《等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)汇编.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)汇编.docx（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 学习-好资料等比数列知识点总结与典型例题( )a1、等比数列的定义：n2,， 称为公比* q= q q 0 n 且n Nan-12、通项公式：a()a = a q = q = A B a q 0, A B 0 ，首项： a ；公比：qnn-11nn1q11aaaa推广： =a a q=q =nqn-mn-mnn-mnmmm3、等比中项：（1）如果 , , 成等比数列，那么 叫做 与 的等差中项，即： 2 = 或 A = abA aba A bAab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列 a 是等比数列 a2= a ann-1n+1n4、等比数列的前 项和 S
2、公式：nn（1）当 =1时， S = naqn1( )a 1- q-a a qn（2）当 1时， S =11qn1- q1- qnaa=-q = A- A B = AB - A（ , , , 为常数）A B A B11nnn1- q 1- q5、等比数列的判定方法：a（1）用定义：对任意的 ，都有=或q q= ( 为常数， 0) 为等比数列naqaaan+1n+1nannn（2）等比中项：a a a a(a 0) 为等比数列a2=nn+1 n-1n+1 n-1n(a A B A B)a 0 为等比数列（3）通项公式： = nnn6、等比数列的证明方法：( )a依据定义：若= q q 0 n 2
3、,且n N 或 a = qa a 为等比数列*nan+1nnn-17、等比数列的性质：（2）对任何 m,n N ，在等比数列a 中，有 =a a q。n m-*nnm（3）若m +n = s +t m( n, s, t, N ) ，则a a =a a 。特别的，当 + = 2 时，得 =m n k*a aa2nmstnmk注： a a = a a = a a 1n2n-13 n-2等差和等比数列比较：等比数列等差数列更多精品文档 学习-好资料a定义nanm-nnmannan1n11中项*）0*A =0(a,f fGaf2-+-+nS = (a + a )( )211nnaqnn1=1n(n -
4、1)nS = na +d2n1重要性质mnpqmnpq(m, n, p, q N , m + n = p + q)m n p q N( , , , , + = + )*m n p q经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列a 中， a a = 64, a + a = 20 ,求 a .n193711思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于 a 和q 的二元方程组，解出 a 和11q ，可得 a ；或注意到下标1+9 = 3+ 7 ，可以利用性质可求出 a 、 a ，再求a .113711解析： = a a a a q= 64(1)(2)8法一：设此数列公比为q ，则1
5、911+ a = a q + a q = 20a263711由(2)得： a q (1+ q ) = 20.(3)241 a 0 .1由(1)得：(a q ) = 64 , a q = 8 .(4)424111+ q4 20 5= ，8 2(3)(4)得：=q212 2q - 5q + 2 = 0,解得 q = 2 或 q =4222当 q = 2 时， a = 2 ， a = a q = 64 ；21011111当 q = 时， a = 32 ， a = a q =1.21021111更多精品文档 学习-好资料法二：a a = a a = 64,又 a + a = 20 ,193737 a
6、、 a 为方程 x2 - 20x + 64 = 0的两实数根，37 =16a = 4a或33a= 4a = 16772a a a = a , =1或 a = 64 .27a31171111a3总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式 1】a 为等比数列，a =3，a =768，求 a 。n196【答案】96法一：设公比为 q，则 768=a q ，q =256，q=2，a =96；8816法二：a =a a a =48q=2，a =96。251
7、956【变式 2】a 为等比数列，a 0，且 a a =16，求 a a a 的值。nn1 8944 45 46【答案】64； a a = a =16，又 a 0，a =4245n45189 a a a = a = 64 。344 45 4645【变式 3】已知等比数列a ，若 a + a + a = 7 ，a a a = 8 ，求 a 。n123123n【答案】 a = 2 或 a = 2 ；n-13-nnn法一：a a = a ， a a a = a = 8 ， a = 22232131232 + =5a a从而,解之得 a =1，a = 4 或 a = 4 ， a =113a a= 41
8、3131 31当 a =1时， q = 2；当 a = 4 时， q = 。211故 a = 2 或 a = 2 。n-13-nnn法二：由等比数列的定义知a = a q ， a = a q22131 +a a q a q= 7+2代入已知得111aa qa q = 82111 (1+ + ) = 7, (1) 7, (1)+ q + q =22a1q q= 8a1a q = 2(2)33a q1更多精品文档1 学习-好资料2将 a = 代入（1）得 2q - 5q + 2 = 0，21q12解得 = 2或 q =q =4a =1a 1由（2）得 1 或，以下同方法一。1q = 2q=2类型二
9、：等比数列的前 n 项和公式例 2设等比数列a 的前 n 项和为 S ，若 S +S =2S ，求数列的公比 q.nn369解析：若 q=1，则有 S =3a ，S =6a ，S =9a .316191因 a 0，得 S +S 2S ，显然 q=1 与题设矛盾，故 q1.1369a (1- q) a (1- q) 2a (1- q)369由 S + S = 2S 得，+=，1111- q1- q1- q369整理得 q (2q -q -1)=0，363由 q0，得 2q -q -1=0，从而(2q +1)(q -1)=0，6333143因 q 1，故 q3 = - ，所以 q = -。32举一
10、反三：1 12【变式 1】求等比数列1, , , 的前 6 项和。3 9364【答案】；2431 a =1， q = ， n = 63161 1 1- 3 63 1364243 S = 1-=。 13236 1-【变式 2】已知：a 为等比数列，a a a =27，S =13，求 S .n1 2 3351219【答案】121或；a (1- q)13或，则 a a = 27 a = 3，13 = q = 3 q =1 或 a =93211- q311219 11-351-3351219或 S =121 S.15513更多精品文档 学习-好资料【变式 3】在等比数列a 中， a + a = 66
11、， a a =128 ， S =126 ，求n 和 。qn1n2n-1n1【答案】 q = 或 2， = 6 ；n2 a a = a a ， a a =1282n-11n1na a=128a = 64a = 2解方程组，得或1 n11a + a = 661a = 2na = 64nn =64aa a q-1将代入 S =，得 q = ，11n= 21- q2ann由 a = a q ，解得 = 6 ；n-1nn1 =2aa a q-将代入 S =，得 q = 2，11n= 641- qann由 a = a q ，解得 = 6 。n-1nn11 q = 或 2， = 6 。n2类型三：等比数列的
12、性质例 3. 等比数列a 中，若 a a = 9 ,求log a + log a +.+ log a .n563132310解析：a 是等比数列， a a = a a = a a = a a = a a = 9n11029384756log a + log a + + log a = log (a a a a ) = log (a a ) = log 9 =105531323103123103563举一反三：【变式 1】正项等比数列a 中，若 a a =100; 则 lga +lga +lga =_.110012100n【答案】100；lga +lga +lga +lga =lg(a a a
13、a )123100123100而 a a =a a =a a =a a110029939850 51原式=lg(a a ) =50lg(a a )=50lg100=100。50110011008 27【变式 2】在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为32_。【答案】216；法一：设这个等比数列为a ，其公比为q ，n827288194 a = ， a = a q = q ， q = ，q =44423316151更多精品文档 学习-好资料89 3 3 a a a = a q a q a q = a q = 6 = 216 。23316 33 4 234111827
14、法二：设这个等比数列为a ，公比为q ，则 a = ， a = ，3215n加入的三项分别为 a ， a ， a ，2348 27由题意 a ， a ， a 也成等比数列， a = = 36 ，故a = 6 ，233 21353 a a a = a a = a = 216 。23332343类型四：等比数列前 n 项和公式的性质例 4在等比数列a 中，已知 S = 48 ， S = 60 ，求 S 。nn2n3n思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。解析：法一
15、：令 b =S =48, b =S -S =60-48=12，b =S -S1n22nn33n 2n观察 b =a +a +a ,112nb =a +a +a =q (a +a +a )，n2n+1n+22n12nb =a +a +a =q (a +a +a )2n32n+12n+23n12nb 1222b12易知 b ,b ,b 成等比数列， = 3，b312348S =b +S =3+60=63.3n32n法二： S 2S ， q 1，2nn (1- )aqn= 4811- q由已知得a (1- q )2n= 6011- q514得1+ q = ，即 q =nn4a代入得= 64 ，11-
16、 qa (1- q )13n= 64(1- ) = 63。S11- q43n3法三：a 为等比数列， S ， S - S ， S - S 也成等比数列，nn2nn3n2n(S - S ) = S (S - S ) ，22nnn3n2n更多精品文档 学习-好资料(S - S )(60 - 48)22=2nn+S=2n+ 60 = 63。S483nSn举一反三：【变式 1】等比数列a 中，公比 q=2, S =1,则 S =_.48n【答案】17；S =S +a +a +a +a =S +a q +a q +a q +a q =S +q (a +a +a +a )=S +q S =S (1+q )
17、=1(1+2 )=17444444448456784123441234444【变式 2】已知等比数列a 的前 n 项和为 S , 且 S =10, S =40,求：S =？n102030n【答案】130；法一：S ，S -S ，S -S 构成等比数列，(S -S ) =S (S -S )21020 1030 2020 101030 20即 30 =10(S -40),S =130.23030法二：2S S ， q 1,1020a (1- q)a (1- q20)10= 10 ,S= 40 ,S10111-q1-q201- q101- q201a= ,= 3 , 1 = -5q1041-qa (
18、1- q)30= (-5)(1- 3 ) = 130 .3S3011-q【变式 3】等比数列a 的项都是正数，若 S =80, S =6560，前 n 项中最大的一项为 54，求n2nnn.801SS【答案】=， q 1(否则= )nnS6560S22n2na (1- q )n =80 .(1)S11- qna (1- q2n)S =2n=6560.(2)，11- q(2)(1)得：1+q =82,q =81.(3)nn该数列各项为正数，由(3)知 q1a 为递增数列，a 为最大项 54.nna =a q =54,a q =54q,n-1nn1181a =54q.(4)15422 a = q
19、= q 代入(1)得 q(1-81)= 80(1- q) ，1 8133q=3,n=4.更多精品文档 学习-好资料【变式 4】等比数列a 中，若 a +a =324, a +a =36, 则 a +a =_.123456n【答案】4；令 b =a +a =a (1+q)，b =a +a =a q (1+q),b =a +a =a q (1+q),24112123413561362324b22b1易知：b , b , b 成等比数列，b = =4,即 a +a =4.123356【变式 5】等比数列a 中，若 a +a +a =7,a +a +a =56, 求 a +a +a 的值。123456
20、789n【答案】448；a 是等比数列，(a +a +a )=(a +a +a )q ,q =8,33n456123a +a +a =(a +a +a )q =568=448.3789456类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为 a-d, a,a+d.则 a-d, a, a+d+32 成等比数列，a-d, a-4, a+d 成等比数列
21、. = ( - )( + + 32).(1)a d a da2( - 4) = ( - )( + ).(2)a2a d a dd2+16由(2)得 a=.(3)8由(1)得 32a=d +32d .(4)28(3)代(4)消 a，解得 d = 或 d=8.3826当 d = 时, a = ；当 d=8 时,a=10392 26 338原来三个数为 , ,或 2,10,50.9 9 9法二：设原来三个数为 a, aq, aq ，则 a, aq,aq -32 成等差数列，a, aq-4, aq -32 成等比数列2222 = + aq a aq- 32.(1)2( - 4) = (aq a aq-
22、 32).(2)222由(2)得 a =，代入(1)解得 q=5 或 q=13q - 4更多精品文档 学习-好资料2当 q=5 时 a=2；当 q=13 时 a = .92 26 338原来三个数为 2，10，50 或 ， ,9 9.9总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为 a-d,xa, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为 ，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用y首项 a，公比 q 来解决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么
23、所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.2 10 50【答案】为 2，6，18 或 ,- , ；9 9 9设所求的等比数列为 a，aq，aq ；2则 2(aq+4)=a+aq ，且(aq+4) =a(aq +32)；2222解得 a=2，q=3 或 a = ，q=-5；92 10 50故所求的等比数列为 2，6，18 或 ,- , .9 9 9【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数。【答案】1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1a设这三个数分别为 ,a,aq ，qaaaq = 27 =31aq由已知得a( + q +1) = 9
24、1222a+ a + a q = 91222q2q21得9q -82q + 9 = 0 ，所以 q = 9 或 q2 = ，422913即 q = 3或 q = 故所求三个数为：1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1。【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求这四个数.【答案】0，4，8，16 或 15，9，3，1；更多精品文档 学习-好资料设四个数分别是 x,y,12-y,16-x2y = x +12 - y.(1)(12 - y) = y(1 6 - x).(2)2由(1)得 x=
25、3y-12，代入(2)得 144-24y+y =y(16-3y+12)2144-24y+y =-3y +28y, 4y -52y+144=0,222y -13y+36=0, y=4 或 9，2 x=0 或 15，四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1.类型六：等比数列的判断与证明例 6已知数列a 的前 n 项和 S 满足：log (S +1)=n(nN ),求出数列a 的通项公式，并判nn5n+n断a 是何种数列？n思路点拨：由数列a 的前 n 项和 S 可求数列的通项公式，通过通项公式判断a 类型.nnn解析：log (S +1)=n,S +1=5 ,S =5 -1 (nN ),n
26、n5nnn+a =S =5 -1=4,111当 n2 时，a =S -S =(5 -1)-(5 -1)=5 -5 =5 (5-1)=45nn-1nn-1n-1n-1nnn-1而 n=1 时，45 =45 =4=a ,n-11-11nN 时，a =45n-1+n由上述通项公式，可知a 为首项为 4，公比为 5 的等比数列.n举一反三：【变式 1】已知数列C ，其中 C =2 +3 ，且数列C -pC 为等比数列，求常数 p。nnnnn+1n【答案】p=2 或 p=3；C -pC 是等比数列，n+1n对任意 nN 且 n2，有(C -pC ) =(C -pC )(C -pC )2n+1nn+2n+
27、1nn-1C =2 +3 ,(2 +3 )-p(2 +3 ) =(2 +3 )-p(2 +3 ) (2 +3 )-p(2 +3 )nnn+1n+1nn 2n+2n+2n+1n+1nnn-1n-1n即(2-p)2 +(3-p)3 =(2-p)2 +(3-p)3 (2-p) 2 +(3-p)3 nn 2n+1n+1n-1n-11整理得： (2 - p)(3- p)2 3 = 0,解得：p=2 或 p=3,nn6显然 C -pC 0，故 p=2 或 p=3 为所求.n+1n【变式 2】设a 、b 是公比不相等的两个等比数列，C =a +b ,证明数列C 不是等比数列.nnnnnn【证明】设数列a 、
28、b 的公比分别为 p, q，且 pqnn为证C 不是等比数列，只需证C C C .22n13更多精品文档 学习-好资料C = (a p + b q) = a p + b q + 2a b pq ,222212221111 1C C = (a + b )(a p+ b q) = ap+ bq+ a b ( p + q )2 2222122213111111 1C C - C = a b ( p - q) ,222131 1又 pq, a 0, b 0,11C C - C 0 即C C C22221313数列C 不是等比数列.n【变式 3】判断正误：(1)a 为等比数列 a =a a ；n73 4
29、(2)若 b =ac，则 a，b，c 为等比数列；2(3)a ，b 均为等比数列，则a b 为等比数列；nnn n 1 (4)a 是公比为 q 的等比数列，则a 、仍为等比数列；2 na nn(5)若 a，b，c 成等比，则 log a，log b，log c 成等差.mmm【答案】(1)错；a =a q ，a a =a q a q =a q ，等比数列的下标和性质要求项数相同；6232 51713 411(2)错；反例：0 =00，不能说 0，0，0 成等比；2(3)对；a b 首项为 a b ，公比为 q q ；n n1 11 211a2a1(4)对；= ,= ；n+1qn+12a2qna
30、n(5)错；反例：-2，-4，-8 成等比，但 log (-2)无意义.m类型七：S 与 a 的关系nn例 7已知正项数列a ，其前 n 项和 S 满足10S = a + 5a + 6 ，且 a ，a ，a 成等比数列，2nn1315nnn求数列a 的通项 a .n更多精品文档n 学习-好资料解析：10S = a + 5a + 6 ，2nnn10a = a + 5a + 6 ，解之得 a =2 或 a =3.211111又10S = a + 5a + 6 (n 2) ，2n-1n-1n-1由-得10a = (a - a ) + 5(a - a ) ，即(a + a )(a - a - 5) =
31、 022nnn-1nn-1nn-1nn-1a +a 0，a -a =5(n2).nn-1nn-1当 a =3 时，a =13，a =73，a ，a ，a 不成等比数列13151315a 3；1当 a =2 时，a =12，a =72，有 a =a a ，2131531 15a =2，a =5n-3.1na1S - S(n =1)(n 2)总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是 a =，尤nnn-1其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题 1：若数列a 的前 n 项和 S =a +b(a1)，则数列a 是等比数列；命题 2：若nnnn数列a 的前 n 项和 S =na-n，则数列a 既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，nnn真命题为个.【答案】0；由命题 1 得，a =a+b，当 n2 时，a =S -S =(a-1)a .n-11nnn-1a2a1a(a -1)若a 是等比数列，则 = a ，即= a，na+ b所以只有当 b=-1 且 a0 时，此数列才是等比数列.由命题 2 得，a =a-1，当 n2 时，a =S -S =a-1，1nnn-1显然a 是一个常数列，即公差为 0 的等差数列，n因此只有当 a-10，即 a1 时数列a 才又是等比数列.n更多精品文档