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1、验证及改进马尔萨斯人口模型（高迪，071111，07111118）摘要：人口规模的合理性不仅对未来地区经济和社会发展大有益处，而且对地区生态环境可持续发展也有重要意义。现有从1790年到1980年每隔十年的人口数目，欲结合这些数据利用数学软件Mathematica中的数据拟合及其他相关知识拟合Malthus（马尔萨斯）人口指数增长模型的参数，运用马尔萨斯（Malthus）人口模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进。一、引言人口数目每年甚至每时每刻都有增有减，然而仔细研究就会发现其实人口的增长是有一定的规律的，人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标。运用马尔萨斯人
2、口模型，利用数学软件Mathematica可以进行合理分析并能做出较合理的预测，准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义。二、基础理论此实验过程中用到的Mathematica命令有： 1）画图： ListPlotdata,PlotJoined-True;(数据连线) ListPlotdata,PlotStyle-PointSize0.02(0.02为点的大小)。 2）拟合函数： 注意，该拟合是非线性拟合，需要装入nonlineearfit.M软件包 使用NonlinearFit命令。三、实验过程与结果1、按照表中的数据，用软件画出数据连线图 选
3、取1970年为初始年份，则相应的数据为：0, 3.9, 10, 5.3, 20, 7.2, 30, 9.6, 40, 12.9, 50, 17.1, 60, 23.2, 70, 31.4, 80, 38.6, 90, 50.2, 100, 62.9, 110, 76.0, 120, 92.0, 130, 106.5, 140, 123.2, 150, 131.7, 160, 150.7, 170, 179.3, 180, 204.0, 190, 226.5。用Mathmatica软件编程如下：a = 0, 3.9, 10, 5.3, 20, 7.2, 30, 9.6, 40, 12.9, 50
4、, 17.1, 60, 23.2, 70, 31.4, 80, 38.6, 90, 50.2, 100, 62.9, 110, 76.0, 120, 92.0, 130, 106.5, 140, 123.2, 150, 131.7, 160, 150.7, 170, 179.3, 180, 204.0, 190, 226.5;P1=ListPlota, PlotJoined - True;P2=ListPlota, PlotStyle - PointSize0.02;ShowP1,P2;图形如下：2、写出微分方程的解，带入初值，初值由表定 微分方程为以1790年为初始年份，即t=0时，=3.9
5、,将这组初始值代入上式得N(t)=3.9 3、用数据拟合模型中的参数k，写出人口增长方程由于马尔萨斯人口模型的特点，因该选取前若干项，而不能选取全部年份数据，所以可以取0, 3.9, 10, 5.3, 30, 9.6, 50, 17.1,70, 31.4, 90, 50.2这六组数据进行数据拟合。由于该拟合属于非线性拟合，需要用NonlinearFit命令。Mathmatica程序为：C:ProgramFilesWolframResearchMathematica5.0AddOnsStandardPackagesStatisticsNonlinearFit.mP3=0,3.9,10,5.3,2
6、0,7.2,30,9.6,40,12.9,50,17.1;NonlinearFitP3,3.9*Expl*t,t,l所以=0.0297009，则4、 验证所得到的方程，分析是否符合现实数据 ft_=3.9*Exp0.0297009*tFori=0,i20,i+=1,j=i*10; Printf,i*10,=,ai+1,2,. f,i*10,=,fj;/N f 0 = 3.9 . f 0 = 3.9 f 10 = 5.3 . f 10 = 5.24873 f 20 = 7.2 . f 20 = 7.06388 f 30 = 9.6 . f 30 = 9.50676 f 40 = 12.9 . f
7、 40 = 12.7945 f 50 = 17.1 . f 50 = 17.2191 f 60 = 23.2 . f 60 = 23.174 f 70 = 31.4 . f 70 = 31.1882 f 80 = 38.6 . f 80 = 41.9739 f 90 = 50.2 . f 90 = 56.4897 f 100 = 62.9 . f 100 = 76.0253 f 110 = 76. . f 110 = 102.317 f 120 = 92. . f 120 = 137.701 f 130 = 106.5 . f 130 = 185.322 f 140 = 123.2 . f 1
8、40 = 249.411 f 150 = 131.7 . f 150 = 335.664 f 160 = 150.7 . f 160 = 451.746 f 170 = 179.3 . f 170 = 607.972 f 180 = 204. . f 180 = 818.226 f 190 = 226.5 . f 190 = 1101.19 要想比较拟合前后的人口数，最直观的方法就是看图，所以在这里画出拟合后的人口曲线图。程序如下： P4=Plotfx,x,0,190;ShowP1,P4分析：由上面的图形可以看出拟合后的数据跟实际数据并不一样，与图形可以得到在1790年1880年两条曲线基本重
9、合，而从1880年以后两条曲线之间的差距越来越大，可以知道马尔萨斯人口增长模型并不能完全表达人口发展规律，所以我们在检验Malthus时不能够取全部的实际数据。四、结论通过此次实验让我进一步理解掌握了Mathmatica软件的应用方法，提高了我解决问题的能力，也让我理解了马尔萨斯定律：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比。但是经过拟合实验我们可以看到马尔萨斯人口增长模型并不完全符合现实数据，因为从上图可以看出马尔萨斯人口增长模型只有在人口少量的时候才适用，在人口数目增多的时候，由于生存空间、自然资源、食物是有限的，难免会发生生存竞争问题，所以马尔萨斯模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口的数量有关。我们需要根据实际情况对马尔萨斯人口增长模型进行改良。参考文献： （1）沈继红等.数学建模M.哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社,1998（2）张晓威编.数学软件包使用指南。理学院应用数学系。哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2001.3（3）杨丽霞，杨桂山，苑韶峰.数学模型在人口预测中的应用以江苏省为例。长江流域资源与环境学报，第15卷第3期。