的个位数字是1；35的位
4、数字是3； 36的个位数字是93n（n为自然数）的位数字依次是：3、9、7、1、3、9、7、1周期是4。因为3n位数字是：3、9、7、1循环出现：200345003所以20032003的个位数字是7。例3：有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25.已知第一个数是3，第6个数是6，第11个数是7，问：这串数中第24个数是几？分析与解：因为第1、2、3、4个数的和等于第2、3、4、5个数的和所以第1个和第5个数相同，进一步可知，第1、5、9、13个数都相同。同理：第2、6、10、14个数相同，第3、7、11、15个数相同，也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的，所以，第2个数等于第6个
5、数是6，第3个数等于第11个数是7，前三个数依次是3、6、7，则第4个数是25（3+6+7）9，这串数是按照3、6、7、9循环出现，第24个数和第4个相同，是9。例4：37商的小数点后面第2002个数字是几？370.42857142，商是一个循环小数，循环节是“428571”，循环周期是6，即4，2，8，5，7，1这个数字在依次循环出现，现求小数点后第2002个数字是几，就看按6个数字循环一次，共循环几次，余下几个数，从而确定。370.428571 200263334所以37商的小数点后面第2002个数字是5，例5：学习好学习好学习是好孩子是好孩子上表中，将每列上下两个汉字组成一组，那么，第6
6、52组是什么？分析与解：根据表格，上一行3个汉字循环出现，也即3个汉字为一周期循环节，65232171，所以第652组第1个字应是“学”，下一行是4个汉字循环出现，也即4个汉字为一循环节，6524163，即652组第2个字为“子”，所以第652组是（学子）。例6：3637商的小数点后面185个数字和是多少？分析与解：计算36370.432432它的周期是3，按4、3、2循环出现，小数点后185个数字按“4、3、2”重复了多少次呢？余几？即1853612，即重复了61次，还余2个数字，即4、3，重复一次和是4+3+29，重复了61次，961549，再加上余下的2个数字，549+4+3556，即3
7、637商的小数点后面185个数字和是556。四、自我测试：1、67999的个位数字是几？2、51004所得的余数是几？3、有一列数2、9、8、2从第三个数起，每个数都是它前面两个数乘积的个位数字，这一列数的第180个数是几？4、求281282929的个位数字。5、57商的小数点后面第1998位的数字是几？6、181商的小数点后面1996个数字和是多少？7、有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每一个数恰好是前面两个数的和，那么，在这一串数中，第1990个数被3除所得余数是几？8、接连写100个12得一个自然数：（12、12、12、12，200位）这个数除以13的余数是几？