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1、状态空间极点配置控制实验课件 易杰,实验二 状态空间极点配置控制实验,1、 状态空间分析 2、 极点配置及仿真仿真 3、 极点配置控制实验 4、 实验结果及实验报告,1、 状态空间分析,对于控制系统 X = AX + Bu 式中 X 为状态向量（ n 维） u 控制向量（纯量） A n n维常数矩阵 B n 1维常数矩阵 选择控制信号为： u = KX,图 1 状态反馈闭环控制原理图,求解上式，得到 x(t) = (A BK)x(t) 方程的解为： x(t) = e( ABK )t x(0) 可以看出，如果系统状态完全可控，K 选适当，对于任意的初始状态，当t趋于无穷时，都可以使x(t)趋于0
2、。 极点配置的设计步骤： 检验系统的可控性条件。,2) 从矩阵 A 的特征多项式,来确定 n a ,a , a 1 2 的值。,3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T:,T = MW,其中 M 为可控性矩阵，,4) 利用所期望的特征值，写出期望的多项式,并确定 a1,a2 ,a3a12 的值。,5) 需要的状态反馈增益矩阵 K 由以下方程确定：,2、 极点配置及仿真,以小车加速度作为输入的系统状态方程为： 前面我们已经得到了直线一级倒立摆的状态空间模型，,于是有：,直线一级倒立摆的极点配置转化为：,对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整 时间（约 3秒）和合适的阻尼（
3、阻尼比 = 0.5）,下面采用四种不同的方法计算反馈矩阵 K。 方法一：按极点配置步骤进行计算。,检验系统可控性，由 3.1.1.4 系统可控性分析可以得到，系统的状态完,全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数(4)，系统的输出完全可控,性矩阵的秩,等于系统输出向量y 的维数(2)，所以系统可控。,2) 计算特征值,根据要求，并留有一定的裕量（设调整时间为 2 秒），我们选取期望的闭环,闭环极点的左边，因此其影响较小，因此期望的特征方程为：,因此可以得到：,a1=24, a2=196, a3=720, a4=1600,由系统的特征方程：,因此有,系统的反馈增益矩阵为：,3) 确定使状态方程变为可控
4、标准型的变换矩阵 T:,T = MW,式中：,4) 于是有状态反馈增益矩阵 K 为：,得到控制量为：, = KX = 54.4218x + 24.4898 x - 93.2739 -16.1633,以上计算可以采用 MATLAB 编程计算。 运行得到以下结果：,图 3 极点配置仿真结果,可以看出，在给定系统干扰后，倒立摆可以在2 秒内很 好的回到平衡位置，满足,设计要求。,PRO 3-7 直线一级倒立摆状态空间极点配置MATLAB 程序1,%,Googol Linear 1 stage Inverted Pendulum Poles Placement Method1 %,%,clear;,A
5、= 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0;,B= 0 1 0 3; C= 1 0 0 0; 0 0 1 0;,D= 0 0 ;,J= -10 0 0 0; 0 -10 0 0; 0 0 -2-2*sqrt(3)*i 0;,0 0 0 -2+2*sqrt(3)*i;,pa=poly(A);pj=poly(J); M=B A*B A2*B A3*B;,W= pa(4) pa(3) pa(2) 1; pa(3) pa(2) 1 0;,pa(2) 1 0 0; 1 0 0 0;,T=M*W; K=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3
6、) pj(2)-pa(2)*inv(T),Ac = (A-B*K); Bc = B; Cc = C; Dc = D; T=0:0.005:5; U=0.2*ones(size(T); Cn=1 0 0 0; Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);,Bcn=Nbar*B; Y,X=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T); plot(T,X(:,1),-); hold on; plot(T,X(:,2),-.); hold on; plot(T,X(:,3),.); hold on; plot(T,X(:,4),-) legend(CartPos,CartSpd,PendAng,P
7、endSpd),（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开 “Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment Poles Experiments”中的“Poles Control M File1”）,方法二：读者还可以通过下面的方法进行极点配置计算：,矩阵（ABK）的特征值是方程式 s (A BK) = 0的根：,这是 s 的四次代数方程式，可表示为,适当选择反馈系数 k1 , k 2, k3 , k 4系统的特征根可 以取得所希望的值
8、。,把四个特征根 1 ,2 ,3 ,4 设为四次代数方程式 的根，则有,比较两式有下列联立方程式,如果给出的 1 ,2 ,3 ,4 是实数或共轭复数， 则联立方程式的右边全部为实数。据此可求解出实数 K1,k 2, k3 ,k4,当将特征根指定为下列两组共轭复数时,又a = 29.4, b = 3,利用方程式可列出关于 k1 , k2 , k3 , k4 的方程组：,即施加在小车水平方向的控制力 u：, = KX = 54.4218x + 24.4898 x - 93.2739 -16.1633,可以看出，和方法一的计算结果一样。,PRO 3-8 直线一级倒立摆状态空间极点配置MATLAB 程
9、序2,（进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment PolesExperiments” 中的“Poles Control M File2”）,方法三：利用爱克曼公式计算。 爱克曼方程所确定的反馈增益矩阵为：,利用 MATLAB 可以方便的计算，程序如下：,（进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pe
10、ndulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment PolesExperiments” 中的“Poles Control M File3”） 运行可以得到：,可以看出，计算结果和前面两种方法一致。 方法四： 可以直接利用 MATLAB 的极点配置函数 K,PREC,MESSAGE = PLACE(A,B,P) 来计算。 （进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1
11、-Stage IP Experiment PolesExperiments” 中的“Poles Control M File4”）,为匹配 place() 函数，把-10,-10 两个极点改成了-10 - 0.0001j, -10 + 0.0001j ,因为 增加的虚部很小，可以忽略不记，运行得到如下结果：,可以看出，以上四种方法计算结果都保持一致。,下面对以上的计算结果在 MATLAB Simulink 中进行仿 真，打开直线一级倒立摆的仿真模型： （进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendul
12、umLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP ExperimentPoles Experiments”中的“Poles Control Simulink”）,其中“GL1IP State-Space”为直线一级倒立摆的状态空间 模型，双击打开如下窗口：,双击“Controller1”模块，打开状态反馈矩阵K 设置窗口：,把计算得到的 K 值输入上面的窗口。 运行仿真，得到以下结果：,图 4 直线一级倒立摆状态空间极点配置MATLAB Simulink 仿真结果,可以看出，在存在干扰的情况下，系统在3 秒内基本上 可以恢复到新的平衡位置，,读者可以修改期
13、望的性能指标，进行新的极点配置， 在“Controller2”模块中设置新的控制参数，并点击 “Manual Switch”把控制信号切换到“Controller2”,3、 极点配置控制实验,实验步骤如下,1) 进 入 MATLAB Simulink 中“ matlab6p5toolboxGoogolTech,InvertedPendulum Linear Inverted Pendulum, ”目录，打 开直线一级倒立摆状态空间极点配置控制程序如下： （进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendu
14、lumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP ExperimentPoles Experiments” 中的“Poles Control Demo”）,图 5 直线一级倒立摆状态空间极点配置实时控制程序,2) 点击“Controller”模块设置控制器参数，把前面仿真结果较好的参数输入 到模块中：,点击“OK”完成设定。,4) 点击 运行程序，检查电机是否上伺服，如果没有上伺服， 请参见直线倒立,摆使用手册相关章节。提起倒立摆的摆杆到竖直向上的位置， 在程序进入自动控制后松开。 5) 双击“Scope”观察实验结果如下图所示：,可以看出，系统可以在很小的振动范围内保持平衡，小车振动 幅值约为4103m，摆杆振动的幅值约为0.05 弧度，注意， 不同的控制参数会有不同的控制结果。 在给定倒立摆干扰后，系统如响应如下图所示：,从上图可以看出，系统稳定时间约为 3 秒，达到设计要求。,4、 实验结果及实验报告,上机实验并记录实验结果，完成实验报告。 提示：用户可以在极点配置实验的基础上添加状态观测 器，对系统进行设计和仿真以及实验。,