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1、全体正有理数与全体正整数的一一对应 我们知道，全体正有理数与全体正整数，可以建立一一对应。在集合论中，往往用下列方法来建立它们之间的一一对应： 把全体形为 p/q 的分数，写成一个二维的无穷数阵，划去其中分子分母不是互素的分数，然后从左上角开始，用一条反复折转的曲线，把剩下的分子分母互素的有理数串联起来。曲线中第一个正有理数，对应于第一个正整数，曲线中第二个正有理数，对应于第二个正整数，这样的一一对应，做起来很麻烦，对应关系也显得很没有规律。在已知一个正有理数的情况下，无法简单地求出与它对应的正整数。在已知一个正整数的情况下，也无法简单地求出与它对应的正有理数。在第1楼的帖子中，我们给出了一种
2、既不遗漏、也不重复地生成一切正有理数的方法： 根据这种生成方法，我们可以建立一种全体正有理数与全体正整数的一一对应关系：这种对应关系，是很有规律的。 如果已知一个正整数 ，要求与它对应的正有理数，可以这样做： 先把 写成一个二进制数，从左到右依次读取二进制数的各位数字，然后，从 开始，依次进行下列操作：（1）如果二进制数当前位上的数字是“0”，则进行变换 ； （2）如果二进制数当前位上的数字是“1”，则进行变换 。 二进制数读完后，变换得到的分数，就是与正整数 对应的正有理数。例 求与正整数 对应的正有理数。 将 写成二进制数形式，就是 ，从左到右对它依次操作如下： 所以，与正整数 对应的正有理数，就是 。如果已知一个正有理数 ，要求与它对应的正整数，可以按下列步骤操作：（1）如果当前分数 中 ，则记下数字“0”，进行变换 ；（2）如果当前分数 中 ，则记下数字“1”，进行变换 。 直到分数变成 为止。将记下的数字，依次从右到左排列成一个二进制数，这个二进制数对应的正整数，就是与正有理数 对应的正整数。例 求与正有理数 对应的正整数。 对它依次操作如下： 将记下的数字，依次从右到左排列成一个二进制数 ，将这个二进制数写成十进制数形式，就是 ，所以，与正有理数 对应的正整数，就是 。3