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1、,第五章 机理分析建模法,机理分析方法立足于揭示事物内在规律,机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分 析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.,的认识来源 对现实对象,*与问题相关的物理、化学、经济 等方面的知识.,*通过对数据和现象的分析对事 物内在规律做出的猜想(模型假设).,模型特点：有明确的物理或现实意义,1,稻谷书屋,5.1 微分方程的建立,实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t).,直接求很困难,建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程,建立变量能满足 的微分方程,？,哪一类问题,2,稻谷书屋,在工程实际问题中,* “改变”、“变化”、“
2、增加”、“减少”等关键词 提示我们注意什么量在变化.,关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及到导数.,建立方法 常用微分方程,运用已知物理定律,利用平衡与增长式,运用微元法,应用分析法,机理分析法,3,稻谷书屋,建立微分方程模型时,应用已知物理定律， 可事半功倍,例5.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？,牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差.,一. 运用已知
3、物理定律,4,稻谷书屋,分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分 布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似。,建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，,“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”,翻译为,数学语言,5,稻谷书屋,建立微分方程,其中参数k 0，m=18. 求得一般解为,ln(Tm)=k t+c,代入条件，求得c=42 ，k= , 最后得,T(t)=18+42 , t 0.,6,稻谷书屋,结果 ：T(10)=18+42 =25.870，,该物体温度降至300c 需要8.17分钟.,二. 利用平衡与增长式,许多研究对
4、象在数量上常常表现出某种不 变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.,利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 建立有关变量间的相互关系.,续例2.3 人口增长模型,对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的 影响.,7,稻谷书屋,在很短的时间段t 内，关于P(t)变化的一个 最简单的模型是：,t时间内的人口增长量= t内出生人口数t内死亡人口数,+ t内迁入人口数t内迁出人口数,t时间内的净改变量 =t时间内输入量t时间内输出量,般化 更一,基本模型,不同的输入、输出情况对应不同的差分或 微分方程.,8,稻谷书屋,输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量
5、；,输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量.,此类建模方法的关键是,分析并正确描述基本模型的右端， 使平衡式成立,例5.1.2 战斗模型 两方军队交战，希望为 这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到 如下目的：,1. 预测哪一方将获胜？,2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？,3. 计算失败的一方开始时必须投入 多少士兵才能赢得这场战斗？,9,稻谷书屋,模型建立：,设 x(t) t 时刻X方存活的士兵数； y(t) t 时刻Y方存活的士兵数；,假设： 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗， x(t)与y(t)都是连续变量.,2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵；
6、,3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名士兵；,t 时间内X军队减少的士兵数 = t 时间内Y军队消灭对方的士兵数,平衡式,10,稻谷书屋,即有 x =ayt,同理 y =bxt,三. 微元法,基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况.,11,稻谷书屋,例5.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半 的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面 积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间.,对孔口的流速做两条假设 ：,1t 时刻的流速v 依赖于 此刻容器内水的高度h(t).,2 整个放水过程无能 量损失。,分析：,放空容器,？,容器内水的体积为零,容器内
7、水的高度为零,12,稻谷书屋,模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流 量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的 变化率”，即,S孔口横截面积（单位：平方厘米）,h(t) 水面高度（单位：厘米）,t时间（单位：秒）,当S=1平方厘米，有,13,稻谷书屋,h(t),h+h,在t，t+t 内，水面高度 h(t) 降至h+h (h0), 容器中水的体积的改变量为,V=V(h)V(h+h)=h3(r12+r22)o(h) r2ho(h),r1,r2,14,稻谷书屋,令t 0, 得,dV=r2 dh， （2）,比较(1)、(2)两式得微分方程如下：,积分后整理得,0h100,15,稻谷书屋,四.分析
8、法,令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分.,基本思想：根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.,例5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？,分析 广告的效果, 可做如下的条件假设：,*1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；,16,稻谷书屋,*2. 商品销售率（销售加速度）随商品销售速度 的增高而降低；,*3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：,建模 记 S(t) t 时刻商品的销售速度；,M 销售饱和水平，即销售速度的上限；,（0） 衰减因子，广告作用随时间的 推移而自然衰减的速度.,直接建立微分方程,17,稻谷书屋,称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力.,模型分析：是否与前三条假设相符？,假设1*,市场余额,假设2*,销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制.,改写模型,18,稻谷书屋,