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1、 精品文档柯西不等式试题一、选择题（本大题共 4 小题 ）1.设 a，b，cR ，且 abc1，则 a b c的最大值是()A1B 3C3D92.已知 a a a 1，x x x 1，则 a x a x a x 的最大值为()(21222n21222n1122n nA1B2C1D不确定3.若实数 a，b，c 均大于 0，且 abc3，则 a b c 的最小值为222)3A3B1CD 331 4 94.已知 x，y，z 均大于 0，且 xyz1.则 的最小值为(x y z)A24二、填空题（本大题共 2 小题 ）5. (2013湖南高考)已知 a，b，cR，a2b3c6，则 a 4b 9c 的最
2、小值为_B30C36D48222abcxyz6.设 a，b，c，x，y，z 都是正数，且 a b c 25，x y z 36，axbycz30，则222222_.三、解答题（本大题共 4 小题 ）7.已知实数 x，y，z 满足 x2yz1，求 tx 4y z 的最小值2228.已知 f(x)ax bxc 的所有系数均为正数，且 abc1，求证：对于任何正数 x ，x ，212当 x x 1 时，必有 f(x )f(x )1.12129.求实数 x，y 的值使得(y1) (xy2) (2xy6) 取到最小值22210.ABC 的三边长 a，b，c，其外接圆半径为 R.111求证：(a b c )
3、()36R .2222sin A sin B sin C222精品文档 精品文档0.柯西不等式试题答案解析一、选择题1 .【解析】 由柯西不等式得( a) ( b) ( c) (1 1 1 )( a b c) ，( a2222222b c) 313.21当且仅当 abc 时等号成立3 a b c的最大值为 3.故选 B.【答案】 B2.【解析】 (a x a x a x ) (a a a )(x x x )111.221222n21222n1122nnn当且仅当 a x (i1,2，n)时等号成立niia x a x a x 的最大值是 1.1122n n故选 A【答案】 A3.【解析】 ab
4、c1a1b1c，且 a，b，c 大于 0.由柯西不等式，(1a1b1c) (1 1 1 )(a b c )2222222a b c 3，222当且仅当 abc1 时等号成立 a b c 的最小值为 3.222【答案】 D1 4 94.【解析】 (xyz)( )x y z123( x y z ) 36.2xyz1 4 9 36.x y z【答案】 C二、填空题5.【解析】 a2b3c6，1a12b13c6.1 11(a 4b 9c )(1 1 1 )(a2b3c) ，即 a 4b 9c 12.当且仅当 ，即2222222222a 2b 3c2a2，b1，c 时取等号3【答案】 126.【解析】
5、由柯西不等式知：2536(a b c )(x y z )(axbycz) 30 2536，22222222精品文档 精品文档a b c当且仅当 k 时取“”x y z5由 k (x y z ) 2536，解得 k .2222 26abcxyz5所以k .65【答案】6三、解答题7.【解】 由柯西不等式得(x 4y z )(111)(x2yz) ，2222x2yz1，13(x 4y z )1，即 x 4y z .22222231111当且仅当 x2yz ，即 x ，y ，z 时等3363号成立1故 x 4y z 的最小值为 .22238.【证明】 由于 f(x)ax bxc.2且 a，b，c 大
6、于 0.f(x )f(x )(ax bx c)(ax bx c)21221212( ax ax bx bx c)21212(ax x b x x c)2121 2f( x x ) f(1) .2212又 f(1)abc，且 abc1，f(x )f(x )1.129.【解】 由柯西不等式，得(1 2 1 )(y1) (2xy) (2xy6) 2222221(y1)2(2xy)1(2xy6) 9，23即(y1) (xy2) (2xy6) ，2222精品文档 精品文档y1 2xy 2xy6当且仅当 ，12151即 x ，y 时，上式取等号2251当 x ，y 时(y1) (xy2) (2xy6) 取到最小值2222210.【证明】 由三角形中的正弦定理得：a2R14R2sin A ，所以 ，sin A a2214R14R22同理sin B b sin C c2 ， ，222于是由柯西不等式可得4R 4R 4R222左边(a b c )( )222abc2222Ra2Rb2Rc(a b c ) 36R ，22原不等式得证精品文档